合同辺平行線点のソースを表示


{{暫定記事名|date=2024年6月}}

[[幾何学]]において、'''合同辺平行線点'''（ごうどうへんへいこうせんてん<ref>{{Cite web |title=三角形の心 |url=http://taurus.ics.nara-wu.ac.jp/wd/glossary/triangle-centers.html |website=taurus.ics.nara-wu.ac.jp |access-date=2024-06-01}}</ref>、[[英語|英]]:equal parallelians point,congruent parallelians point）は[[三角形の中心]]の一つである<ref name="Clark">{{Cite web |author=Kimberling |first=Clark |title=Equal Parallelians Point |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/eqparal.html |access-date=12 June 2012 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20120516140424/http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/eqparal.html |archive-date=16 May 2012}}</ref><ref name="Wolfram">{{Cite web |author=Weisstein |first=Eric |title=Equal Parallelians Point |url=http://mathworld.wolfram.com/EqualParalleliansPoint.html |website=MathWorld--A Wolfram Web Resource |access-date=12 June 2012}}</ref>。[[Encyclopedia of Triangle Centers]]では ''X''(192) として登録されている<ref name="ETC">{{Cite web |author=Kimberling |first=Clark |title=Encyclopedia of Triangle Centers |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X192 |access-date=12 June 2012 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20120419171900/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |archive-date=19 April 2012}}</ref> 。1961年に[[ピーター・イフ]]のノートで言及された。

== 定義 ==
[[ファイル:EqualParalleliansPoint.svg|サムネイル|250x250ピクセル|
{{Legend-line|solid black|基準三角形{{math|△''ABC''}}}}
{{Legend-line|solid red|{{math|△''ABC''}}のそれぞれの辺に平行で、長さの等しい線分}}
]]
{{Math|△''ABC''}}のそれぞれの辺に[[平行]]で、長さが等しく、さらに[[共点|一点で交わる]][[線分]]はただ一組存在する<ref>{{Cite journal|author=Sabrina Bier|year=2001|title=Equilateral Triangles Intercepted by Oriented Parallelians|url=https://forumgeom.fau.edu/FG2001volume1/FG200105.pdf|journal=[[Forum Geometricorum]]|issue=Vol 1|pages=25-32}}</ref>。この点を合同辺平行線点という<ref name="Clark">{{Cite web |author=Kimberling |first=Clark |title=Equal Parallelians Point |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/eqparal.html |access-date=12 June 2012 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20120516140424/http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/eqparal.html |archive-date=16 May 2012}}</ref>。これら線分の長さは<math>\frac{2abc}{ab+bc+ca}</math>である<ref name="Wolfram" />。

== 重心座標 ==
合同辺平行線点の[[重心座標]]は以下の式で与えられる。ただしa,b,cは[[三角形]]の[[辺]]長である。

<math display="block">ca+ab-bc \ : \  ab+bc-ca \ : \ bc+ca-ab</math>

== 合同辺平行線点の作図 ==
[[ファイル:ConstructionOfEqualParalleliansPoint.svg|サムネイル|250x250ピクセル|合同辺平行線点の作図{{Legend-line|solid black|基準三角形 {{math|△''ABC''}}}}{{Legend-line|dashed green 2px|{{math|△''ABC''}} の[[内角]]の[[二等分線]](対辺と{{mvar|A", B", C"}}で交わるとする)}}
{{Legend-line|solid cyan|{{math|△''ABC''}}の[[中点三角形|反中点三角形]] {{math|△''A'B'C' ''}}}}
{{Legend-line|dashed blue 2px|'''合同辺平行線点'''を通る線分{{mvar|A'A", B'B", C'C"}})}}
]]
{{Math|△''A'B'C' ''}}を{{Math|△''ABC''}}の[[中点三角形|反中点三角形]]とする。さらに{{Mvar|A, B, C}} の[[二等分線|内角の二等分線]]と対辺の交点を{{Mvar|A", B", C"}}とすると、{{Mvar|A'A", B'B", C'C"}}は合同辺平行線点で交わる<ref name="Wolfram" />。

== 性質 ==

* [[幾何中心|重心]]の[[内心]][[チェバ線|チェバ共役]]点である。
* 内心の[[等長共役]]を重心を中心に-2倍拡大した点である。
* 合同辺平行線点を通るそれぞれの辺の平行線と他二辺の交点延べ6点は同一[[円錐曲線]]上にある。

== 関連 ==

* [[合同二等辺化線点]]

== 出典 ==
<references responsive="1"></references>{{デフォルトソート:こうとうへんへいこうせんてん}}
[[Category:三角形の中心]]
[[Category:三角形]]
[[Category:数学に関する記事]]