向き付け可能性のソースを表示

{{要改訳}}
{{For|ベクトル空間の向き|向き}}

[[Image:Torus.png|right|thumb|[[トーラス]]は向き付け可能]]
[[Image:MobiusStrip-01.png|right|thumb|[[メビウスの帯]]は向き付け不可能な曲面]]
[[Image:Steiner%27s_Roman_Surface.gif|right|thumb|{{仮リンク|ローマン曲面|en|Roman surface}}(Roman surface)は向き付け不可能な曲面]]

数学では、'''向き付け可能性'''(orientability)とは、[[ユークリッド空間]]内の[[曲面]]の性質であり、曲面のすべての点で[[法線ベクトル|法線]]の方向を整合性を持って選択できるか否かという性質である。曲面の法線の方向の選択は、例えば[[ストークスの定理]]に必要であるように、[[右手の法則]]を使い曲面内のループの「時計回り」方向を決めることができる。より一般に、抽象的な曲面や[[多様体]]の向き付け可能性とは、多様体内のすべてのループの「時計回り」方向を整合性を持って選択可能か否かという性質である。同じことであるが、曲面が'''向き付け可能である'''とは、空間内の [[Image:Small pie.svg|20px]] のような二次元の図形が、空間の中を（連続的に）動き回って、スタート地点へ戻ってきても、決して自分自身の鏡像 [[Image:pie 2.svg|20px]] にはならない場合を言う。
<!--{{For|orientation of vector spaces|orientation (mathematics)}}
{{Other uses|Orientation (disambiguation)}}

[[Image:Torus.png|right|thumb|A [[torus]] is an orientable surface]]
[[Image:MobiusStrip-01.png|right|thumb|The [[Möbius strip]] is a non-orientable surface]]
[[Image:Steiner%27s_Roman_Surface.gif|right|thumb|The [[Roman surface]] is non-orientable]]

In [[mathematics]], '''orientability''' is a property of [[surface]]s in [[Euclidean space]] measuring whether it is possible to make a consistent choice of [[surface normal]] vector at every point.  A choice of surface normal allows one to use the [[right-hand rule]] to define a "clockwise" direction of loops in the surface, as needed by [[Stokes' theorem]] for instance.  More generally, orientability of an abstract surface, or [[manifold]], measures whether one can consistently choose a "clockwise" orientation for all loops in the manifold.  Equivalently, a surface is '''orientable''' if a two-dimensional figure such as [[Image:Small pie.svg|20px]] in the space cannot be moved (continuously) around the space and back to where it started so that it looks like its own mirror image [[Image:pie 2.svg|20px]].-->

向き付け可能性の考え方は、同じように高次元の[[多様体]]へ一般化できる。[[向き]]の選択が整合性を持つ多様体を向き付け可能といい、[[連結空間|連結]]で向き付け可能な多様体は、ちょうど 2つの異なる向き付けが可能である。この設定で、必要な応用や一般性の度合いに依存した様々な向き付け可能性の同値な定式化が可能である。一般の位相多様体への応用する定式化は、[[ホモロジー (数学)|ホモロジー論]]の方法を活用することが多いのに対し、[[微分可能多様体]](differentiable manifold)に対してはより詳細な構造があり、[[微分形式]]の言葉で定式化できる。空間の向き付け可能性の考え方の重要な一般化は、ある他の空間（[[ファイバーバンドル]]）にパラメトライズされた空間の族の向き付け可能性である。その際には、向きは、パラメータの値の変化につれて、各々の空間が連続的に変化するよう選択せねばならない。
<!--The notion of orientability can be generalised to higher-dimensional [[manifold]]s as well.  A manifold is orientable if it has a consistent choice of [[orientation (mathematics)|orientation]], and a [[connected space|connected]] orientable manifold has exactly two different possible orientations.  In this setting, various equivalent formulations of orientability can be given, depending on the desired application and level of generality.  Formulations applicable to general topological manifolds often employ methods of [[homology theory]], whereas for [[differentiable manifolds]] more structure is present, allowing a formulation in terms of [[differential form]]s.  An important generalization of the notion of orientability of a space is that of orientability of a family of spaces parameterized by some other space (a [[fiber bundle]]) for which an orientation must be selected in each of the spaces which varies continuously with respect to changes in the parameter values.-->

