各点収束のソースを表示

[[数学]]において、'''各点収束''' ({{lang-en-short|pointwise convergence}}) は、[[関数 (数学)|関数]][[列 (数学)|列]]の[[極限|収束]]の概念の1つである<ref>{{cite book | last=Rudin | first=Walter | authorlink = Walter Rudin | title=Principles of Mathematical Analysis | publisher=[[McGraw-Hill]] | year=1976 | isbn=0-07-054235-X}}</ref><ref>{{cite book | last=Munkres | first=James R. | authorlink=James Munkres | title=Topology | edition=2nd | publisher=[[Prentice Hall]] | year=2000 | isbn=0-13-181629-2}}</ref>。

==定義==
{ ''f''<sub>''n''</sub> } を[[定義域]]と[[終域]]の等しい[[関数 (数学)|関数]]の列とする。（さしあたり終域は指定しないが[[実数]]と考えてもらってよい。）列 { ''f''<sub>''n''</sub> } が ''f'' に'''各点収束'''する (converge pointwise) とは、定義域のすべての点 ''x'' に対して
:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)</math>
が成り立つことをいう。
:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}f_n=f\  \mbox{pointwise}</math>
と書くことがある。

論理記号で書けば、

　　<math>\forall x, \forall \epsilon >0, \exists N \in \mathbb N \ ; \ n \geqq N \Rightarrow |f_n (x)-f(x)| < \epsilon</math>

となる。

==性質==
この概念はしばしば[[一様収束]] (uniform convergent) と比較される。

:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}f_n=f\  \mbox{uniformly}</math>

とは

:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\,\sup\{\,\left|f_n(x)-f(x)\right|: x\in\mbox{the domain}\,\}=0</math>

を意味する。一様収束は各点収束よりも強いものである。つまり、一様収束列は同じ極限関数への各点収束列であるのだが、一様収束しない各点収束列が存在する。例えば、半開区間 {{math|[0, 1)}} において、<math>f_n(x)=x^n</math> は <math>f(x)=0</math> に各点収束するが、これは一様収束ではない。

連続関数列の極限関数が連続とは限らないが、一様収束であれば連続である。例えば、

:<math>f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty} \cos^{2n} (\pi x)</math>

は ''x'' が整数のとき 1 でそうでないとき 0 を取り、すべての整数で不連続である。

関数 {{math|''f''<sub>''n''</sub>}} の値は実数でなくてもよく、各点収束の概念が意味を持つためには、[[位相空間]]であればよい。一方、一様収束は、一般の位相空間に値を取る関数に対しては意味をなさないが、[[距離空間]]や、より一般に[[一様空間]]であれば意味を持つ。

==位相==
各点収束は空間 ''Y''<sup>''X''</sup> 上の[[積位相]]における収束と同じである。ここで ''X'' は始域で ''Y'' は終域である。終域 ''Y'' が[[コンパクト集合|コンパクト]]であれば、[[チコノフの定理]]より、空間 ''Y''<sup>''X''</sup> もコンパクトである。

==ほとんど至るところ収束==
[[測度論]]では[[可測空間]]上定義された[[可測関数]]列について''ほとんど至るところ収束する''というものがある。これは{{仮リンク|ほとんど至るところ|en|almost everywhere}}各点収束することを意味する。{{仮リンク|エゴロフの定理|en|Egorov's theorem}}は、測度有限の集合上ほとんど至るところ各点収束する列はそれよりわずかに小さい集合上一様収束するという定理である。

==関連項目==
*[[:en:Modes of convergence (annotated index)]]

==参考文献==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:かくてんしゆうそく}}
[[Category:関数空間の位相]]
[[Category:測度論]]
[[Category:収束]]
[[Category:位相空間]]
[[Category:数学に関する記事]]

[[hu:Függvénysorozatok konvergenciája#Pontonkénti konvergencia]]