可算コンパクト空間のソースを表示

[[位相空間]] ''X'' が'''可算コンパクト空間'''（{{lang-en-short|''Countably compact space''}}）であるとは、任意の[[可算]][[集合の被覆|開被覆]]が[[有限]]部分被覆を持つことをいう。即ち、
:<math>
X= \bigcup_{\lambda}O_{\lambda}
</math>
を満たす任意の可算[[開集合]]族 <math>\{O_{\lambda}\}_{\lambda}</math> に対しある有限部分族 <math>\{O_{\lambda_i}\}_{i=1,\ldots,n}</math> が存在して、
:<math>
X= \bigcup_{i=1,\ldots,n}O_{i}
</math>
が成り立つことをいう。[[定義]]より任意の[[コンパクト空間]]は可算コンパクト空間でもある。

==同値な定義==
いわゆる有限交叉性である。
*[[閉集合]]からなる可算な[[集合族]] ''A''⊂P(X) が <math>\bigcap A = \emptyset</math> を満たすならば、ある有限部分集合 ''B''⊂''A'' が存在して <math>\bigcap B = \emptyset</math>。

==性質==
*可算コンパクト空間は{{仮リンク|極限点コンパクト|en|limit point compact}}である。この逆は必ずしも成り立たないが、[[T1空間]]ではこの両者は同値となる。

*[[点列コンパクト空間]]は可算コンパクトである。[[距離空間]]では、可算コンパクト性と点列コンパクト性、コンパクト性、極限点コンパクト性はすべて同値である。

*実数<math>\mathbb{R}</math>に通常の位相を入れたものは[[局所コンパクト]]、[[σコンパクト]]、そして[[パラコンパクト]]であるが、可算コンパクトではない。よってこれら3つはどれも可算コンパクト性を導かない。

* 2つの可算コンパクト空間の直積は必ずしも可算コンパクトではない。それに対し任意個のコンパクト空間の直積はまたコンパクト空間となる（[[チコノフの定理]]）。

* 可算コンパクトな[[T2空間]]が[[第一可算公理]]を満たせば、それは[[T3空間]]である。さらに[[第二可算公理]]を満たせば、[[T4空間]]、[[T5空間]]となる。

==例==
* 任意のコンパクト空間は可算コンパクトである。

*  [[最小の非可算順序数]] ''ω<sub>1</sub>'' に順序位相を入れたものは可算コンパクトだがコンパクトでない空間の例になっている。

==関連項目==
* [[点列コンパクト空間]]
* [[可算集合]]

==参考文献==
* {{cite book
 | author = Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach Jr.
 | year = 1995
 | title = Counterexamples in Topology (Dover Books on Mathematics)
 | edition = New
 | publisher = Dover Publications
 | isbn = 978-0486687353
}}
* {{cite book
 | author = James Munkres
 | year = 1999
 | title = Topology
 | edition = 2nd
 | publisher = Prentice Hall
 | isbn = 0-13-181629-2
}}

{{デフォルトソート:かさんこんぱくとくうかん}}
[[Category:コンパクト空間]]
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