==向き付け可能曲面==
[[Image:Surface orientation.gif|thumb|300px|right|このアニメーションでは、曲面の法線ベクトル上の右手系に沿って回転するギアを使い、単純に向きつけ可能であることを示している。境界の曲線の向きは、歯車の動きに押されたときに点が動く方向とする。メビウスの帯のような向き付け不可能な曲面では、境界は同時に両方向へ動かざるをえなくなるが、そのようなことはできない。]]
<!--==Orientable surfaces==
[[Image:Surface orientation.gif|thumb|300px|right|In this animation, a simple analogy is made using a gear that rotates according to the right-hand rule on a surface's normal vector. The orientation of the curves given by the boundaries is given by the direction in which the dots move as they are pushed by the moving gear. On a non-orientable surface, such as the Möbius strip, the boundary would have to move in both directions at once, which is not possible.]]-->

[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>3</sup> 内の曲面 S は、二次元の図形（例えば、[[Image:Small pie.svg|20px]]）が曲面上を動き回ってスタート地点へ戻った時に、鏡像（[[Image:pie 2.svg|20px]]）になるようにできない場合に、'''向き付け可能'''であるという。そうでない場合を'''向き付け不可能'''であるという。抽象的な曲面（つまり二次元多様体）が向き付け可能とは、連続的に動かすことで整合性をもって曲面上に時計回りの回転を定義できる場合をいう。いわば、曲面上のある向きのループを、（自己交叉することなく）反対向きのループへ連続変形できない場合、向き付け可能と言う。このことは、曲面が[[メビウスの帯]]に[[同相]]な部分集合を含まないかどうかという問いと同値であることが分かる。したがって曲面については、メビウスの帯は向き付け不可能さのすべての根源だと考えることができよう。

向き付け可能曲面において、「時計回り」（反時計回りと相反するもの）を整合性を持って選んだものを'''向き'''と言い、その曲面は'''向き付けられた'''と言う。ユークリッド空間内に埋め込まれた曲面に対し、全ての点で連続的に変化する[[法線ベクトル|曲面に対する法線]] '''n''' の選択により、向きが特定される。法線ベクトルが全て存在するときは常に、2つの方法 '''n''' もしくは &minus;'''n''' を選択できる。より一般には、向き付け可能曲面はちょうど2通りの向き付けが可能であり、向き付け''られた''曲面と向き付け''可能な''曲面の差異は、微妙で曖昧かもしれない。向き付け可能な曲面は、向きを入れることができる曲面を意味するのに対し、向き付けられた曲面は、向き付け可能な上に、2つの可能な向きのうちの一つが選択されたデータを持っている曲面のことを言う。
<!--A surface ''S'' in the [[Euclidean space]] '''R'''<sup>3</sup> is orientable if a two-dimensional figure (for example, [[Image:Small pie.svg|20px]] )cannot be moved around the surface and back to where it started so that it looks like its own mirror image ([[Image:pie 2.svg|20px]]). Otherwise the surface is '''non-orientable'''.  An abstract surface (i.e., a two-dimensional [[manifold]]) is orientable if a consistent concept of clockwise rotation can be defined on the surface in a continuous manner.  That is to say that a loop going around one way on the surface can never be continuously deformed (without overlapping itself) to a loop going around the opposite way. This turns out to be equivalent to the question of whether the surface contains no subset that is  [[homeomorphic]] to the [[Möbius strip]].  Thus, for surfaces, the Möbius strip may be considered the source of all non-orientability.

