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{{要改訳}} [[数学]]では[[代数幾何学]]の分野において、'''周期写像'''(period mapping)が[[ケーラー多様体]]の族と[[ホッジ構造]]の族とを関係付ける。 <!---In [[mathematics]], in the field of [[algebraic geometry]], the '''period mapping''' relates families of [[Kähler manifold]]s to families of [[Hodge structure]]s.--> == エーレスマンの定理(Ehresmann's theorem) == {{main|{{仮リンク|エーレスマンの定理|en|Ehresmann's theorem}} }} {{nowrap|f : X → B}} を正則埋め込みの射(morphism)とする。B の点 b に対し、b 上の f のファイバを X<sub>b</sub> で表すとし、B の点 0 を固定する。{{仮リンク|エーレスマンの定理|en|Ehresmann's theorem}}は 0 の周りの小さな開近傍 U であってそこで f が[[ファイバーバンドル]]となるようなものが存在することを保証する。すなわち、{{nowrap|f<sup>−1</sup>(U)}} は {{nowrap|X<sub>0</sub> × U}} に微分同相である。特に、合成写像 :<math>X_b \hookrightarrow f^{-1}(U) \cong X_0 \times U \twoheadrightarrow X_0</math> は微分同相である。この微分同相写像は、写像が自明化の選択に依存しているので、一意には決まらない。（ファイバーバンドルの）自明化は U 内の滑らかな経路から構成され、微分同相のホモトピー類は b から 0 への経路のホモトピー類の選択にのみ依存することを示すことができる。特に、U が可縮であれば、ホモトピーの差異を除ききちんと定義できる微分同相が存在する。 X<sub>b</sub> から X<sub>0</sub> への微分同相写像は、コホモロジー群の同型 :<math>H^k(X_b, \mathbf{Z}) \cong H^k(X_b \times U, \mathbf{Z}) \cong H^k(X_0 \times U, \mathbf{Z}) \cong H^k(X_0, \mathbf{Z})</math> を引き起こし、ホモトピー写像はコホモロジー上に恒等写像を引き起こすので、この同型は b から 0 への経路のホモトピー類のみに依存する。 <!---== Ehresmann's theorem == {{main|Ehresmann's theorem}} Let {{nowrap|''f'' : ''X'' → ''B''}} be a holomorphic submersive morphism. For a point ''b'' of ''B'', we denote the fiber of ''f'' over ''b'' by ''X''<sub>''b''</sub>. Fix a point 0 in ''B''. [[Ehresmann's theorem]] guarantees that there is a small open neighborhood ''U'' around 0 in which ''f'' becomes a [[fiber bundle]]. That is, {{nowrap|''f''<sup>−1</sup>(''U'')}} is diffeomorphic to {{nowrap|''X''<sub>0</sub> × ''U''}}. In particular, the composite map :<math>X_b \hookrightarrow f^{-1}(U) \cong X_0 \times U \twoheadrightarrow X_0</math> is a diffeomorphism. This diffeomorphism is not unique because it depends on the choice of trivialization. The trivialization is constructed from smooth paths in ''U'', and it can be shown that the homotopy class of the diffeomorphism depends only on the choice of a homotopy class of paths from ''b'' to 0. In particular, if ''U'' is contractible, there is a well-defined diffeomorphism up to homotopy. The diffeomorphism from ''X''<sub>''b''</sub> to ''X''<sub>0</sub> induces an isomorphism of cohomology groups :<math>H^k(X_b, \mathbf{Z}) \cong H^k(X_b \times U, \mathbf{Z}) \cong H^k(X_0 \times U, \mathbf{Z}) \cong H^k(X_0, \mathbf{Z}),</math> and since homotopic maps induce identical maps on cohomology, this isomorphism depends only on the homotopy class of the path from ''b'' to 0.--> == 偏極のない局所周期写像 == f が[[固有射|固有]]で X<sub>0</sub> が[[ケーラー多様体]]であるとする。ケーラー条件は未定であるので、U を縮めた後に、すべての U 内の b に対し、X<sub>b</sub> はコンパクトでケーラーである。さらに U を縮めて、X<sub>0</sub> が可縮であると仮定してよい。すると、X<sub>0</sub> と X<sub>b</sub> のコホモロジー群の間に同型がうまく定義できる。これらの同型は、X<sub>0</sub> の[[ホッジ構造]]と X<sub>b</sub> のホッジ構造を保存することは、一般にはない。何故ならば、それらは微分同相写像から引き起こされたもので、双正則写像から引き起こされたものではないからである。