可除群のソースを表示

[[数学]]、とくに[[群論]]の分野において、'''可除群''' (divisible group) は[[アーベル群]]であって全ての元がある意味で正の[[整数]]によって割ることのできるもの、より正確には、すべての元が各正整数 ''n'' に対して ''n'' 倍元であるものである。可除群はとくに[[移入加群|移入]]アーベル群であることを理由にアーベル群の構造の理解において重要である。

==定義==
アーベル群 (''G'', +) が'''可除''' (divisible) であるとは、すべての正の整数 ''n'' とすべての ''g'' &isin; ''G'' に対して、ある ''y'' &isin; ''G'' が存在して、''ny'' = ''g'' となることをいう<ref>Griffith, p. 6</ref>。これは任意の正の整数 ''n'' に対して ''nG'' = ''G'' といっても同じである。なぜならば、すべての ''n'' と ''g'' に対しての ''y'' の存在から ''nG'' ⊇ ''G'' が言え、逆の ''nG'' ⊆ ''G'' は任意の群に対して正しいからである。また別の同値条件として、アーベル群 ''G'' が可除であることと ''G'' が[[アーベル群の圏]]における[[入射対象]]であることは同値である。この理由のため、可除群は'''入射群'''と呼ばれることがある。

アーベル群が[[素数]] ''p'' に対して ''p''-'''可除''' (''p''-divisible) とは、すべての正の整数 ''n'' とすべての ''g'' &isin; ''G'' に対してある ''y'' &isin; ''G'' が存在して ''p''<sup>''n''</sup>''y'' = ''g'' となることをいう。あるいは同じことだが、アーベル群が ''p''-可除であることと ''pG'' = ''G'' であることは同値である。

==例==
* [[有理数]]全体 <math>\mathbb Q</math> は加法のもと可除群をなす。
* より一般に、<math>\mathbb Q</math> 上の任意の[[ベクトル空間]]を加法群と見たものは可除である。
* 可除群のすべての[[商群]]は可除である。したがって、<math>\mathbb Q/\mathbb Z</math> は可除である。
* <math>\mathbb Q/ \mathbb Z</math> の ''p''-{{仮リンク|準素成分|en|primary component}} <math>\mathbb Z[1/p]/\mathbb Z</math>、これは ''p''-[[準巡回群]] <math>\mathbb Z[p^\infty]</math> と同型であるが、可除である。
* [[複素数]]体の乗法群 <math>\mathbb C^*</math> は可除である。
* （[[モデル理論]]の意味で）{{仮リンク|存在閉|en|existentially closed}}なすべての群は可除である。

==性質==
* 可除群がアーベル群の部分群であれば{{仮リンク|直和因子|en|direct summand}}である<ref>Hall, p. 197</ref>。
* 任意のアーベル群は可除群に埋め込むことができる<ref>Griffith, p. 17</ref>。
* 非自明な可除群は[[有限生成アーベル群|有限生成]]でない。
* さらに、すべてのアーベル群は可除群に一意的に{{仮リンク|本質部分群|en|essential subgroup}}として埋め込むことができる<ref>Griffith, p. 19</ref>。
* アーベル群が可除であることと全ての素数 ''p'' に対して ''p''-可除であることは同値である。
* ''A'' を環とする。''T'' が可除群であれば、<math>\mathrm{Hom}_\mathbf{Z} (A,T)</math> は ''A'' 加群の圏において単射的である<ref>Lang, p. 106</ref>。

==可除群の構造定理==
''G'' を可除群とすると、''G'' の[[捩れ部分群]] Tor(''G'') は可除である。可除群は[[入射加群]]であるから、Tor(''G'') は ''G'' の{{仮リンク|直和因子|en|direct summand}}である。したがって

:<math>G = \operatorname{Tor}(G) \oplus  G/\operatorname{Tor}(G)</math>

である。可除群の商であるから、''G''/Tor(''G'') は可除である。さらに、[[捩れ (代数学)|トーションがない]]。したがって、これは '''Q''' 上のベクトル空間であり、ある集合 ''I'' が存在して

:<math>G/\operatorname{Tor}(G) = \textstyle\bigoplus_{i \in I} \mathbb Q = \mathbb Q^{(I)}</math>

となる。捩れ部分群の構造は決定するのが難しいが、すべての[[素数]] ''p'' に対してある <math>I_p</math> が存在して

:<math>(\operatorname{Tor}(G))_p = \textstyle\bigoplus_{i \in I_p} \mathbb Z[p^\infty] = \mathbb Z[p^\infty]^{(I_p)}</math>

となることを示すことができる{{sfn|Kaplansky|1965}}。ここで <math>(\operatorname{Tor}(G))_p</math> は Tor(''G'') の ''p''-準素成分である。

したがって、'''P''' を素数全体の集合とすれば、

:<math>G = \left(\bigoplus_{p \in \mathbf P} \mathbb Z[p^\infty]^{(I_p)}\right) \oplus \mathbb Q^{(I)}.</math>

集合 ''I'' および ''p''&isin;'''P''' に対して ''I''<sub>''p''</sub> の濃度は群 ''G'' によって一意的に決まる。

==移入包絡==
{{main|移入包絡}}
上に述べたように、任意のアーベル群 ''A'' は可除群 ''D'' に{{仮リンク|本質的部分群|en|essential subgroup}}として一意的に埋め込むことができる。この可除群 ''D'' は ''A'' の最小の入射拡大 ('''injective envelope''') であり、この概念はアーベル群の圏（{{math|'''Z'''}}-加群の圏）における[[移入包絡]]である。