For an orientable surface, a consistent choice of "clockwise" (as opposed to counter-clockwise) is called an '''orientation''', and the surface is called '''oriented'''.  For surfaces embedded in Euclidean space, an orientation is specified by the choice of a continuously varying [[surface normal]] '''n''' at every point.  If such a normal exists at all, then there are always two ways to select it: '''n''' or &minus;'''n'''.  More generally, an orientable surface admits exactly two orientations, and the distinction between an orient''ed'' surface and an orient''able'' surface is subtle and frequently blurred. An orientable surface is an abstract surface that admits an orientation, while an oriented surface is a surface that is abstractly orientable, and has the additional datum of a choice of one of the two possible orientations.-->

;例
物理的な世界で出くわす曲面の大半は、向き付け可能である。例えば、[[球面]]や[[平面]]、[[トーラス]]は向き付け可能である。しかし、[[メビウスの帯]]や[[実射影平面]](real projective plane)や[[クラインの壺]]は向き付け不可能である。それらは3次元に可視化されるように、どれも面を一つしかもたない。実射影平面やクラインの壺は、'''R'''<sup>3</sup> へ埋め込むことはできず、ただ、きれいに交叉させて[[はめ込み|はめ込める]](immersed)だけである。

埋め込まれた曲面は局所的には常に2つの面を持っていることに注意すると、面が一つの曲面を這い回っている近眼の蟻は、そこに「もう一つの面」があると考えるだろう。面が一つということの本質は、蟻が曲面上から飛び出したり縁を通ったりせずに、単純に曲面の上をどこまでも這っていくことで、「もう一つの面」へ到達できることである。
<!--;Examples
Most surfaces we encounter in the physical world are orientable.  [[Sphere]]s, [[plane (mathematics)|planes]], and [[torus|tori]] are orientable, for example.  But [[Möbius strip]]s, [[real projective plane]]s, and [[Klein bottle]]s are non-orientable. They, as visualized in 3-dimensions, all have just one side.  The real projective plane and Klein bottle cannot be embedded in '''R'''<sup>3</sup>, only [[immersion (mathematics)|immersed]] with nice intersections.

Note that locally an embedded surface always has two sides, so a near-sighted ant crawling on a one-sided surface would think there is an "other side".  The essence of one-sidedness is that the ant can crawl from one side of the surface to the "other" without going through the surface or flipping over an edge, but simply by crawling far enough.-->

一般に、向き付け可能であるという性質は、2つの面を持っているという性質と同値ではないが、しかし、周囲の空間（上記の '''R'''<sup>3</sup> のような）が向き付け可能である場合は、このことは同値となる。例えば、<math>K^2</math> をクラインの壺とすると、
:<math>K^2 \times S^1</math> 
にトーラスを埋め込んで、1つの面を持つようにでき、同じ周囲の空間の中のクラインの壺は、2つの面を持つことができてしまう。

;三角分割による向き付け
どのような曲面も[[:en:Triangulation (topology)|三角分割]]――すなわち、多数の三角形への分割であって、どの辺もほかの高々一つの辺に貼り合わされているようなもの――を持っている。各々の三角形は、周の向きを選択し、各辺の向きをそれに準じるものとすることによって向き付けられる。貼り合わせて隣り合う二辺が反対方向を指すようになっていれば、この曲面の向きが決まる。曲面が向き付け可能なときは、そのような選択が可能であり、その場合にはちょうど2つの向きが存在する。

図形 [[Image:Small pie.svg|20px]] が、鏡像に変わらないように、曲面のすべての点上に整合性を持って配置できたならば、このことは三角分割でできた三角形らに上記の意味での向きを誘導する。各三角形の向きは、内部にある「図形」の色を 赤-緑-青 の順で辿るようなものを選択すればよい。

この方法は、単体分割（三角分割の高次元への一般化）を持つ全ての n 次元多様体へ一般化できる。しかしながら、4 次元多様体には単体分割を持たないものも存在し、一般には、n > 4 に対しては同値でない三角分割を持つこともある。
<!--In general, the property of being orientable is not equivalent to being two-sided; however, this holds when the ambient space (such as '''R'''<sup>3</sup>  above) is orientable. For example, a torus embedded in 
:<math>K^2 \times S^1</math> 

can be one-sided, and a Klein bottle in the same space can be two-sided; here <math>K^2</math> refers to the Klein bottle.

