右手系のソースを表示

[[Image:Cartesian coordinate system handedness.svg|thumb|左手系座標系（左図）と右手系座標系（右図）。親指をx軸、人差し指をy軸、中指をz軸としている。]]
<!--[[Image:Rechte-hand-regel.jpg|thumb|三次元右手系直交座標系における[[右手の法則]]]]-->

'''右手系'''（みぎてけい、{{lang-en-short|right-handed system}}）または'''正系'''（せいけい、{{lang|en|positive-oriented system}}）は、[[線型代数学]]における[[座標系]]で、'''[[右手の法則]]'''（[[:en:Right-hand rule|right-hand rule]]）に従うものを指し、'''左手系'''と区別される。多くの分野では右手系が標準とされるが、[[測量]]の分野では'''[[#測量・測地学における左手系|左手系]]'''が標準である<!--[[線型代数学]]における用語のひとつ。--><!--すなわち3次元空間における[[直交座標系]]が右手系であるとは、右手の親指・人差し指・中指を[[直交]]するように曲げたときに、親指を ''x'' 軸に、人差し指を ''y'' 軸に、中指を ''z'' 軸に合わせられることをいう。--><!--対して、''x'' 軸・''y'' 軸・''z'' 軸が左手の親指・人差し指・中指に対応する場合、その直交座標系は'''左手系'''であるという。直交座標系は、右手系か左手系かのいずれかである。通常は、右手系の直交座標系が用いられる。-->。

右手系・左手系という性質は、[[直交座標系]]とは限らない座標系に対しても考えられる。より抽象的には、順序付けられた[[ベクトル空間#基底と次元|基底]]に対して定義される。また、[[3次元]]に限らず、[[2次元]]以上の任意の[[次元]]の[[ユークリッド空間]]に対しても定義される。

== 定義 ==
''n'' ≥ 2 とする。''n'' 次元ユークリッド空間 '''R'''<sup>''n''</sup> において、''j'' 番目の座標が 1 でその他が 0 である[[空間ベクトル|ベクトル]]を、''e''<sub>''j''</sub> と表すこととする。&lt;'''e'''<sub>1</sub>, …, '''e'''<sub>''n''</sub>&gt; は、'''R'''<sup>''n''</sup> の標準的な基底である。任意に2通りの基底 ''A'' := &lt;'''a'''<sub>1</sub>, …, '''a'''<sub>''n''</sub>&gt; と ''B'' := &lt;'''b'''<sub>1</sub>, …, '''b'''<sub>''n''</sub>&gt; を取ったとき、その間の[[基底変換#基底変換|変換行列]]は[[正則行列]]となる。その[[行列式]]が[[正の数と負の数|正]]であるときに ''A'' と ''B'' は同値であるとして[[同値関係]]を定義すると、基底全体の[[集合]]はちょうど2つの[[同値関係#同値類|同値類]]に類別される。標準的な基底と同値である基底は'''右手系'''であるといい、同値でない基底は'''左手系'''であるという。

== 性質 ==
* 標準的な基底は右手系である。
* &lt;'''a'''<sub>1</sub>, …, '''a'''<sub>''n''</sub>&gt; が右手系であるとき、その中の2つのベクトルの順序を入れ替えたもの、例えば &lt;'''a'''<sub>2</sub>, '''a'''<sub>1</sub>, '''a'''<sub>3</sub>, …, '''a'''<sub>''n''</sub>&gt; は左手系になる。より一般に、''n'' 次[[対称群]]の元 σ に対し、&lt;'''a'''<sub>σ(1)</sub>, …, '''a'''<sub>''σ(n)''</sub>&gt; が右手系であることと、σ の[[対称群#置換の符号|符号]]が +1 であることは[[同値]]である。
* 基底 ''A'' = &lt;'''a'''<sub>1</sub>, …, '''a'''<sub>''n''</sub>&gt; に対し、''n'' 次[[正方行列]] ('''a'''<sub>1</sub>, …, '''a'''<sub>''n''</sub>) の行列式が正ならば ''A'' は右手系であり、負ならば左手系である。

== 一般のベクトル空間 ==
''V'' を '''R''' 上の ''n'' 次元ベクトル空間とする。'''R'''<sup>''n''</sup> の場合と同様に、''V'' の基底全体の集合も、2つの同値類に類別される。そのどちらの元を右手系と呼び、どちらの元を左手系と呼ぶべきかは自然には定まらない。[[同型|同型写像]] φ '''R'''<sup>''n''</sup> → ''V'' をひとつ定めたならば、&lt;φ('''e'''<sub>1</sub>), …, φ('''e'''<sub>''n''</sub>)&gt; と同値である基底を右手系と呼ぶことはできる。

== 測量・測地学における左手系 ==
[[測量]]、[[航海術]]、[[地理学]]、[[測地学]]などの分野では、左手系の使用が標準的であり、北基準式で、''x'' 軸が北方向（[[緯度]]の正方向であり[[方位角]]の基準方向）、''y'' 軸が東方向となる<ref>[https://www.gsi.go.jp/sokuchikijun/jpc.html わかりやすい平面直角座標系] 各平面直角座標系の区域の備考欄、「2.座標系のＸ軸は、座標系原点において子午線に一致する軸とし、真北に向う値を正とし、座標系のＹ軸は、座標系原点において座標系のＸ軸に直交する軸とし、真東に向う値を正とする。」、地理院ホーム＞基本測量＞地球の形をはかる＞日本の測地系＞わかりやすい平面直角座標系、[[国土地理院]]</ref>（→[[平面直角座標系]]）。
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==回転方向を表す言い方==
右手系・左手系に関連し、方向ベクトルを基にして回転方向を表す言い方として、「右手・左手」回りがある<ref>なおどちらの半空間側から回転面（回転運動を射影した面）を観察しているか（どちらの面が表か）を基にした表し方として「[[時計回り]]・反時計回り」がある。</ref>。すなわち与えられた方向ベクトルが正のZ軸方向となるように'''右手系'''のXYZ座標系を定めると、<math>\left(x, y\right) = \left(\cos \theta, \sin \theta\right) </math>は <math>\theta </math>の増加に従って、「右手」回り回転となる。

[[螺旋]]については、<math>\left(x, y, z\right) = \left(\cos \alpha z, \sin \alpha z, z\right)</math>、（<math>\alpha > 0</math>）を「右手」回りと言う<ref>「右手」回り螺旋のことを、日本では「[[右ねじ]]（の螺旋）」とも言う。</ref> 。[[円偏光]]電磁波については、電場ベクトル<math>\,\boldsymbol{E} = \left(E_0 \cos \frac{2 \pi}{\lambda} \left(c t - z \right),\, E_0 \sin \frac{2 \pi}{\lambda} \left(c t - z \right),\, 0 \right)</math>は、電子工学の分野では「右手」回り（右旋）と言い、光学の分野では「左手」回りと言う。


[[File:Right-hand_grip_rule.svg|140px|thumb|「右手」回り：回転方向に関する[[右手の法則]]]]
「右手」回りの覚え方としては、指を握り親指だけを突き出した右手の姿で、方向ベクトルは親指の向き、回転方向は他の指の向きとなる。
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== 関連項目 ==
*[[向き]]
*[[キラリティー]]
*[[クロス積]]
<!--*[[フレミング右手の法則]]
*[[フレミング左手の法則]]
*[[アンペールの法則]]-->

== 脚注 ==
<references />

== 参考文献 ==
*『数学入門辞典』[[岩波書店]]、2005年、ISBN 978-4000802093
*齋藤正彦『線型代数入門』東京大学出版会、1995年、ISBN 978-4130620017

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