可積分系のソースを表示

{{要改訳|date=2015-02-01}}
数学や物理学では、'''可積分系''' (かせきぶんけい、{{Lang-en-short|integrable systems}}) と名付けられた様々な考え方が知られている。

微分可能な系の一般論では、'''[[#フロベニウス可積分性 (過剰決定微分方程式系)|フロベニウス可積分性]]''' ({{en|Frobenius integrability}}) が過剰な決定系として知られている。[[ハミルトン力学|ハミルトン]][[力学系]]の古典理論では、'''[[#ハミルトニアン系とリウヴィル可積分性|リウヴィル可積分性]]''' ({{en|Liouville integrability}}) がある。より一般的には、微分方程式の可積分性は、[[相空間]]の不変部分多様体による{{仮リンク|葉層 (数学)|label=葉層|en|foliation}} ({{en|foliation}}) の存在に関係している。これらの考え方の各々は、葉層のアイデアを応用しているが、同じではない。[[量子力学]]や[[統計力学]]模型の設定には'''完備可積分性''' ({{en|complete integrability}}) や'''完全可積分性''' ({{en|exact solvability}}) という考え方もある。可積分系は、[[微分作用素]]の[[代数幾何学]]へ引き戻して考える場合もある。
<!---In [[mathematics]] and [[physics]], there are various distinct notions that are referred to under the name of '''integrable systems'''.

In the general theory of differential systems, there is ''[[#Frobenius integrability (overdetermined differential systems)|Frobenius integrability]]'', which refers to overdetermined systems. In the classical theory of [[Hamiltonian mechanics|Hamiltonian]] [[dynamical systems]], there is the notion of ''[[#Hamiltonian_systems_and_Liouville_integrability|Liouville integrability]]''. More generally, in differentiable dynamical systems integrability relates to the existence of [[foliation]]s by invariant submanifolds within the [[phase space]]. Each of these notions involves an application of the idea of foliations, but they do not coincide. There are also notions of ''complete integrability'', or ''exact solvability'' in the setting of quantum systems and statistical mechanical models. Integrability can often be traced back to the [[algebraic geometry]] of [[differential operator]]s.-->

== フロベニウス可積分性 (過剰決定微分方程式系) ==
微分方程式系は、定義された空間の上に最大[[微分方程式系の可積分条件|積分多様体]]により{{仮リンク|葉層構造|en|foliation|label=葉層}}を持つとき、フロベニウスの意味で、'''可積分'''であると言う。[[フロベニウスの定理 (微分トポロジー)|フロベニウスの定理]]は、系が完全に積分可能であることと、系が[[外微分形式]]の下に閉じていることをは同値であることを言っている（[[微分方程式系の可積分条件]]の記事には最大積分多様体の葉層について詳しいことがあるので参照）。
<!---==Frobenius integrability (overdetermined differential systems) ==
A differential system is said to be ''completely integrable'' in the [[Ferdinand Georg Frobenius|Frobenius]] sense if the space on which it is defined has a [[foliation]] by maximal [[integral manifold]]s. The [[Frobenius theorem (differential topology)|Frobenius theorem]] states that a system is completely integrable if and only if it generates an ideal that is closed under [[exterior derivative|exterior differentiation]]. (See the article on [[integrability conditions for differential systems]] for a detailed discussion of foliations by maximal integral manifolds.)-->

== 一般の力学系 ==
微分可能な[[力学系]]では、'''可積分性'''の考え方は不変な、正規な葉層の存在を意味する。つまり、その葉層は可能な限りの最も小さな次元の[[フロー (数学)|フロー]]に対して不変な{{仮リンク|埋め込まれた多様体|en|embedded submanifold}}である。このように、可積分性の度数という変数の考えは、不変な葉層の葉の次元に依存している。この考え方は、以下で説明するように'''リウヴィルの意味で完全可積分性'''として知られる、[[ハミルトン力学|ハミルトン力学系]]の場合に精密化されている。この意味での可積分性が最も頻繁に使われる。

可積分性の考え方は格子のような離散系へも応用可能である ('''離散可積分系、discrete integrable systems''')<ref>Hietarinta, J., Joshi, N., & Nijhoff, F. W. (2016). Discrete systems and integrability. [[:en:Cambridge university press]].</ref><ref>Duistermaat, J. J. (2010). Discrete integrable systems -QRT Maps and [[楕円曲面|Elliptic Surfaces]]-, Springer Monographs in Mathematics.</ref><ref>Discrete Integrable Systems (2004), Edited by Basil Grammaticos, Thamizharasi Tamizhmani and Yvette Kosmann-Schwarzbach, Springer.</ref>。この定義は[[微分方程式]]や[[差分法|有限の差分方程式]]の系である'''発展方程式''' ({{lang-en-short|Evolution equation}})<ref>{{SpringerEOM|title=Evolution equation|urlname=Evolution_equation}}</ref><ref>Sell, G. R., & You, Y. (2013). Dynamics of evolutionary equations. [[:en:Springer Science & Business Media]].</ref><ref>発展方程式 (1975)、田辺広城、[[岩波書店]]。</ref>へ適用することができる。