;Orientation by triangulation
Any surface has a [[triangulation (topology)|triangulation]]: a decomposition into triangles such that each edge on a triangle is glued to at most one other edge. Each triangle is oriented by choosing a direction around the perimeter of the triangle, associating a direction to each edge of the triangle.  If this is done in such a way that, when glued together, neighboring edges are pointing in the opposite direction, then this determines an orientation of the surface.  Such a choice is only possible if the surface is orientable, and in this case there are exactly two different orientations.

If the figure [[Image:Small pie.svg|20px]] can be consistently positioned at all points of the surface without turning into its mirror image, then this will induce an orientation in the above sense on each of the triangles of the triangulation by selecting the direction of each of the triangles based on the order red-green-blue of colors of any of the figures in the interior of the triangle.

This approach generalizes to any ''n''-manifold having a triangulation.  However,  some 4-manifolds do not have a triangulation, and in general for ''n'' > 4  some ''n''-manifolds have triangulations that are inequivalent.-->

==多様体の向き付け可能性==

===トポロジカルな定義===
n 次元多様体（有限次元ベクトル空間、もしくは抽象的な多様体へ埋め込まれた）は、上の曲面の場合と同じ定義を使い、n 次元球体に同相な像を多様体の中にとり、多様体の中で動かして元へ戻し、その結果として球体を鏡映することが可能な場合、向き付け不可能と言う。同じことであるが、 n 次元多様体は、(n-1) 次元球体 B と単位区間 [0,1] の直積に関して一端の球体 B×{0} をもう一端の球体 B×{1} に一度鏡映して貼り合わせてできる空間に同相な像を含むとき、向き付け不可能であるという。このような空間は、曲面ではメビウスの帯であり、{{仮リンク|3次元多様体|en|3-manifold}}(3-manifold)では[[クライン体]]である。 
<!---==Orientability of manifolds==

===Topological definitions===
An ''n''-dimensional manifold (either embedded in a finite-dimensional vector space, or an abstract manifold) is called non-orientable if it is possible to take the homeomorphic image of an ''n''-dimensional ball in the manifold and move it through the manifold and back to itself, so that at the end of the path, the ball has been reflected, using the same definition as for surfaces above. Equivalently, a ''n''-dimensional manifold is non-orientable if it contains a homeomorphic image of the space formed by taking the direct product of a (''n''-1)-dimensional ball ''B'' and the unit interval [0,1] and gluing the ball B×{0} at one end to the ball B×{1} at other end with a single reflection. For surfaces, this space is a Möbius strip; for [[3-manifold]]s, this is a [[solid Klein bottle]]. -->

別な定義方法として、[[ファイバーバンドル|構造群]]の言葉では、向き付け可能な多様体とは、その構造群 (先験的にGL(n)) が向き付け保存な変換の部分群 GL<sup>+</sup>(n) へ縮退できるときを言う。具体的には、向き付け可能な多様体とは、向き付け可能な n 次元開球体（つまり全ての変換が向きを保つ）の被覆となっている場合を言う。ここでは、局所向き付けとは何かを定義する必要があり、ベクトルバンドルの向き付け（ある点での局所向き付けは接空間の向き付けである）を使う、もしくは、[[特異ホモロジー]]を使い局所向き付けがなされる。（特異ホモロジーの定義する向きは、点 p での n 次{{仮リンク|相対ホモロジー|en|relative homology}}(relative homology)群
:<math>H_n(M, M\setminus\{p\}; \mathbb{Z})</math> 
の生成元の選択により点 p での局所向き付けが決まる。）従って、多様体が向き付け可能とは、多様体全体を通して整合的に局所向き付けを選択できる場合を言う。

ホモロジーを使うと、コンパクトな n 次元多様体に対しては、局所向き付けなしで向き付け可能性を定義することができる。コンパクトな n 次元多様体 M が向き付け可能であることと、一番次数の高いホモロジー群
:<math>H_n(M, \partial M; \mathbb{Z})</math>
が <math>\mathbb{Z}</math> と同型であることとは同値である。  

