向きのソースを表示

{{Otheruses|正負の向き|ベクトルや座標の向き|方向}}
[[数学]]における[[実数|実]][[ベクトル空間]]の'''向き'''（むき、orientation) または'''向き付け'''とは、[[基底]]の順序付き組に対し「正」の向きまたは「負」の向きを指定する規約のことである。3次元[[ユークリッド空間]]における2種類の向きはそれぞれ[[右手系]]や[[左手系]]（あるいは右[[キラル]]・左キラル）と呼ばれる。しばしば右手系が正の向きにとられるものの、右手系を負の向きとするような向き付けももちろんありうる。

実ベクトル空間における向きの概念を基礎として、実[[多様体]]などの様々な[[幾何学]]的対象にも向きを考えることができる。

== 定義 ==
''V''を（0でない：とくに断らない限り以下同様）実ベクトル空間とし、''b''<sub>1</sub> = (''b''<sub>1</sub><sup>(1)</sup>…''b''<sub>1</sub><sup>(''n'')</sup>), ''b''<sub>2</sub> = (''b''<sub>2</sub><sup>(1)</sup>…''b''<sub>2</sub><sup>(''n'')</sup>)を''V''における二つの（順序付き）基底とする。[[線形代数]]の基礎的な結果によって、正則[[線形変換]] ''A'' : ''V'' &rarr; ''V'' で''b''<sub>1</sub>を''b''<sub>2</sub>に移すようなものが一意的に存在する。''A''の[[行列式]]が正のとき、''b''<sub>1</sub> と ''b''<sub>2</sub>は同じ向きを持つと言われる。そうでない場合にはこれら二つの基底は逆の向きを持つと言われる。同じ向きを持つという関係は基底の[[集合]]上に[[同値関係]]を定めており、''V''が 0 次元でなければこの同値関係はちょうど二つの同値類を持つことになる。''V''上の向き付けとはこのうち片方に +1 を振り他方に -1 を振る割り当てのことである。

それぞれの基底は上の同値類のどちらか一方に入っているので、''V''の基底のうち正の向きとするものを一つ選ぶことによって向き付けが与えられる。このとき、選ばれた基底と同じ同値類にある基底が正の向きを持つことになる。例えば、'''R'''<sup>''n''</sup>の標準基底によって'''R'''<sup>''n''</sup>の標準的な向き付けが与えられ、さらに、''V''から'''R'''<sup>''n''</sup>への線形同型を選ぶことによって'''R'''<sup>''n''</sup>の標準的な向きに対応する''V''上の向きを決めることができる。

向きを考える際に、基底をなすベクトルを並べる順番は重要になる。基底をなすベクトルの順番を変えることに対応する[[置換 (数学)|置換]]が偶置換か奇置換かによって順番を並べ替えて得られる基底がもとのものと同じ向きを持つか逆の向きを持つかが決まる。
<!-- for later consideration
===Zero-dimensional case===

The concept of orientation defined above gives the zero-dimensional vector space only one orientation (since the determinant of the empty matrix is 1). However, it is useful to be able to assign different orientations to a point (e.g. orienting the boundary of a 1-dimensional manifold). An alternate definition of orientation that works regardless of dimension is the following: An orientation on ''V'' is a map from the set of ordered bases of ''V'' to the set <math>\{\pm 1\}</math> that is invariant under base changes with positive determinant and changes sign under base changes with negative determinant (it is equivarient with respect to the homomorphism <math>GL_n \to \pm 1</math>). The set of ordered bases of the zero-dimensional vector space has one element (the empty set), and so there are two maps from this set to <math>\{\pm 1\}</math>.

A subtle point is that a zero-dimensional vector space is naturally (canonically) oriented, so we can talk about an orientation being positive (agreeing with the canonical orientation) or negative (disagreeing). An application is interpreting the [[Fundamental theorem of calculus]] as a special case of [[Stokes' theorem]].

Two ways of seeing this are:
* A zero-dimensional vector space is a point, and there is a unique map from a point to a point, so every zero-dimensional vector space is naturally identified with <math>R^0</math>, and thus is oriented.
* The 0th exterior power of a vector space is the ground field <math>K</math>, which here is <math>R^1</math>, which has an orientation (given by the standard basis)
-->

== 異なった定式化 ==

=== [[多重線形代数]]を用いた向きの定式化 ===
''n'' 次元のベクトル空間 ''V'' に対して、その ''n''次[[多重線型代数|外積]] &Lambda;<sup>''n''</sup>''V'' を考えることができるが、これは1次元の実ベクトル空間になっている。この直線上に向きを定めることが ''V'' の向きを定めることになる。&Lambda;<sup>''n''</sup>''V'' 上には「元々」決まった向きというものはないので、この向きの選択は恣意的なものである。&Lambda;<sup>''n''</sup>''V'' 上の向きはその 0 でないベクトル <math>\hat\omega</math> を一つ選ぶことによっても指定することができる。

この方法による向きの定式化と始めに導入された基底による向きの定式化の関係は、線型写像
: <math>\omega\colon \bigwedge^nV \rightarrow \R, t \hat\omega \mapsto t</math>
によって与えられる。考えている向き付けにおいて &omega; が（順序付き）基底の集合の上に定める写像（&omega;が交代''n''形式なので''n''個の順序づけられたベクトルに対し &omega; は実数値を与える）によって与えられる。&omega; が正の値を与えるような基底が、正の向きを持った基底だと言うことができる。<math>\hat\omega</math>は体積要素、&omega; は[[体積形式]]とも呼ばれる。(''e''<sub>''i''</sub>)<sub>i = 1</sub><sup>''n''</sup>が正の向きを持つ基底のとき、対応する体積要素は ''e''<sub>1</sub>&and;''e''<sub>2</sub>&and;&hellip;&and;''e''<sub>''n''</sub> になる。