可積分と非可積分な[[力学系]]の違いは、'''規則的な運動''' 対 [[カオス理論|カオス運動]] の数値的な意味付けを持つので、系が明らかに完全形式に積分することができるどうかという問題を超えた本質的な性質を持っている。
<!---==General dynamical systems ==
In the context of differentiable [[dynamical systems]], the notion of '''integrability''' refers to the existence of invariant, regular foliations; i.e., ones whose leaves are [[embedded submanifold]]s of the smallest possible dimension that are invariant under the [[Flow (mathematics)|flow]]. There is thus a variable notion of the degree of integrability, depending on the dimension of the leaves of the invariant foliation.
This concept has a refinement in the case of [[Hamiltonian mechanics|Hamiltonian systems]], known as '''complete integrability in the sense of [[Liouville]]''' (see below), which is what is most frequently referred to in this context.

An extension of the notion of integrability is also applicable to discrete systems such as lattices.
This definition can be adapted to describe '''evolution equations''' that either are systems of
[[differential equations]] or [[finite difference| finite difference equations]].

The distinction between integrable and nonintegrable dynamical systems thus has the qualitative
implication of '''regular motion''' vs. [[chaotic motion]] and hence is an intrinsic property, not just a matter of whether
a system can be explicitly integrated in exact form.-->

== ハミルトニアン系とリウヴィル可積分性 ==
[[ハミルトン力学|ハミルトン力学系]]の特別な設定では、[[ジョゼフ・リウヴィル|リウヴィル]] (Joseph Liouville) の意味で可積分性の考え方がある。'''リウヴィル可積分性''' ({{en|Liouville integrability}}) の意味とは、葉層不変量に付随する[[ハミルトンベクトル場|ハミルトンのベクトル場]]が接空間をはるような[[相空間]]の正規な葉層が存在することを言う。言い換えると、ポアソン可換な（つまり、系のハミルトニアンと[[ポアソン括弧]]が互に可換であり、従って互いに掛け合うと消滅するものが存在する[[相空間]]の上の函数である<ref name="ito">[[常微分方程式]]と[[解析力学]] (1998)、[[木村俊房]]・[[飯高茂]]・西川青季・岡本和夫・楠岡成雄 (編集委員)・伊藤秀一著、共立講座 21世紀の数学、{{ISBN2|978-4-320-01563-0}}、[[共立出版]]。</ref>）不変量の'''最大集合'''が存在することを言う。
<!---==Hamiltonian systems and Liouville integrability ==
In the special setting of [[Hamilton's equations|Hamiltonian systems]], we have the notion of integrability in the [[Liouville]] sense.
'''Liouville integrability''' means that there exists a regular foliation of the phase space by invariant manifolds such that the Hamiltonian vector fields
associated to the invariants of the foliation span the tangent distribution. Another way to state this is that there exists
a '''maximal set''' of Poisson commuting invariants (i.e., functions on the phase space whose [[Poisson bracket]]s with the Hamiltonian of the system,
and with each other, vanish).-->

有限次元では、[[相空間]]が[[シンプレクティック幾何学|シンプレクティック]]な場合（すなわち、ポアソン代数の中心が定数のみからなる）、偶数次元 {{math|2''n''}} と（ハミルトニアン自身を含む）べき零なポアソン可換不変部分の最大数が {{mvar|n}} となっているはずである。葉層の葉は、シンプレクティック形式の観点から[[全等方]](totally isotropic)であり、そのような最大で等方な葉層を'''[[シンプレクティック多様体#ラグランジアン部分多様体、あるいはその他の部分多様体|ラグラジアン部分多様体]]'''と呼ばれる。全ての'''主動''' ({{en|autonomous}}) なハミルトン系（つまり、ハミルトニアンも[[ポアソン括弧]]も明確には時間依存ではないような系であり、'''ハミルトニアン'''自体がフローに沿ったエネルギーを持っている）は少なくとも一つは不変量を持っている。もしエネルギーレベルがコンパクトであれば、ラグラジアン葉層の葉は[[トーラス]]となり、この葉の上の自然な線型座標は「角度」変数と呼ばれる。標準的な {{math|1}}-形式のサイクルを'''作用'''変数と呼び、結果として得られる標準座標を'''[[作用・角変数]]''' ({{en|action-angle variables}}) と呼ぶ（以下を参照）。
<!---In finite dimensions, if the [[phase space]] is [[Symplectic geometry|symplectic]] (i.e., the center of the Poisson algebra consists only of constants), then it must have
even dimension <math>2n </math>, and the maximal number of independent Poisson commuting invariants (including the Hamiltonian itself) is
<math>n </math>. The leaves of the foliation are [[Isotropic quadratic form|totally isotropic]] with respect to the symplectic form and such a maximal isotropic foliation is
called '''[[Lagrangian submanifold|Lagrangian]]'''. All ''autonomous'' Hamiltonian systems (i.e. those for which the Hamiltonian and Poisson brackets are not explicitly time dependent)
have at least one invariant; namely, the '''Hamiltonian''' itself, whose value along the flow is the energy. If the energy level sets are compact, the
leaves of the Lagrangian foliation are tori, and the natural linear coordinates on these are called "angle" variables. The cycles of the canonical <math> 1 </math>-form
are called the '''action''' variables, and the resulting canonical coordinates are called '''[[作用・角変数|action-angle variables]]''' (see below).-->