任意の単体分割可能な多様体へ適用された単体ホモロジーを考えると、上の曲面の場合に行ったように、単体分割で固有に向き付けられた最高次数の単体について具体的なステートメントを考えることができる。

多様体が微分可能構造を持っていると、微分可能多様体上の[[微分形式]]の言葉を使うことができる（以下を参照）。<!--As another alternative definition, in the language of [[structure group]]s, an orientable manifold is one whose structure group (a priori GL(''n'')) can be reduced to the subgroup GL<sup>+</sup>(''n'') of orientation-preserving transforms. Concretely, an orientable manifold is one that has a cover of open ''n''-dimensional balls with consistent orientations (i.e. all transition maps are orientation preserving).  Here one needs to define what a local orientation means, which can be done using orientations of vector bundles (a local orientation is an orientation of the tangent spaces at a point) or using [[singular homology]] (an orientation is a choice of generator of the ''n''-th [[relative homology]] group 
:<math>H_n(M, M\setminus\{p\}; \mathbb{Z})</math> 

at a point ''p''). A manifold is then said to be orientable if one can choose local orientations consistently throughout the manifold.

Using homology allows one to define orientability for compact ''n''-manifolds without considering local orientations.  A compact ''n''-manifold ''M'' is orientable if and only if the top homology group, 
:<math>H_n(M, \partial M; \mathbb{Z})</math>, is isomorphic to <math>\mathbb{Z}</math>.  

Considering simplicial homology, which applies to any triangulable manifold, allows one to consider this a concrete statement about coherently orienting top-dimensional simplices in a triangulation, as done in the surface case above.

If the manifold has a differentiable structure, one can use the language of [[differential form]]s (see below).-->

===微分可能多様体の向き付け===

向き付け可能性を考える別な方法は、多様体の各々の点での「右手系」と「左手系」の選択として向き付けを考えることである。微分可能多様体が向き付け可能とは、「右手系」が各々の座標の貼り合わせとなる座標変換が存在する場合を言う。さらに詳しくは、多様体が正の[[ヤコビ行列|ヤコビ行列式]]を持つ遷移函数となる{{仮リンク|座標貼り合わせ|en|coordinate atlas}}(coordinate atlas)を持っている場合に、その多様体を向き付け可能と言う。そのような最大の座標貼り合わせは多様体の向き付けを定義するので、そのような貼り合わせを持った多様体を'''向き付け可能'''という<ref>{{Cite book | last1=Spivak | first1=Michael | author1-link=Michael Spivak | title=Calculus on Manifolds | publisher=[[HarperCollins]] | isbn=978-0-8053-9021-6 | year=1965}}.</ref>。

同じことであるが、n 次元微分可能[[多様体]]は、多様体上のすべての点で向き付け可能な{{仮リンク|枠束|label=接ベクトルの基底|en|frame bundle}}(basis of tangent vectors)の整合性を持つ選択が存在するとき、向き付け可能という。これは様々な方法で定式化することができ、その中の一つの方法は、M が[[体積形式]]を持たせることである。体積形式は多様体上のすべての点で非負である次数 n の[[微分形式]]であり、そのような n-形式が与えられると、座標の貼り合わせは、&omega; を向き付け可能な '''R'''<sup>n</sup> の上のユークリッドの体積形式の整数倍へ写像する局所微分同相から構成される。
<!--===Orientation of differential manifolds===

Another way of thinking about orientability is thinking of it as a choice of "right handedness" vs. "left handedness" at each point in the manifold.  A differentiable manifold is said to be orientable if it is possible to select coordinate transitions so that there is a consistent choice of "right-hand" in each coordinate patch.  More precisely, the manifold has a [[coordinate atlas]] all of whose transition functions have positive [[Jacobian determinant]]s.  A maximal such atlas gives an orientation on the manifold, and the manifold so equipped is then called '''oriented'''.<ref>{{Cite book | last1=Spivak | first1=Michael | author1-link=Michael Spivak | title=Calculus on Manifolds | publisher=[[HarperCollins]] | isbn=978-0-8053-9021-6 | year=1965}}.</ref>