ここでの向きの定式化と基底の変換行列の行列式との関係は、''V''上の線形変換の行列式が最高次外積上に引き起こす[[スカラー (物理学)|スカラー]]作用と理解できることによって与えられる。 <!-- not so straightforward:
=== リー群 ===

Let ''B'' be the set of all ordered bases for ''V''. Then the [[general linear group]] GL(''V'') [[group action|acts]] freely and transitively on ''B''. (In fancy language, ''B'' is a GL(''V'')-[[torsor]]). This means that as a [[manifold]], ''B'' is (noncanonically) [[homeomorphic]] to GL(''V''). Note that the group GL(''V'') is not [[connected space|connected]], but rather has two [[connected space|connected component]]s according to whether the determinant of the transformation is positive or negative (except for GL<sub>0</sub>, which is the trivial group and thus has a single connected component; this corresponds to the canonical orientation on a zero-dimensional vector space). The [[identity component]] of GL(''V'') is denoted GL<sup>+</sup>(''V'') and consists of those transformations with positive determinant. The action of GL<sup>+</sup>(''V'') on ''B'' is ''not'' transitive: there are two orbits which correspond to the connected components of ''B''. These orbits are precisely the equivalence classes referred to above. Since ''B'' does not have a distinguished element (i.e. a privileged basis) there is no natural choice of which component is positive. Contrast this with GL(''V'') which does have a privileged component: the component of the identity. A specific choice of homeomorphism between ''B'' and GL(''V'') is equivalent to a choice of a privileged basis and therefore determines an orientation.

More formally: <math>\pi_0(GL(V)) = (GL(V)/GL^+(V) = \{\pm 1\}</math>,
and the [[Stiefel manifold]] of n-frames in <math>V</math> is a <math>GL(V)</math>-[[torsor]], so <math>V_n(V)/GL^+(V)</math> is a [[torsor]] over <math>\{\pm 1\}</math>, i.e., it's 2 points, and a choice of one of them is an orientation.
-->

== 多様体の向き ==
ベクトル空間の向きの拡張として、実[[多様体]]の向きを考えることができる。可微分実多様体 ''M'' の各点 ''p'' に対して、そこでの[[接空間]]''T''<sub>''p''</sub>''M'' を考えることができるが、これらについてそれぞれ向き付けを与えることができる。''M''の向き付けとは、このような接空間それぞれの向き付けであって''M''の点に対し「連続的に」変化するもののことである。多様体の中には''n'' 次元[[球面]] ''S''<sup>''n''</sup> のように向き付けを与えることのできるものもあれば、偶数次元の実[[射影空間]] '''R''' '''P'''<sup>2''n''</sup> のように向き付けを与えることが不可能なものもある。

=== 向き付け可能 ===

多様体の向き付けの概念は接束の[[主束|構造群]]によっても言い表すことができる。この流儀によれば、一般にはGL<sub>''n''</sub>('''R''')である接束（または[[枠束]]）の構造群を行列式が正の可逆行列からなる群 GL<sub>''n''</sub><sup>+</sup>('''R''') に簡約できるときに多様体は向き付け可能だということになる。具体的には、ユークリッド空間における開球を向きを保つような座標変換で張り合わせて得られるような多様体が向き付け可能になる。

多様体 ''M'' の各点 ''p'' に対して[[整数|無限巡回群]]
:<math>H_n(M, M\setminus\{p\}; \mathbb{Z})</math> 
を与えることによって ''M'' 上の[[局所系]]が得られる。対応する[[層 (数学)|層]]は ''M''の'''向きの層''' (orientation sheaf) と呼ばれ、これが自明になることが ''M'' が向き付け可能なことと同値である。上の巡回群における生成元を一つ選ぶことが ''p'' のまわりの向き付けを与えることに対応している。

[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]を用いることで局所的な向きによらずにコンパクト多様体の向き付け可能性を定義することができる。境界付き ''n'' 次元多様体 ''M'' はその最高次相対ホモロジー群 <math>H_n(M, \partial M; \mathbb{Z})</math> が非自明なとき、およびそのときに限って向き付け可能になる。多様体の三角形分割を考えれば、この条件は最高次の[[単体_(数学)|単体]]たちに貼り合わせ条件を満たすような統一的な向きを入れられるかどうかを考えていることになる。

=== 向き付け不能 ===

''n'' 次元多様体 ''M'' が向き付け可能でない場合には''M'' の中で ''n'' 次元の球を移動させてもとの位置に帰ってきたときにはじめの向きから反転しているようにできるということである。従って、''M'' が向き付け不可能なことと、''n'' - 1 次元の球 ''D''<sup>''n'' - 1</sup> と単位区間 [0, 1] の直積を、''D''<sup>''n'' - 1</sup> &times; {0} と ''D''<sup>''n'' - 1</sup> &times; {1} とを向きを逆にして貼り合わせたものが ''M'' の中に含まれていることが同値になる。たとえば[[メビウスの帯]]などがこの状況をよく表している{{要出典|date=2016年4月}}。

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書|editor=日本数学会編|year=2007|title=岩波数学辞典|edition=第4版|publisher=岩波書店|location=東京|isbn= 978-4000803090}}

{{DEFAULTSORT:むき}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:線型代数学]]
[[Category:多様体論]]
[[Category:対称性]]