可換持ち上げ定理のソースを表示

[[数学]]の[[作用素論]]の分野における'''可換持ち上げ定理'''（かかんもちあげていり、{{Lang-en-short|commutant lifting theorem}}）とは、{{仮リンク|ベラ・ショーケファルヴィ＝ナジー|en|Béla Szőkefalvi-Nagy}}と{{仮リンク|チプリアン・フォイアス|en|Ciprian Foias}}により得られた、いくつかの補間定理を証明する上で用いられる重要な定理である。

「可換押し上げ定理」とも称する{{要出典|date=2014年6月}}。

== 内容 ==
可換持ち上げ定理の内容は次のようになる：''T'' をある[[ヒルベルト空間]] ''H'' 上の{{仮リンク|縮小 (作用素論)|label=縮小写像|en|contraction (operator theory)}}とし、''U'' をあるヒルベルト空間 ''K'' 上での ''T'' の極小ユニタリ[[伸張 (作用素論)|伸張]]とする（そのような ''U'' の存在は[[ナジーの伸張定理]]により示される）。また ''R'' を ''T'' と可換な ''H'' 上のある作用素とする。このとき、''U'' と可換な ''K'' 上のある作用素 ''S'' で、次を満たすものが存在する。

:<math>R T^n = P_H S U^n \vert_H \; \forall n \geq 0 </math>
および
:<math>\Vert S \Vert = \Vert R \Vert.</math>

言い換えると、''T'' の[[可換子環]]より得られるある作用素は、''T'' のユニタリ伸張の可換子環のある作用素に「持ち上げ」られることを、この定理は意味する。

== 応用 ==
可換持ち上げ定理は、左{{仮リンク|ネヴァンリンナ＝ピック補間|label=ネヴァンリンナ＝ピックの補間定理|en|Nevanlinna-Pick interpolation}}や{{仮リンク|サラソンの補間定理|en|Sarason interpolation theorem}}、両側ヌデルマン定理（two-sided Nudelman theorem）やその他諸々の定理を証明する上で用いられる。

== 参考文献 ==
* Vern Paulsen, ''Completely Bounded Maps and Operator Algebras'' 2002, ISBN 0-521-81669-6
* B Sz.-Nagy and C. Foias, "The "Lifting theorem" for intertwining operators and some new applications", ''Indiana Univ. Math. J'' 20 (1971): 901-904
* Foiaş, Ciprian, ed. ''Metric Constrained Interpolation, Commutant Lifting, and Systems. Vol. 100. Springer, 1998''.

{{DEFAULTSORT:かかんもちあけていり}}
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