Equivalently, a ''n''-dimensional differentiable [[manifold]] is orientable if there is a consistent choice of oriented [[frame bundle|basis of tangent vectors]] at every point of the manifold.  This can be formalized in a variety of ways, one of which is the condition that ''M'' should possess a [[volume form]]: a [[differential form]] &omega; of degree ''n'' which is nonzero at every point on the manifold.  Given such an ''n''-form, the atlas consisting of local diffeomorphisms sending &omega; to a positive multiple of the Euclidean volume form on '''R'''<sup>''n''</sup> is oriented.-->

==向き付け可能二重被覆==
密接に関連する考え方は[[被覆空間]]の考え方である。連結な多様体 M に対し、x を M 上の点で o を x での向き付けとしたペア (x,&nbsp;o) の集合である M* を取る。ここに、M は全ての点の上の接空間の向き付けを選択できるように滑らかなことを前提とするか、または、[[特異ホモロジー]]を使い、向きを定義しているとする。すると、M の全ての開いた向き付け可能な部分集合に対し、ペアの対応する集合を考え、M* の開集合であると定義することができる。これが M* にトポロジーを与え、従って、(x,&nbsp;o) から x への射影は、2-1 の被覆写像である。この空間は向き付け可能であるので、被覆空間を'''向き付け可能二重被覆'''と呼ぶ。M* が連結的であることと M が向き付け不可能であることとは同値である。

この被覆を構成する別な方法は、基底点を持つループを向き付け保存なループ、もしくは、向き付け反転ループへと分割することである。向き付け保存ループは基本群の部分群を生成し、基本群は群全体かまたは[[部分群の指数|指数]] 2 の群である。後者の場合（これは向き付け反転経路があることを意味する）、部分群は連結二重被覆に対応し、この被覆は構成より向き付け可能である。前者の場合は、単純に M の 2つのコピーをとることができて、それぞれは異なる向き付けに対応する。
<!--==Orientable double cover==
A closely related notion uses the idea of [[covering space]]. For a connected manifold ''M'' take ''M*'', the set of pairs (''x'',&nbsp;o)  where ''x'' is a point of ''M'' and ''o'' is an orientation at ''x''; here we assume ''M'' is either smooth so we can choose an orientation on the tangent space at a point or we use [[singular homology]] to define orientation.  Then for every open, oriented subset of ''M'' we consider the corresponding set of pairs and define that to be an open set of ''M*''.  This gives ''M*'' a topology and the projection sending (''x'',&nbsp;o) to ''x'' is then a 2-1 covering map.  This covering space is called the '''orientable double cover''', as it is orientable.  ''M*'' is connected if and only if ''M'' is not orientable.  

Another way to construct this cover is to divide the loops based at a basepoint into either orientation-preserving or orientation-reversing loops.  The orientation preserving loops generate a subgroup of the fundamental group which is either the whole group or of [[Index of a subgroup|index]] two.  In the latter case (which means there is an orientation-reversing path), the subgroup corresponds to a connected double covering; this cover is orientable by construction.  In the former case, one can simply take two copies of ''M'', each of which corresponds to a different orientation.-->

==ベクトルバンドルの向き付け==

実[[ベクトルバンドル]]は、'''前提的に'''[[一般線型群|GL(n)]]を[[ベクトルバンドル|構造群]]として持ち、正の[[行列式]]をもつ[[行列]]である <math>GL^{+}(n)</math> へ構造群が{{仮リンク|構造群の縮退|en|Reduction of the structure group}}(reduced)するとき、'''向き付け可能'''と呼ばれる。[[接バンドル]]に対し、基礎となる多様体が向き付け可能であれば、構造群の <math>GL^{+}(n)</math> への縮退はいつも可能であり、実際、[[滑らかな函数|滑らかな]]実多様体の向き付けを定義する便利な方法をもたらす。滑らかな多様体は、接バンドルが（ベクトルバンドルとして）向き付け可能なとき、向き付け可能であると定義する。多様体自身としては、たとえ向き付け不可能な多様体であっても、接バンドルは'''常に'''向き付け可能であることに注意する。
<!--==Orientation of vector bundles==

