合成数のソースを表示

{{出典の明記|date=2022年2月}}
'''合成数'''（ごうせいすう、{{lang-en-short|''Composite number''}}）は、[[自然数]]で、[[1]]とその数自身以外の[[約数]]を持つ数である<ref>{{Cite book |title=マイベスト問題集 よくわかる高校数学A 問題集 |url=https://books.google.com/books?id=JjdgEAAAQBAJ&newbks=0&printsec=frontcover&pg=PA73&dq=%22%E5%90%88%E6%88%90%E6%95%B0%22&hl=ja |publisher=学研プラス |date=2022-02-24 |isbn=978-4-05-920036-9 |language=ja}}</ref>。
==概要==
2つ以上の[[素数]]の[[積]]で表すことのできる自然数と定義してもよい。

例えば、[[15]]は1と15自身以外に[[3]]と[[5]]を[[約数]]に持つ（または 3×5 と素数の積で表される）ので合成数である。

約数は3個以上となる。

最小の素数は[[2]]であり、これを2乗した4が最小の合成数となる。合成数は無数にあり、4から小さい順に列記すると次のようになる。
:[[4]], [[6]], [[8]], [[9]], [[10]], [[12]], [[14]], [[15]], [[16]], [[18]], [[20]], [[21]], [[22]], [[24]], [[25]], [[26]], [[27]], [[28]], [[30]], …({{OEIS|A002808}})

素数を2乗した数は1つしか[[素因数]]を持たないが、9 = 3×3 のように2つの素数の積で表せる合成数である。
このような数は4から順に列記するとこのようになる。
:[[4]]、[[9]]、[[25]]、[[49]]、[[121]]、[[169]]、[[289]]、[[361]]、[[529]]、[[841]]、[[961]]、[[1369]]、[[1681]]の順。

合成数はおおよそ「素数でない自然数」と考えられる。

ただし自然数の内 [[1]] は合成数や素数ではない。また自然数に [[0]] を含む場合は 0 も合成数や素数ではない。

言い換えれば、「1 と素数と合成数から自然数が構成される」とも捉えることが出来る。解釈によっては、これに 0 を加える。

== 数学的性質 ==
* [[4]]以上の全ての[[偶数]]は合成数である。[[6]]以上の全ての偶数は少なくとも4個の約数を持つ。
* [[6]]以上の数では一の位が 0, 2, 4, 5, 6, 8 であれば全て合成数である。
* 10以上の数で[[数字和]]が[[3]]の倍数となる数（[[21]]、[[27]]、[[33]]、[[39]]、[[51]]、[[57]]、[[63]]、[[69]]、[[81]]、[[87]]、[[93]]、[[99]]等）は全て合成数である。
* <math>(n-1)! \,\,\, \equiv \,\, 0 \pmod{n}</math>　6 ≦ ''n'' である合成数 ''n'' はこの式を満たす。{{main|[[ウィルソンの定理]]}}
* 合成数は少なくとも3個の約数を持つ。また素数の2乗以外の合成数は少なくとも4個の約数を持つ。最少個の約数を持つ合成数は素数 ''p'' を2乗した ''p''<sup>2</sup> で、1, ''p'', ''p''<sup>2</sup> の3つがその約数である。
* 3番目以降の[[多角数]]は合成数である。また、[[完全数]]や[[過剰数]]も全て合成数である。
* 任意の自然数 ''n'' に対して、連続する ''n'' 個の合成数を自然数列から取り出すことができる。
** (''n'' + 1)! + 2, (''n'' + 1)! + 3, …, (''n'' + 1)! + (''n'' + 1) は連続する ''n'' 個の合成数である。
* [[十進法|10進数]]では、8以上の[[ハーシャッド数]]は全て合成数である。また、8以上で[[レピュニット]]でない[[ズッカーマン数]]も全て合成数である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
{{Wiktionary|合成数}}
*[[高度合成数]]
*[[素数]]
*[[半素数]]
*[[楔数]]
*[[数字和]]
*[[完全数]]
*[[友愛数]]
*[[社交数]]
*[[過剰数]]

{{素数の分類|state=expanded}}
{{Classes of natural numbers}}
{{Divisor classes}}
{{デフォルトソート:こうせいすう}}
[[Category:素数|*こうせいすう]]
[[Category:数論]]
[[Category:整数の類]]
[[Category:数学に関する記事]]