'''{{仮リンク|超ハミルトニアン系|label=超可積分性|en|Superintegrable Hamiltonian system}}''' ({{en|superintegrability}}) と'''最大超可積分性'''の考え方の間の差異のように、リウヴィルの意味の'''完全可積分性'''と'''部分的可積分性'''の間にも差異がある。本質的には、これらの差異は葉層の葉の次元に対応している。不変量と可換な独立したポアソンの括弧の数が最大よりも小さなとき（しかし、自律係の場合は 1 よりも大きい）、この系を'''部分的可積分'''という。さらに汎函数として独立な不変量がポアソンの括弧と交換可能な最大数を超えているとき、従って葉層構造の不変量の葉の次元が {{mvar|n}} よりも小さいとき、'''超可積分'''という。1 次元の正規な葉（曲線）があると、この系は'''最大超可積分''' ({{en|maximally superintegrable}}) という。
<!---There is also a distinction between '''complete integrability''', in the [[Liouville]] sense, and '''partial integrability''', as well as
a notion of '''[[Superintegrable Hamiltonian system|superintegrability]]''' and '''maximal superintegrability'''. Essentially, these distinctions correspond to the dimensions of the leaves of the foliation.
When the number of independent Poisson commuting invariants is less than maximal (but, in the case of
autonomous systems, more than one), we say the system is '''partially integrable'''.
When there exist further functionally independent invariants, beyond the maximal number that
can be Poisson commuting, and hence the dimension of the leaves of the invariant foliation is
less than n, we say the system is '''superintegrable'''. If there is a regular foliation with one-dimensional
leaves (curves), this is called '''maximally superintegrable'''.-->

== 作用角度変数 ==
有限次元のハミルトン系が、リユーヴィルの意味で完全可積分系であり、エネルギーレベル集合がコンパクトのとき、フローと不変葉層の葉は、[[トーラス]]となる。従って、上に述べたように、[[相空間]]の[[正準座標]]の特別な集合は、不変トーラスが[[作用 (物理学)|作用]]変数の結合レベル集合であるような[[作用・角変数]](action-angle variable)として知られている。従って、これらのハミルトニアンフローの完全集合（運動は固定）をもたらし、角度変数は自然なトーラス上の周期座標である。不変トーラス上のこれらの正準座標で表された運動は、角度変数では線型である。
<!---==Action-angle variables ==
When a finite dimensional Hamiltonian system is completely integrable in the Liouville sense,
and the energy level sets are compact, the flows are complete, and the leaves of the invariant foliation are [[torus|tori]].
There then exist, as mentioned above, special sets of [[canonical coordinates]] on the [[phase space]] known as [[action-angle variables]],
such that the invariant tori are the joint level sets of the [[action (physics)|action]] variables. These thus provide a complete set of invariants
of the Hamiltonian flow (constants of motion), and the angle variables are the natural periodic coordinates on the torus. The motion on the
invariant tori, expressed in terms of these canonical coordinates, is linear in the angle variables.-->

== ハミルトン&ndash;ヤコビのアプローチ ==
[[解析力学]]における[[正準変換]]理論では、[[ハミルトン-ヤコビ方程式|ハミルトン-ヤコビの方法]]があり、そこではハミルトン方程式の解は付随する[[ハミルトン-ヤコビ方程式]]の第一番目の'''完全解'''と考えられる<ref name="ito"/>。古典的なことばでは、このことは'''完全に無視できる変数''' ({{en|completely ignorable variables}}) となる座標の正準な集まりへの変換を決定すると記述することができる。<!---すなわち、正準「位置」座標の完全な集まり上のハミルトニアンは独立ではなく、よって、対応する正準共役運動量は全ての量（その値）を保存する。コンパクトなエネルギーレベルの集合の場合には、これが[[作用・角変数]] ({{en|action-angle variables}}) を決定する第一ステップである。[[ハミルトン・ヤコビ方程式|ハミルトン・ヤコビ型]]の偏微分方程式の一般論では、'''完全解''' ({{en|complete solution}})（すなわち、n を構成空間の次元とすると、n 個の独立した積分定数に依存した解）が非常に一般的な場合に存在するが、局所的な意味でしかない。従って、[[ハミルトン・ヤコビ方程式]]の完全解の存在は、リウヴィルの意味では完全成分可能の特徴づけではない。「明らかに積分できる」("{{en|explicitly integrated}}") ほとんどの場合は、完全に[[変数分離]]できることを意味し、そこでの分離定数は求めている積分的数の完全な集りを提供する。これらの定数は、全相空間の設定をもったラグラジアンな葉層構造の葉に限定したポアソン可換な函数の完全な集合の値として再解釈ができるときのみ、リウヴィルの意味での完全可積分な系となる。-->
<!---== The Hamilton&ndash;Jacobi approach ==
In [[canonical transformation]] theory, there is the [[Hamilton&ndash;Jacobi equations|Hamilton&ndash;Jacobi method]], in which solutions to Hamilton's equations are sought by first finding a '''complete solution''' of the associated [[Hamilton&ndash;Jacobi equation]]. In classical terminology, this is described as determining a transformation to a canonical set of coordinates consisting of '''completely ignorable variables'''; i.e., those in which there is no dependence of the Hamiltonian on a complete set of canonical "position" coordinates, and hence the corresponding canonically conjugate momenta are all conserved quantities. In the case of compact energy level sets, this is the first step towards determining the [[action-angle variables]]. In the general theory of partial differential equations of [[Hamilton&ndash;Jacobi equations|Hamilton&ndash;Jacobi]] type, a '''complete solution''' (i.e. one that depends on ''n'' independent constants of integration, where ''n'' is the dimension of the configuration space), exists in very general cases, but only in the local sense. Therefore the existence of a complete solution of the [[Hamilton&ndash;Jacobi equation]] is by no means a characterization of complete integrability in the Liouville sense. Most cases that can be "explicitly integrated" involve a complete [[separation of variables]], in which the separation constants provide the complete set of integration constants that are required. Only when these constants can be reinterpreted, within the full phase space setting, as the values of a complete set of Poisson commuting functions restricted to the leaves of a Lagrangian foliation, can the system be regarded as completely integrable in the Liouville sense.-->