A real [[vector bundle]], which ''a priori'' has a [[GL(n)]] [[structure group]], is called ''orientable'' when the [[structure group]] may be [[Reduction of the structure group|reduced]] to <math>GL^{+}(n)</math>, the group of [[matrix (mathematics)|matrices]] with positive [[determinant]].  For the [[tangent bundle]], this reduction is always possible if the underlying base manifold is orientable and in fact this provides a convenient way to define the orientability of a [[smooth function|smooth]] real [[manifold]]: a smooth manifold is defined to be orientable if its [[tangent bundle]] is orientable (as a vector bundle).  Note that as a manifold in its own right, the tangent bundle is ''always'' orientable, even over nonorientable manifolds.-->

==関連する概念==

===線型代数===
{{main|向き}}
向き付け可能の考え方は、本質的には実[[一般線型群]]のトポロジーより導かれる。<math>\operatorname{GL}(n,\mathbf{R})</math> は、最低の[[ホモトピー#ホモトピー群|ホモトピー群]] <math>\pi_0(\operatorname{GL}(n,\mathbf{R}))=\mathbf{Z}/2</math> であるので、実ベクトル空間の可逆な変換は、向き付けを保つか、向き付けを反対にするかのどちらかである。

このことは、球面の自己[[ホモトピー#ホモトピー同値|ホモトピー同値]]の空間も 2つの[[連結空間|連結成分]]をもつように、微分可能多様体のみならず、位相多様体に対しても成立する。これらの写像を「向きを保つ」写像、「向きをひっくり返す」写像と書くこともできる。

[[対称群]]の類似概念は、[[対称群#互換|偶置換]]がなす[[交代群]]である。
<!--==Related concepts==

===Linear algebra===
{{main|Orientation (mathematics)}}
The notion of orientability is essentially derived from the topology of the real [[general linear group]] 
:<math>\operatorname{GL}(n,\mathbf{R})</math>, specifically that the lowest [[homotopy group]] is <math>\pi_0(\operatorname{GL}(n,\mathbf{R}))=\mathbf{Z}/2</math>

an invertible transform of a real vector space is either orientation-preserving or orientation-reversing.

This holds not only for differentiable manifolds but for topological manifolds, as the space of self-[[homotopy equivalence]]s of a sphere also has two [[Connected component (topology)|connected components]], which can be denoted the "orientation-preserving" and "orientation-reversing" maps.

The analogous notion for the [[symmetric group]] is the [[alternating group]] of [[Even and odd permutations|even permutations]].-->

===ローレンツ幾何学===

[[ローレンツ多様体|ローレンツ幾何学]]には、2つの種類の向き付け可能性、空間の向き付け可能性と時間の向き付け可能性がある。それらは、時空の{{仮リンク|因果構造|en|causal structure}}(causal structure)の役割を果たす<ref>{{cite book | author=[[Stephen Hawking|S.W. Hawking]], [[George Francis Rayner Ellis|G.F.R. Ellis]], | title=[[The Large Scale Structure of Space-Time]] | location=Cambridge | publisher=Cambridge University Press | year=1973 | isbn=0-521-20016-4}}</ref>。[[一般相対論]]の脈絡で、[[時空]]多様体が向き付け可能とは、2人の右手系の観測者が同じ時空の点から出発し、ロケット旅行の末、他の点で再会したときは、いつでも互いに右手系のままである場合を言う。時空が時間で向き付け可能であれば、2人の観察者は、常に彼らの会う始点と終点での時間方向は一致するであろう。実際、任意の 2人が互いに先に出発した人に会うことができれば、空間向き付け可能であることは時間で向き付け可能である<ref>Mark J. Hadley.[http://www.iop.org/EJ/article/0264-9381/19/17/308/q21708.pdf?request-id=49d1e985-bf89-4203-b020-48367545e3c0 The Orientability of Spacetime]. Class Quantum Grav.19(2002)4565-4571 [https://arxiv.org/abs/gr-qc/0202031v4 arXiv:gr-qc/0202031v4]</ref>。
<!--===Lorentzian geometry===

