吸収元のソースを表示

[[数学]]、特に[[抽象代数学]]において'''吸収元'''（きゅうしゅうげん、{{lang-en-short|''absorbing element''}}）は[[二項演算]]を持つ[[集合]]に属する特別な[[元 (数学)|元]]で、吸収元と他のどのような元との[[積]]も、吸収元自身になってしまうという性質を持つものである。

[[半群|半群論]]においては、吸収元のことをしばしば'''零元'''と呼ぶ<ref>J.M. Howie, p. 2-3</ref><ref name="kkm">M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev p. 14-15</ref>。「零元」は[[加法単位元]]の意味でも用いられるが、本項では吸収元の意味で用いる。

吸収元は[[半群|半群論]]、特に[[半環]]の乗法半群においてとりわけ重要である。
加法単位元 0 を持つ半環の場合には、しばしば吸収元の定義を緩めて 0 を吸収しないものとする。別な言い方をすれば 0 が唯一の吸収元であるものとするということである<ref>J.S. Golan p. 67</ref>。

吸収元つき半環や吸収元付き可換モノイドなどが[[一元体]]の定式化などを契機として、従来の抽象代数学における[[環 (数学)|環]]などと同様の中心的な役割を果たすものとして注目されている。

== 定義 ==
厳密に、(''S'', &lowast;) を集合 ''S'' とその上の二項演算 &lowast; の組（[[マグマ (数学)|マグマ]]または亜群と呼ばれるもの）とする。''z'' がマグマ (''S'', &lowast;) の'''零元'''であるとは、''S'' の任意の元 ''s'' に対して
: <math>z * s = s * z = z</math>
を満たすことをいう。さらに細かく<ref name="kkm"/>、''z'' &lowast; ''s'' = ''z'' のみを課したものを'''左零元''' {{lang|en|(''left zero'')}} と呼び、'''右零元''' {{lang|en|(''right zero'')}} は ''s'' &lowast; ''z'' = ''z'' のみを条件に課したものをいう。

== 性質 ==
* マグマが左右の零元をともに持てば、それは（両側）零元である。
* マグマが零元を持つとき、零元は一意に定まる。

== 例 ==
* 集合 ''X'' 上の[[二項演算]]の全体の成す集合は[[関係の合成]]に関して、吸収元つき[[モノイド]]を成す。零元は空関係（つまり[[空集合]]）である。
* [[閉区間]] ''H'' = &#x007b;0, 1 &#x007d; に ''x'' &and; ''y'' := min(''x'', ''y'') で二項演算を定義したものは零付きモノイドであり、零元は最小元 0 で与えられる。

{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
|+ その他の吸収元付きマグマの演算と吸収元
! 台集合 !! 演算 !! 吸収元
|-
| [[実数]]全体 '''R''' || 実数の積 &bull; || 実数 [[0]]
|-
| [[非負整数]]全体 '''Z'''<sub>&ge;0</sub> || [[最大公約数]] GCD || 整数 1
|-
| ''n''-次[[正方行列]]全体 ''M''<sub>''n''</sub> || 行列の積 &bull; || ''n''-次[[零行列]] 0
|-
| [[拡大実数]]全体 <span style="text-decoration: overline">'''R'''</span> || 最小あるいは下限 &and; || 負の無限大 &minus;&infin;
|-
| 拡大実数全体 <span style="text-decoration: overline">'''R'''</span> || 最大あるいは上限 &or; || 正の無限大 +&infin;
|-
| 集合全体 '''Sets'''<ref group="*">素朴な意味での集合全体は集合にはならないので、本項でいう意味のマグマや吸収元としては扱えない。ただし、普遍集合を一つ与えてその中での集合（これを「小さい集合」と呼ぶ）の意味でなら扱える。普遍集合のとり方には依らないという意味で特に明示しない。</ref> || [[共通部分 (数学)|交わり]] &cap; || [[空集合]] {}
|-
| 集合 ''M'' の部分集合全体 2<sup>''M''</sup> || [[合併 (集合論)|結び]] &cup; || 全体集合 ''M''
|-
| [[ブール論理]] || [[論理積]] &and; || 偽 ⊥
|-
| [[ブール論理]] || [[論理和]] &or; || 真 ⊤
|}

== 関連項目 ==
*[[中立元]]
*{{ill|零半群|en|Null semigroup}}
*[[逆元]]

== 注釈 ==
{{Reflist|group=*}}

== 出典注 ==
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
* {{cite book|last= Howie|first= John M.|title=Fundamentals of Semigroup Theory|year=1995|publisher=[[オックスフォード大学出版局|Clarendon Press]]|id=ISBN 0-19-851194-9}}
* M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, ''Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs'', De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3110152487.
* {{cite book |title=Semirings and Their Applications |first=Jonathan S. |last=Golan |year=1999 |publisher=Springer |isbn=0792357868}}

== 外部リンク ==
* {{PlanetMath|urlname=AbsorbingElement|title=Absorbing element}}

{{DEFAULTSORT:きゆうしゆうけん}}
[[Category:半群論]]
[[Category:代数的構造]]
[[Category:数学に関する記事]]