== ソリトンと逆散乱法 ==
1960年代の遅く、（浅い水の流れで 1次元非散逸[[流体力学]]を記述する）[[KdV方程式]]において、強い安定性を持った[[ソリトン]]が[[偏微分方程式]]の局所化された解として発見された<ref>Gardner, C. S., Greene, J. M., Kruskal, M. D., & [[:en:Robert M. Miura|Miura, R. M.]] (1967). Method for solving the Korteweg-de Vries equation. [[フィジカル・レビュー|Physical review letters]], 19(19), 1095.</ref>。この発見により、これらの方程式を無限次元可積分であるハミルトン系として見なすことで、古典可積分係への関心が復活した。これらの研究は、そのような「可積分」系に非常に豊富なアプローチをもたらし、{{仮リンク|逆散乱変換|en|inverse scattering transform}}(inverse scattering transform)<ref>Ablowitz, M. J., & Segur, H. (1981). Solitons and the inverse scattering transform. [[:en:Society for industrial and applied mathematics]].</ref>やより一般的には'''逆スペクトルの方法'''として研究された。（{{仮リンク|リーマン・ヒルベルト問題|en|Riemann–Hilbert problem}}(Riemann–Hilbert problem)<ref>{{citation|first=A.R.|last=Its|title=The Riemann–Hilbert Problem and Integrable Systems|journal=Notices of the [[:en:American mathematical society|AMS]]|volume=50 |issue=11 |year=2003 |pages=1389–1400| url=http://www.ams.org/notices/200311/fea-its.pdf}}.</ref>として扱われることも多い。）そこでは、[[積分方程式]]の解を通して、[[フーリエ解析]]のように局所的な方法が非局所的な線型性へと一般化される。
<!---==Solitons and inverse spectral methods ==
A resurgence of interest in classical integrable systems came with the discovery, in the late 1960s, that [[soliton]]s, which are strongly stable, localized solutions of partial differential equations like the [[Korteweg–de Vries equation]] (which describes 1-dimensional non-dissipative fluid dynamics in shallow basins), could be understood by viewing these equations as infinite dimensional integrable Hamiltonian systems. Their study leads to a very fruitful approach for "integrating" such systems, the [[inverse scattering transform]] and more general '''inverse spectral methods''' (often reducible to [[Riemann–Hilbert problem]]s), which generalize local linear methods like Fourier analysis to nonlocal linearization, through the solution of associated integral equations.-->

この方法の基本的なアイデアは、[[相空間]]での位置により決定される線型作用素を導入することで、この線型作用素は問題の[[力学系]]の下で発展し、（適切に一般化された意味での）スペクトルが不変となるというアイデアである。ある場合には、これが不変量となっていて、運動の積分を完全積分系としている。[[KdV方程式]]のような無限自由度の系の場合は、この方法では'''リウヴィル可積分性'''(Liouville integrability)の性質を完全に満たすことはないが、しかし、適切な境界条件を定義すると、スペクトル変換が'''完全に無視しうる座標'''への変換であると解釈することができる。そこでは、逆散乱の量が[[正準座標]]の二重化した無限集合の半分を構成し、フローがこれらを線型化する。ある意味では、有限個でしかない「位置」変数が角度変数であり、残る部分が非コンパクトとなっているにもかかわらず、このことを作用角度変数への変換とみなすことができる。
<!---The basic idea of this method is to introduce a linear operator that is determined by the position in phase space and which evolves under the dynamics of the system in question in such a way that its "spectrum" (in a suitably generalized sense) is invariant under the evolution. This provides, in certain cases, enough invariants, or "integrals of motion" to make the system completely integrable. In the case of systems having an infinite number of degrees of freedom, such as the KdV equation, this is not sufficient to make precise the property of '''Liouville integrability'''. However, for suitably defined boundary conditions, the spectral transform can, in fact, be interpreted as a transformation to '''completely ignorable coordinates''', in which the conserved quantities form half of a doubly infinite set of canonical coordinates, and the flow linearizes in these. In some cases, this may even be seen as a transformation to action-angle variables, although typically only a finite number of the "position" variables are actually angle coordinates, and the rest are noncompact.-->