In [[Lorentzian manifold|Lorentzian geometry]], there are two kinds of orientability: space orientability and time orientability.  These play a role in the [[causal structure]] of spacetime.<ref>{{cite book | author=[[Stephen Hawking|S.W. Hawking]], [[George Francis Rayner Ellis|G.F.R. Ellis]], | title=[[The Large Scale Structure of Space-Time]] | location=Cambridge | publisher=Cambridge University Press | year=1973 | isbn=0-521-20016-4}}</ref>  In the context of [[general relativity]], a [[space-time]] manifold is space orientable if, whenever two right-handed observers head off in rocket ships starting at the same space-time point, and then meet again at another point, they remain right-handed with respect to one another.  If a space-time is time-orientable then the two observers will always agree on the direction of time at both points of their meeting.  In fact, a space-time is time-orientable if and only if any two observers can agree which of the two meetings preceded the other.<ref>Mark J. Hadley.[http://www.iop.org/EJ/article/0264-9381/19/17/308/q21708.pdf?request-id=49d1e985-bf89-4203-b020-48367545e3c0 The Orientability of Spacetime]. Class Quantum Grav.19(2002)4565-4571 [https://arxiv.org/abs/gr-qc/0202031v4 arXiv:gr-qc/0202031v4]</ref>-->

公式には、擬直交群 O(p,q) は[[指標理論|指標]](characters)のペアを持つ。すなわち、空間向き付け指標 &sigma;<sub>+</sub> と時間向き付け指標 &sigma;<sub>&minus;</sub> であり、
:<math>\sigma_{\pm} : \operatorname{O}(p,q)\to \{-1,+1\}</math>
となる。これらの積 &sigma;&nbsp;=&nbsp;&sigma;<sub>+</sub>&sigma;<sub>&minus;</sub> は、向き付け指標を与える行列式である。擬リーマン多様体の空間向き付けは、{{仮リンク|随伴バンドル|en|associated bundle}}(associated bundle)
:<math>\operatorname{O}(M) \times_{\sigma_+} \{-1,+1\}</math>
の[[ファイバー束#切断|切断]]と同一視できる。ここに O(M) は擬直交標構のバンドルである。同様に、時間向き付けは随伴バンドル
:<math>\operatorname{O}(M) \times_{\sigma_-} \{-1,+1\}</math>
の切断である。
<!--Formally, the pseudo-orthogonal group O(''p'',''q'') has a pair of [[character theory|characters]]: the space orientation character &sigma;<sub>+</sub> and the time orientation character &sigma;<sub>&minus;</sub>,
:<math>\sigma_{\pm} : \operatorname{O}(p,q)\to \{-1,+1\}.</math>
Their product &sigma;&nbsp;=&nbsp;&sigma;<sub>+</sub>&sigma;<sub>&minus;</sub> is the determinant, which gives the orientation character.  A space-orientation of a pseudo-Riemannian manifold is identified with a [[section (fiber bundle)|section]] of the [[associated bundle]]
:<math>\operatorname{O}(M) \times_{\sigma_+} \{-1,+1\}</math>
where O(''M'') is the bundle of pseudo-orthogonal frames.  Similarly, a time orientation is a section of the associated bundle
:<math>\operatorname{O}(M) \times_{\sigma_-} \{-1,+1\}.</math>-->

==関連項目==
* {{仮リンク|曲線の向き付け|en|Curve orientation}}(Curve orientation)

==参考文献==
<references />

== 外部リンク ==
*[http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Orientation_of_manifolds Orientation of manifolds] at the Manifold Atlas.
*[http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Orientation_covering Orientation covering] at the Manifold Atlas.
*[http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Orientation_of_manifolds_in_generalized_cohomology_theories Orientation of manifolds in generalized cohomology theories] at the Manifold Atlas.
* The Encyclopedia of Mathematics article on [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Orientation Orientation].
<!--[[Category:Orientation]] No.  Look at the cat before adding this.-->

{{デフォルトソート:むきつけかのうせい}}
[[Category:微分幾何学]]
[[Category:位相幾何学]]