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'''可算選択公理'''（{{lang-en-short|''Axiom of countable choice''}}）とは、[[公理的集合論]]における[[公理]]のひとつで、空でない集合からなる[[可算]]な[[集合族]]があったときに、それぞれの[[集合]]から一つずつ[[元 (数学)|元]]を選び出して新しい集合を作ることができるという公理である。'''AC<sub>ω</sub>'''とも表記される。名前の通り、[[選択公理]]を可算集合族に限定したものになっている。

==定義==
空でない集合からなる任意の可算集合族Fに対し、ある（Fを定義域に持つ）[[関数 (数学)|関数]] f が存在して、任意のS∈Fに対し f(S)∈Sが成り立つ。

このような関数をFの'''選択関数'''と呼ぶ。

==応用==
ZF に AC<sub>ω</sub>を付け加えた[[公理系]]では、可算集合の可算[[和集合|和]]が可算であることや、任意の[[無限集合]]が[[デデキント無限]]であることなどが証明できる<ref name="jech">Jech, T.J. (1973). The Axiom of Choice. North Holland.</ref>。

[[実数|実数論]]においては選択公理ではなく可算選択公理で事足りる場合が多い<ref name="jech" />。例えばすべての[[集積点]]<math> x </math>がある数列の[[極限点]]であること、すなわち「<math> x </math>が実数<math>\mathbb{R}</math>の部分集合<math>S</math>の集積点ならば、<math>x</math>に収束する数列<math>S \setminus \{x\}</math>が存在する」という命題を証明したい場合には(フルパワーのACでなく)AC<sub>ω</sub>を用いれば十分である。

また、[[距離空間|距離空間論]]において、[[可分]][[距離空間]]の任意の部分集合が可分であることを示す際にも用いられる<ref name="jech" />。

==他の公理との関係==
AC<sub>ω</sub>は[[選択公理]]や[[従属選択公理]]よりも弱い主張である。実際、選択公理が成り立たない[[ソロヴェイのモデル]]においても、可算選択公理は成り立つ。

[[ポール・コーエン (数学者)|ポール・コーエン]]はAC<sub>ω</sub>が[[公理的集合論|ZF集合論]]から証明できないことを示した。

==関連項目==
*[[公理的集合論]]
*[[選択公理]]

==出典==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

==参考文献==
* {{Cite journal
 | first = Horst | last = Herrlich
 | url = http://www.emis.de/journals/CMUC/pdf/cmuc9703/herrli.pdf
 | title = Choice principles in elementary topology and analysis
 | journal = Comment.Math.Univ.Carolinae
 | volume = 38 | issue = 3 | year = 1997 | pages = 545-545
 | ref = harv }}
* {{Cite  journal
 | first1 = Paul | last1 = Howard
 | first2 = Jean E. | last2 = Rubin
 | title = Consequences of the axiom of choice
 | journal =  Providence, R.I.
 | publisher = American Mathematical Society
 | year = 1998
 | ref = harv }}
* {{Cite book
 | title=Set Theory and its Philosophy : A Critical Introduction
 | first = Michael | last = Potter
 | publisher = Oxford University Press
 | year = 2004
 | page=164
 | isbn = 9780191556432
 | url=https://books.google.co.jp/books?id=FxRoPuPbGgUC&pg=PA164&redir_esc=y&hl=ja
 | ref=harv}}

{{集合論}}
{{DEFAULTSORT:かさんせんたくこうり}}
[[Category:選択公理]]
[[Category:数学に関する記事]]