== 量子可積分系 ==
'''量子可積分系'''(quantum integrable systems)という考え方もある。[[量子論]]的な設定では、[[相空間]]上の函数が[[ヒルベルト空間]]上の[[自己共役作用素]]に置き換わり、'''ポアソン可換な函数'''(Poisson commuting functions)が'''可換な[[作用素 (関数解析学)|作用素]]'''(commuting operators)へ置き換わる。

量子可積分系を説明するために、[[自由粒子]]の設定を考えるとよい。ここに全ての力学は一体（問題）となる。量子系は力学が二体（問題）に還元されるときに積分できると言われる。{{仮リンク|ヤン・バクスター方程式|en|Yang-Baxter equation}}([[楊振寧|Yang]]-[[:en:Rodney Baxter|Baxter]] equation)<ref name="yb">[[神保道夫]]『[[量子群]]とヤン・バクスター方程式』[[シュプリンガー・フェアラーク東京]].</ref>は、この還元性の結果であり、[[保存量]]の無限個の集まりを与えるトレースで同一視することをもたらす。このアイデアの全ては、明白な解を得る代数的{{ill2|ベーテ仮設|en|Bethe Ansatz}}(Bethe Ansatz)<ref name="bethe">国場敦夫, ベーテ仮説と[[組合せ数学|組合せ論]], [[朝倉書店]], 2011. 
</ref>を使うことができる{{仮リンク|量子逆散乱法|en|Quantum inverse scattering method}}(Quantum inverse scattering method)の中に組み込まれている。量子可積分模型の例は、{{仮リンク|リーブ・リニガー模型|en|Lieb-Liniger Model}}(Lieb-Liniger Model)や[[ハバード模型]] (Hubbard model)や、{{仮リンク|量子ハイゼンベルク模型|en|Heisenberg model (quantum)}}([[ヴェルナー・ハイゼンベルク|Heisenberg]] model)のいくつかの変形がある<ref name="kbi">{{Cite book | author=V.E. Korepin, N. M. Bogoliubov, A. G. Izergin | title=Quantum Inverse Scattering Method and Correlation Functions| publisher=[[:en:Cambridge University Press]] | year=1997 | isbn=978-0-521-58646-7}}</ref>。
<!---==Quantum integrable systems ==
There is also a notion of '''quantum integrable systems'''.
In the quantum setting, functions on phase space must be replaced by [[self-adjoint operators]] on a [[Hilbert space]], and the notion
of '''Poisson commuting functions''' replaced by '''commuting operators'''.

To explain quantum integrability, it is helpful to consider the free particle setting. Here all dynamics are one-body reducible. A quantum
system is said to be integrable if the dynamics are two-body irreducible. The [[Yang-Baxter equation]] is a consequence of this reducibility and leads to
trace identities which provide an infinite set of conserved quantities. All of these ideas are incorporated into the [[Quantum inverse scattering method]] where the
algebraic [[Bethe Ansatz]] can be used to obtain explicit solutions. Examples of quantum integrable models are the [[Lieb-Liniger Model]], the [[Hubbard model]] and
several variations on the [[Heisenberg model (quantum)|Heisenberg model]]. <ref>{{Cite book | author=[[Vladimir Korepin|V.E. Korepin]], N. M. Bogoliubov, A. G. Izergin | title=Quantum Inverse Scattering Method and Correlation Functions| publisher=Cambridge University Press | year=1997 | isbn=978-0-521-58646-7}}</ref>-->

== 完全可解模型 ==
物理学では、完全可解系は、本質的には無限次元の設定であり、'''完全可解模型'''または'''完全可解モデル'''(exactly solvable models)と呼ばれる。このことは、ハミルトニアンの意味での可積分性とより一般的な[[力学系]]の意味との間の区別を不明確なものにしている。

'''完全可解模型'''の考え方は[[統計力学]]の中にもあり、量子可積分系と古典可積分系の間にはより密接な関係がある。2つの密接に関連する方法：現代的な意味では'''{{仮リンク|ヤン・バクスター方程式|en|Yang–Baxter equation}}'''<ref name="yb"/>に基づいた{{仮リンク|ベーテ仮設|en|Bethe ansatz}}<ref name="bethe"/>によるアプローチと、'''{{仮リンク|量子逆散乱法|en|quantum inverse scattering method}}'''<ref name="kbi"/>は、'''逆スペクトル法'''の量子的な類似物である。これら 2つのアプローチは、[[統計力学]]での可解模型の研究においては、等しく重要である。
<!---==Exactly solvable models ==
In physics, completely integrable systems, especially in the infinite dimensional setting, are often referred to as '''exactly solvable models'''. This obscures the distinction between integrability in the Hamiltonian sense, and the more general dynamical systems sense.

