同値のソースを表示

{{otheruses|命題の同値性|同値関係における同値|同値関係}}
{{redirect|iff|その他のIFF|IFF}}

'''同値'''（どうち）または'''等価'''（とうか）とは、2つの[[命題]]が共に[[真理値|真]]または共に[[真理値|偽]]のときに真となる[[論理演算]]である。
[[英語]]ではequivalence ('''EQ''')。「if and only if（～のとき、かつそのときに限る）」を略して、'''iff''' ともいう。'''否定[[排他的論理和]]''' ('''XNOR''') に等しい。
[[演算 (数学)|演算子]]記号は ⇔、&#x2194;、≡、=、EQ  などが使われる。

== 真理値表 ==
{| border=1 cellpadding=2 cellspacing=0 style="text-align:center"
!命題 ''P''!!命題 ''Q''!!''P'' ⇔ ''Q''
|-
| {{yes2|真}}|| {{yes2|真}}|| {{yes2|'''真'''}}
|-
| {{yes2|真}}|| {{no2|偽}}|| {{no2|'''偽'''}}
|-
| {{no2|偽}}|| {{yes2|真}}|| {{no2|'''偽'''}}
|-
| {{no2|偽}}|| {{no2|偽}}|| {{yes2|'''真'''}}
|}

== 性質 ==
===基本的な性質===
同値の基本的な性質は以下の通り。<br>（<math>\Rightarrow</math>は[[論理包含演算|論理包含]]（ならば）、<math>\land</math>は[[論理積]]（かつ））
{{quotation|
* 反射律: <math>p \Leftrightarrow p</math>
* 対称律: <math>(p \Leftrightarrow q) \Rightarrow (q \Leftrightarrow p)</math>
* 推移律: <math>[(p \Leftrightarrow q) \land (q \Leftrightarrow r)] \Rightarrow (p \Leftrightarrow r)</math>}}

===その他===
他にも次のような性質がある。<br>
（<math>\lnot</math> は[[否定]]、<math>\veebar</math> は[[排他的論理和]]）
{{quotation|
* 反対称律: <math>[(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)] \Rightarrow (p \Leftrightarrow q)</math>
* <math>(p \Leftrightarrow q) \Leftrightarrow \lnot (p \veebar q)</math>}}

== 必要十分条件 ==
{{See Wiktionary|2=必要|redirect=必要}}
{{See Wiktionary|2=十分|redirect=十分}}
二つの条件 ''p'' 、''q'' に対して、「 ''p'' を満たすものは全て ''q'' も満たす 」 というとき、「 ''p'' は ''q'' である為の'''十分条件'''である 」 あるいは 「 ''q'' は ''p'' である為の'''必要条件'''である 」 という。

また、「 ''p'' は ''q'' である為の十分条件であり、''q'' は ''p'' である為の十分条件である 」 というとき、「 ''p'' は ''q'' である為の'''必要十分条件'''である 」 あるいは 「 ''p'' と ''q'' とは'''同値'''である 」 という。

===例 1===
ある数が4の[[倍数]]である為には、その数は少なくとも[[偶数]]である必要がある。つまり、偶数であることは、4の倍数である為の必要条件である。ただし、偶数であっても、必ずしも4の倍数であるとは限らない。

また、ある数が4の倍数である為には、その数が8の倍数であれば十分である。つまり、8の倍数であることは、4の倍数である為の十分条件である。ただし、その数が8の倍数でなくとも、必ずしも4の倍数でないとは限らない。

他方、ある数が2の倍数である為には、その数は少なくとも偶数でなければならない。つまり、偶数であることは、2の倍数である為の必要条件である。また、その数が偶数であれば、その数は必ず2の倍数である。つまり、偶数であることは、2の倍数である為の十分条件である。すなわち、偶数であることは、2の倍数である為の必要十分条件であり、両者は同値である。

===例 2===
自然数変数 ''n'' についての条件 ''p''(''n''), ''q''(''n'') を次のように定める。
* ''p''(''n'')： ''n'' > 10
* ''q''(''n'')： 2''n'' > 20
そのとき、''p''(''n'') は ''q''(''n'') である為の必要十分条件である。すなわち、''n'' > 10 は 2''n'' > 20 である為の必要十分条件である。

===例 3===
実数変数 ''x'' についての条件 ''p''(''x''), ''q''(''x'') を次のように定める。
* ''p''(''x'')： ''x'' > 0
* ''q''(''x'')： ''x''<sup>2</sup> > 0
そのとき、''p''(''x'') は ''q''(''x'') である為の十分条件である。しかし、−1 は ''q''(''x'') を満たすが ''ｐ''(''x'') を満たさないので、 「''q''(''x'') を満たす実数は全て ''p''(''x'') を満たす」 とはいえない。よって、''q''(''x'') は ''p''(''x'') である為の十分条件ではない。従って、''p''(''x'') は ''q''(''x'') である為の必要十分条件ではない。

===例 4===
￢、⇔ を論理演算とし、命題変数 ''A'' 、''B'' についての条件 ''p''(''A'', ''B''), ''q''(''A'', ''B'') を次のように定める。 ( ￢ は集合 { 真、偽 } から集合 { 真、偽 } への 1 つの写像である。⇔ は { 真、偽 }×{ 真、偽 } から { 真、偽 } への 1 つの写像である。''A'' 、''B'' は { 真、偽 } の元の変数である。)
* ''p''(''A'', ''B'')： ￢( ''A'' ⇔''B'' ) = 真
* ''q''(''A'', ''B'')： ( ￢''A'' )⇔''B'' = 真
そのとき、''p''(''A'', ''B'') は ''q''(''A'', ''B'') である為の必要十分条件である。すなわち、「￢( ''A'' ⇔''B'' ) = 真」 は 「( ￢''A'' )⇔''B'' = 真」 である為の必要十分条件である。

== 関連項目 ==
* [[数理論理学]]
* [[命題]]
* [[同一性]]

== 脚注 ==
{{reflist|group="注釈"}}

== 外部リンク ==
*{{SEP|necessary-sufficient|Necessary and Sufficient Conditions|必要条件と十分条件}}
*{{MathWorld|title=Equivalent|urlname=Equivalent}}
*{{MathWorld|title=Iff|urlname=Iff}}

{{論理演算}}
{{Common logical symbols}}
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:とうち}}
[[Category:同値 (数学)|*]]
[[Category:論理結合子]]
[[Category:必要性と十分性]]
[[Category:数学に関する記事]]