合成作用素のソースを表示

{{for|合成の演算子 "∘" |写像の合成|関係の合成}}

[[数学]]において、記号 {{math|&phi;}} との'''合成作用素'''（ごうせいさようそ、{{Lang-en-short|composition operator}}）{{math|''C''{{sub|&phi;}}}} とは、

: <math>C_\phi (f) = f \circ\phi</math>

という決まりによって定義される[[線型作用素]]のことを言う。ここで {{math|''f'' ∘ &phi;}} は[[合成写像]]を意味する。[[圏論]]の用語を用いると、合成作用素とは、[[可測函数]]の空間上の[[引き戻し (圏論)|引き戻し]]である。したがって引き戻しが{{仮リンク|押し出し (圏論)|label=押し出し|en|Pushout (category theory)}}の随伴となるのと同様に、合成作用素は転送作用素の随伴となる。すなわち合成作用素は{{仮リンク|逆像函手|en|inverse image functor}}である。

合成作用素の研究は [https://web.archive.org/web/20060211062232/http://www.ams.org/msc/47Bxx.html AMS category 47B33] によりカバーされている。

== 作用素論 ==
合成作用素の[[定義域]]は適当な[[バナッハ空間]]（これは、しばしば[[正則函数]]からなる）に取るのが普通である。例えば、[[ハーディ空間]]や[[ベルグマン空間]]がそのような空間として挙げられる。合成作用素の研究における興味深い問題は、作用素の[[スペクトル (関数解析学)|スペクトル性質]]が[[函数空間]]にどのように依存するか、という点に関するものが多い。またその他の問題として、{{math|''C''{{sub|&phi;}}}} が[[コンパクト作用素|コンパクト]]であるかあるいは[[トレースクラス]]であるか、というものがある。その答えは通常、函数 {{mvar|φ}} がある領域の境界上でどのように振る舞うか、という点に依存して変わる。

== 応用 ==
数学において、合成作用素はしばしば、例えば{{仮リンク|バーリング＝ラックスの定理|en|Beurling–Lax theorem}}や{{仮リンク|ウォルドの分解|en|Wold's decomposition}}などの[[シフト作用素]]の研究に現れる。シフト作用素は一次元[[イジング模型|スピン格子]]として研究できる。合成作用素はまた{{仮リンク|アレクサンドロフ＝クラーク測度|en|Aleksandrov–Clark measure}}の理論にも現れる。

合成作用素の[[固有値|固有方程式]]は[[シュレーダーの方程式]]であり、その主[[固有函数]] ''f(x)'' はしばしばシュレーダー函数や{{仮リンク|ケーニヒス函数|en|Koenigs function}}と呼ばれる。

[[物理学]]の、特に[[力学系]]の分野において、合成作用素はしばしば、数学者{{仮リンク|バーナード・コープマン|en|Bernard Koopman}}の名にちなんで、'''コープマン作用素'''（Koopman operator）と呼ばれる<ref>[[:en:Bernard Koopman|B.O. Koopman]], "Hamiltonian systems and transformations in Hilbert space", (1931) ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA'', '''17''', pp.315-318.</ref><ref>Pierre Gaspard, ''Chaos, scattering and statistical mechanics'', (1998) Cambridge University Press</ref>。この作用素はフロベニウス＝ペロン作用素あるいは[[転送作用素]]の[[随伴関手|左随伴]]である。

== 関連項目 ==
* [[乗算作用素]]
* {{仮リンク|合成環|en|Composition ring}}
* [[カーレマン行列]]

== 参考文献 ==
<references/>
* C. C. Cowen and B. D. MacCluer, ''Composition operators on spaces of analytic functions''. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 1995. xii+388 pp. ISBN 0-8493-8492-3.
* [[:en:Joel Shapiro (mathematician)|J. H. Shapiro]],  ''Composition operators and classical function theory.'' Universitext: Tracts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1993. xvi+223 pp. ISBN 0-387-94067-7.

{{DEFAULTSORT:こうせいさようそ}}
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[[Category:関数解析学]]
[[Category:力学系]]
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