There are also '''exactly solvable models''' in statistical mechanics, which are more closely related to quantum integrable systems than classical ones. Two closely related methods: the [[Bethe ansatz]] approach, in its modern sense, based on the '''[[Yang–Baxter equation]]s''' and the '''[[quantum inverse scattering method]]''' provide quantum analogs of the '''inverse spectral methods'''. These are equally important in the study of solvable models in statistical mechanics.-->

<!---意味として、「完全可解性」の不正確な概念：「解は既知の函数で明確に表現することができる」としばしば使用される。as though this were an intrinsic property of the system itself, rather than the purely calculational feature that we happen to have some "known" functions available, in terms of which the solutions may be expressed. This notion has no intrinsic meaning, since what is meant by "known" functions very often is defined precisely by the fact that they satisfy certain given equations, and the list of such "known functions" is constantly growing. Although such a characterization of "integrability" has no intrinsic validity, it often implies the sort of regularity that is to be expected in integrable systems.-->
<!---An imprecise notion of "exact solvability" as meaning: "The solutions can be expressed explicitly in terms of some previously known functions" is also sometimes used, as though this were an intrinsic property of the system itself, rather than the purely calculational feature that we happen to have some "known" functions available, in terms of which the solutions may be expressed. This notion has no intrinsic meaning, since what is meant by "known" functions very often is defined precisely by the fact that they satisfy certain given equations, and the list of such "known functions" is constantly growing. Although such a characterization of "integrability" has no intrinsic validity, it often implies the sort of regularity that is to be expected in integrable systems.-->

== よく知られている古典可積分系のリスト ==
'''1. 古典力学系（有限次元相空間）：'''

* n 次元の中の[[調和振動子]]
* [[中心力]]運動（{{仮リンク|古典中心力問題の完全解|en|exact solutions of classical central-force problems}}）
* 2つの中心をもつ[[万有引力|ニュートンの万有引力]]による運動
* コマ([[:en:Lagrange, Euler, and Kovalevskaya tops]])<ref>Michele Audin, (高崎金久訳), コマの幾何学一可積分系講義, [[共立出版]], (2000 : 原著 1996).</ref>
<!---* [[Geodesic motion on ellipsoids]]
* [[Neumann oscillator]]
* [[Integrable Clebsch and Steklov systems in fluids]]
* [[Calogero&ndash;Moser&ndash;Sutherland model]]
* [[Swinging Atwood's Machine]] with certain choices of parameters-->

'''2. 可積分格子模型'''

* {{ill2|戸田格子|en|Toda lattice}}(Toda lattice)<ref>復刊可積分系の世界―戸田格子とその仲間― 、[[共立出版]]、高崎金久。</ref>
<!---* [[Ablowitz–Ladik lattice]]-->
* {{仮リンク|ヴォルテラ格子|en|Volterra lattice}}(Volterra lattice)

'''3. 1 + 1 次元のPDEの可積分系'''

* [[KdV方程式]] (Korteweg–de Vries equation)<ref name="kdvnls">Korteweg-de Vries and Nonlinear Schrödinger Equations: Qualitative Theory (2001), Zhidkov, Peter E., Springer.</ref>
* [[mKdV方程式]] (modified Korteweg–de Vries equation)
* {{ill2|サイン・ゴルドン方程式|en|Sine–Gordon equation}}(Sine–Gordon equation)
* [[非線形シュレディンガー方程式]] (Nonlinear Schrödinger equation)<ref name="kdvnls"/><ref>The Nonlinear Schrödinger Equation (1999)
-Self-Focusing and Wave Collapse-
, Sulem, Catherine, Sulem, Pierre-Louis, Springer.</ref><ref>The Nonlinear Schrödinger Equation -Singular Solutions and Optical Collapse- (2015), Gadi Fibich, Springer.
</ref>
* {{ill2|AKNS系|en|AKNS system}} (AKNS<ref>[[:en:Mark J. Ablowitz|Ablowitz]]–Kaup–Newell–Segur</ref> system)<ref>Ablowitz, Mark J.; Kaup, David J.; Newell, Alan C.; Segur, Harvey (1974), "The inverse scattering transform-Fourier analysis for nonlinear problems", Studies in Appl. Math., 53 (4): 249–315.</ref>
<!---* 
* [[Boussinesq equation (water waves)]]
* [[Nonlinear sigma models]]
* [[Classical Heisenberg ferromagnet model (spin chain)]]
* [[Classical Gaudin spin system (Garnier system)]]
* [[Landau–Lifshitz equation (continuous spin field)]]
* [[Benjamin–Ono equation]]
* [[Dym equation]]
* [[Three-wave equation]]-->

'''4. 2 + 1 次元のPDEの可積分系'''

* [[KP方程式]](Kadomtsev–Petviashvili equation)<ref>Kodama, Y. (2017). KP Solitons and the Grassmannians: combinatorics and geometry of two-dimensional wave patterns. Springer.</ref>
* {{ill2|DS方程式|en|Davey–Stewartson equation}} (Davey–Stewartson equation)
<!---*
* [[Ishimori equation]]-->