==被約アーベル群==
アーベル群が'''被約''' (reduced) とは、その可除部分群が {0} のみであることをいう。すべてのアーベル群は1つの可除部分群と1つの被約部分群の直和である。実は、任意の群には一意的な最大の可除部分群が存在して、この可除群は直和因子である<ref>Griffith, p. 7</ref>。これは整数環 '''Z''' のような[[遺伝環]]の特別な性質である：環が[[ネーター環|ネーター的]]だから移入加群の[[加群の直和|直和]]は移入であり、環が遺伝的だから移入加群の商加群は移入的であり、したがって移入加群で生成される任意の部分加群は移入的である。逆は {{harv|Matlis|1958}} の結果である：任意の加群が一意的な極大移入部分加群を持てば、環は遺伝的である。

可算被約周期的アーベル群の完全な分類は{{仮リンク|Ulmの定理|en|Ulm's theorem}}によって与えられる。

==一般化==
可除群を可除加群に一般化するいくつかの異なる定義。以下の定義は[[環 (数学)|環]] ''R'' 上の可除[[環上の加群|加群]] ''M'' を定義するために文献で使われている：
# すべての 0 ≠ ''r'' &isin; ''R'' に対して ''rM'' = ''M'' {{sfn|Feigelstock|2006}}。（''r'' が零因子でないことを要求することもあるし、''R'' が[[非可換整域|整域]]であることを要求することもある{{sfn|Cartan|Eilenberg|1999}}{{sfn|Rotman|2009}}。）
# すべての主左イデアル ''Ra'' に対し、''Ra'' から ''M'' への任意の準同型は ''R'' から ''M'' への準同型に拡張する{{sfn|Lam|1999}}{{sfn|Nicholson|Yousif
|2003}}。（このタイプの可除加群は ''principally injective module'' とも呼ばれる。）
# ''R'' のすべての[[有限生成加群|有限生成]]左イデアル ''L'' に対して、''L'' から ''M'' への任意の準同型は ''R'' から ''M'' への準同型に拡張する{{sfn|Damiano|1979}}。

後ろ2つの条件は[[移入加群]]に対する [[入射加群|Baer の判定法]]の「制限バージョン」である。移入左加群は''すべての''左イデアルからの準同型が ''R'' からの準同型へと拡張するから、移入加群は明らかに 2 と 3 の意味で可除である。

''R'' がさらに整域であれば、3つの条件はすべて一致する。''R'' が主左イデアル整域であれば、可除加群は移入加群と一致する{{sfn|Lam|1999|loc=pp. 70&ndash;73}}。したがって、主イデアル整域である整数環 '''Z''' の場合には、'''Z''' 加群（これはちょうどアーベル群）が可除であることと移入的であることは同値である。

''R'' が可換整域であれば、移入 ''R'' 加群が可除 ''R'' 加群と一致することと ''R'' が[[デデキント整域]]であることは同値である{{sfn|Lam|1999|loc=pp. 70&ndash;73}}。

==脚注==
{{reflist|colwidth=30em}}

==参考文献==
*{{citation |last1=Cartan |first1=Henri  |last2=Eilenberg |first2=Samuel |title=Homological algebra |series=Princeton Landmarks in Mathematics |publisher=[[Princeton University Press]] |place=Princeton, NJ |year=1999 |pages=xvi+390 |isbn=0-691-04991-2 |mr=1731415}} With an appendix by David A. Buchsbaum; Reprint of the 1956 original 
*{{citation |author=Feigelstock, Shalom |title=Divisible is injective |journal=Soochow J. Math. |volume=32 |year=2006 |number=2|pages=241–243 |issn=0250-3255 |mr=2238765}}
* {{cite book | last=Griffith|first=Phillip A. | title=Infinite Abelian group theory | series=Chicago Lectures in Mathematics | publisher=[[University of Chicago Press]] | year=1970 | isbn=0-226-30870-7 }}
* {{cite book | title=The theory of groups |last=Hall|first=Marshall, jr | authorlink=Marshall Hall (mathematician) | location=New York | publisher=[[マクミラン出版社|Macmillan]] | year=1959 }}  Chapter 13.3.
* {{cite book | title=Infinite Abelian Groups|last=Kaplansky|first=Irving | authorlink=Irving Kaplansky | publisher=University of Michigan Press | year=1965 }}
*{{Citation | last1=Lam | first1=Tsit-Yuen | title=Lectures on modules and rings | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics No. 189 | isbn=978-0-387-98428-5 | mr=1653294 | year=1999}}
* {{cite book | title=Algebra, Second Edition | author=Serge Lang | authorlink=Serge Lang | location=Menlo Park, California | publisher=Addison-Wesley | year=1984 }}
*{{Cite journal | last=Matlis | first=Eben | title=Injective modules over Noetherian rings | url=http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.pjm/1103039896 | mr=0099360 | year=1958 | journal=Pacific Journal of Mathematics | issn=0030-8730 | volume=8 | pages=511–528 | doi=10.2140/pjm.1958.8.511 }}{{リンク切れ|date=2017年9月 |bot=InternetArchiveBot }}
*{{citation |last1=Nicholson|first1=W. K. |last2=Yousif|first2=M. F. |title=Quasi-Frobenius rings |series=Cambridge Tracts in Mathematics |volume=158 |publisher=[[Cambridge University Press]] |place=Cambridge |year=2003 |pages=xviii+307 |isbn=0-521-81593-2 |mr=2003785 |doi=10.1017/CBO9780511546525}}

{{DEFAULTSORT:かしよくん}}
[[Category:アーベル群論]]
[[Category:群の性質]]
[[Category:数学に関する記事]]