'''5. 高次元のPDEの可積分系'''

* [[自己双対ヤン・ミルズ方程式]] (Self-dual [[楊振寧|Yang]]–Mills equations)
* 接[[ラックス・ペア]]可積分系 (Integrable systems with contact Lax pairs<ref>Sergyeyev, A. (2018). New integrable (3+1)-dimensional systems and contact geometry, Lett. Math. Phys. 108, no. 2, 359-376, {{arXiv|1401.2122}} {{doi|10.1007/s11005-017-1013-4}}</ref>)

== 定義に関する注意点 ==
ここまで可積分系に関して説明してきたが、'''可積分系 (特に離散可積分系) に厳密な定義はない'''<ref>{{PDFlink|[http://gandalf.math.kyushu-u.ac.jp/~kaji/ohp/2007_master.pdf 可積分系の紹介]}}</ref>。'''可積分系を厳密に定義することが目標なのである'''。そのため、'''人によって定義が異なる'''こともあるし<ref>[https://mathoverflow.net/q/6379/142447 What is an integrable system]、[[MathOverflow]]より</ref>、一口に「可積分系の専門家」といっても'''人によって学問的バックグラウンドは異なる'''。これを踏まえた上で、[[京都大学数理解析研究所]]で開催される可積分系の研究集会では可積分系をキーワードに、'''「[[常微分方程式]]論、[[確率論]]、[[組み合わせ論]]、[[実解析]]、[[応用数学|応用数理]]、[[代数幾何学]]、[[微分幾何学]]、[[数論]]など幅広い分野の研究者の情報交換」'''を目的としている<ref>[https://sites.google.com/math.kindai.ac.jp/rims2019integrablesystems/ 可積分系数理の深化と展開]</ref><ref>[https://sites.google.com/view/rims2018integrablesystems/%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%A0 可積分系理論から見える数理構造とその応用]</ref>。

== 関連項目 ==
=== 関連分野 ===
* [[力学系]]
* [[統計力学]]
* [[解析力学]]
* [[数理物理]]
* [[ソリトン]]
* [[可積分アルゴリズム]]
* [[パンルヴェ方程式]]
* [[広田の方法]]
* [[佐藤理論]]

=== 研究者 ===
==== 海外 ====
* [[ピーター・ラックス]] ([[ラックス・ペア]]で知られる)
* [[楊振寧]]

==== 日本 ====
* [[戸田盛和]]
* [[広田良吾]]
* [[佐藤幹夫 (数学者)|佐藤幹夫]]
* [[神保道夫]]
* [[三輪哲二]]
* [[薩摩順吉]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 出典 ===
{{Reflist|30em}}

== 参考文献 ==
=== 洋書 ===
* {{Cite book |author=[[Vladimir Arnold|V.I. Arnold]] |title=Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed. |publisher=Springer |year=1997|isbn=978-0-387-96890-2}}
* {{Cite book |author=M. Dunajski |title=Solitons, Instantons and Twistors,| publisher=[[Oxford University Press]]| year=2009|isbn=978-0-19-857063-9}}
* {{Cite book |author=L.D. Faddeev, L. A. Takhtajan |title =Hamiltonian Methods in the Theory of Solitons |publisher=Addison-Wesley |year=1987 |isbn=978-0-387-15579-1}}
* [[Anatoly Fomenko|A.T. Fomenko]], ''Symplectic Geometry. Methods and Applications.'' Gordon and Breach, 1988. Second edition 1995, ISBN 978-2-88124-901-3.
* [[Anatoly Fomenko|A.T. Fomenko]], A. V. Bolsinov ''Integrable Hamiltonian Systems: Geometry, Topology, Classification''. Taylor and Francis, 2003, ISBN 978-0-415-29805-6.
* {{Cite book |author=H. Goldstein |title =Classical Mechanics, 2nd. ed. |publisher=Addison-Wesley |year=1980 |isbn=0-201-02918-9}}
* {{Cite book |author=J. Harnad, P. Winternitz, G. Sabidussi, eds. |title=Integrable Systems: From Classical to Quantum| publisher=[[American Mathematical Society]] |year=2000 |isbn=0-8218-2093-1}}
* {{Cite book |author=V.E. Korepin, N. M. Bogoliubov, A. G. Izergin |title=Quantum Inverse Scattering Method and Correlation Functions| publisher=Cambridge University Press |year=1997 |isbn=978-0-521-58646-7}}
* {{Cite book |author=V. S. Afrajmovich, V.I. Arnold, Yu S. Il'yashenko, L. P. Shil'nikov |title=Dynamical Systems V |publisher=Springer |isbn=3-540-18173-3}}
* {{Cite book |author=G. Mussardo |title=Statistical Field Theory. An Introduction to Exactly Solved Models of Statistical Physics |publisher=Oxford University Press |ISBN=978-0-19-954758-6}}

=== 和書 ===
* 中村佳正、他：「可積分系の応用数理」、[[裳華房]]、ISBN 4-7853-1520-2 (2000年6月)。
* 中村佳正：「可積分系の機能数理」、[[共立出版]]、ISBN 978-4-320-01804-4 (2006年4月10日)。
* 高崎金久：復刊「可積分系の世界：戸田格子とその仲間」、[[共立出版]]、ISBN 978-4-320-11042-7（2013年7月25日）。
* 中村佳正、他：「可積分系の数理」、[[朝倉書店]]（解析学百科II）、ISBN 978-4-254-11727-1 (2018年3月20日)。

==== 応用可積分系の文献 ====
* 田中俊一、伊達悦朗：「KdV方程式：非線型数理物理入門」、紀伊國屋書店（1979年7月30日).
* [[広田良吾]]：「直接法によるソリトンの数理」、岩波書店、{{ISBN2|4-00-005676-X}}（1992年10月12日）.
* Michéle Audin：「コマの幾何学：可積分系講義」、共立出版、ISBN 4-320-01655-6 (2000年3月10日).
* 中村佳正：「可積分系の応用数理」、裳華房、ISBN 4-7853-1520-2 (2000年6月10日).
* 高崎金久：「可積分系の世界：戸田格子とその仲間」、共立出版、{{ISBN2|4-320-01669-6}} (2001年3月30日).
* 広田良吾、高橋大輔：「差分と超離散」、共立出版、ISBN 4-320-01729-3 (2003年2月25日).
* 中村佳正：「可積分系の機能数理」、共立出版、ISBN 4-320-01804-4 (2006年4月10日).
* 三輪哲二、神保道夫、伊達悦朗：「ソリトンの数理」、岩波書店、ISBN 978-4-00-005612-0 (2007年2月20日).
* 時弘哲治：「[[箱玉系]]の数理」、[[朝倉書店]]、ISBN 978-4-254-11733-2 (2010年1月25日).
* 井ノ口順一：「曲線と[[ソリトン]]」、[[朝倉書店]]、ISBN 978-4-254-11734-9（2010年3月10日).
* 井ノ口順一：「[[曲面]]と可積分系」、[[朝倉書店]]、ISBN 978-4-254-11768-4 (2015年10月25日).
* 戸田盛和：「非線形格子力学」、岩波書店 (1978年12月5日). ※オンデマンド版あり、ISBN 978-4-00-730483-5 (2016年9月13日）。

==== 離散可積分系の文献 ====
* {{PDFlink|[http://gandalf.math.kyushu-u.ac.jp/DISDDG/2010/kakei_part1.pdf 離散可積分系入門 (I)]}}、[[九州大学]]産業技術数理研究センター第9回ワークショップ、離散可積分系・離散[[微分幾何]]チュートリアル
* {{PDFlink|[http://gandalf.math.kyushu-u.ac.jp/DISDDG/2010/kakei_part2.pdf 離散可積分系入門 (II)]}}、[[九州大学]]産業技術数理研究センター第9回ワークショップ、離散可積分系・離散[[微分幾何]]チュートリアル
* {{PDFlink|[http://gandalf.math.kyushu-u.ac.jp/DISDDG/2010/kakei_part3.pdf 離散可積分系入門 (III)]}}、[[九州大学]]産業技術数理研究センター第9回ワークショップ、離散可積分系・離散[[微分幾何]]チュートリアル

== 外部リンク ==
* {{SpringerEOM|title=Integrable system|urlname=Integrable_system}}
* {{PDFlink|[http://gandalf.math.kyushu-u.ac.jp/~kaji/ohp/2007_master.pdf 可積分系の紹介]}}
* [https://www.s.u-tokyo.ac.jp/ja/story/newsletter/keywords/32/01.html 可積分系 - 理学のキーワード - 東京大学 大学院理学系研究科・理学部]
* [http://www.side-conferences.net/ "SIDE - Symmetries and Integrability of Difference Equations"] (離散可積分系に関する国際研究集会<ref>SIDEでは主に以下のテーマを扱う:
* [[特殊関数]]と[[直交多項式]]
* 離散[[パンルヴェ方程式]]
* アフィン[[ワイル群]]の[[表現論]]
* 代数的[[エントロピー]]
* [[場の量子論]]</ref><ref>Hitchin, N. J. (1999). ''Symmetries and integrability of difference equations''. [[:en:Cambridge University Press]].</ref><ref>''Symmetries and Integrability of Difference Equations'' (2011), edited by Decio Levi, Peter Olver, Zora Thomova, Pavel Winternitz, [[:en:Cambridge University Press]].</ref><ref>''Symmetries and Integrability of Difference Equations'', Lecture Notes of the Abecederian School of SIDE 12, Montreal 2016, Editors: Levi, D., Verge-Rebelo, R., Winternitz, P. (Eds.)</ref>)
* [http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~kanehisa.takasaki/soliton-lab/mugen.html 無限可積分系メーリングリスト-京都大学]
* [https://www.jps.or.jp/books/50thkinen/50th_03/004.html 格子ソリトンの発見]、[[日本物理学会]]

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[[Category:可積分系|*]]
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[[Category:数学に関する記事]]