{{nowrap|F<sup>p</sup>H<sup>k</sup>(X<sub>b</sub>, '''C''')}} を[[ホッジ構造#ホッジ構造の定義|ホッジフィルトレーション]]の p番目のステップを表すとすると、X<sub>b</sub> のホッジ数は X<sub>0</sub> のホッジ数に等しい<ref>Voisin, Proposition 9.20</ref> ので、{{nowrap|b<sub>p,k</sub> {{=}} dim F<sup>p</sup>H<sup>k</sup>(X<sub>b</sub>, '''C''')}} の数値（[[ベッチ数]]）は b とは独立である。'''周期写像''' は写像 :<math>\mathcal{P} : U \rarr F = F_{b_{1,k}, \ldots, b_{k,k}}(H^k(X_0, \mathbf{C})),</math> であり、ここに F はすべての p に対し、次元が b<sub>p,k</sub> である部分空間の列の[[旗多様体]](flag variety)であり、次の写像が存在する。 :<math>b \mapsto (F^pH^k(X_b, \mathbf{C}))_p.</math> X<sub>b</sub> はケーラー多様体であるから、ホッジフィルトレーションは、[[ホッジ構造#ホッジ構造の定義|'''ホッジ-リーマンの双線型関係式''']] (Hodge–Riemann bilinear relations)を満たす。このことは :<math>H^k(X_b, \mathbf{C}) = F^pH^k(X_b, \mathbf{C}) \oplus \overline{F^{k-p+1}H^k(X_b, \mathbf{C})}.</math> であることを意味する。部分空間の旗多様体のすべてがこの条件を満足するわけではない。この条件を満たす旗多様体の部分集合を '''偏極のない局所周期写像'''(unpolarized local period domain)と呼び、<math>\mathcal{D}</math> と書く。<math>\mathcal{D}</math> は旗多様体 F の開部分集合である。 <!---== Local unpolarized period mappings == Assume that ''f'' is [[proper morphism|proper]] and that ''X''<sub>0</sub> is a Kähler variety. The Kähler condition is open, so after possibly shrinking ''U'', ''X''<sub>''b''</sub> is compact and Kähler for all ''b'' in ''U''. After shrinking ''U'' further we may assume that it is contractible. Then there is a well-defined isomorphism between the cohomology groups of ''X''<sub>0</sub> and ''X''<sub>''b''</sub>. These isomorphisms of cohomology groups will not in general preserve the [[Hodge structure]]s of ''X''<sub>0</sub> and ''X''<sub>''b''</sub> because they are induced by diffeomorphisms, not biholomorphisms. Let {{nowrap|''F<sup>p</sup>H<sup>k</sup>''(''X<sub>b</sub>'', '''C''')}} denote the ''p''th step of the [[Hodge filtration]]. The Hodge numbers of ''X<sub>b''</sub> are the same as those of ''X''<sub>0</sub>,<ref>Voisin, Proposition 9.20</ref> so the number {{nowrap|''b''<sub>''p'',''k''</sub> {{=}} dim ''F<sup>p</sup>H<sup>k</sup>''(''X<sub>b</sub>'', '''C''')}} is independent of ''b''. The '''period map''' is the map :<math>\mathcal{P} : U \rarr F = F_{b_{1,k}, \ldots, b_{k,k}}(H^k(X_0, \mathbf{C})),</math> where ''F'' is the [[flag variety]] of chains of subspaces of dimensions ''b''<sub>''p'',''k''</sub> for all ''p'', that sends :<math>b \mapsto (F^pH^k(X_b, \mathbf{C}))_p.</math> Because ''X<sub>b</sub>'' is a Kähler manifold, the Hodge filtration satisfies the [[Hodge structure#Definition of Hodge structures|Hodge–Riemann bilinear relations]]. These imply that :<math>H^k(X_b, \mathbf{C}) = F^pH^k(X_b, \mathbf{C}) \oplus \overline{F^{k-p+1}H^k(X_b, \mathbf{C})}.</math> Not all flags of subspaces satisfy this condition. The subset of the flag variety satisfying this condition is called the '''unpolarized local period domain''' and is denoted <math>\mathcal{D}</math>. <math>\mathcal{D}</math> is an open subset of the flag variety ''F''.--> == 偏極をもつ局所周期写像 == 各々の X<sub>b</sub> がケーラーであるだけでなく、あるケーラークラスが存在して b で正則に変形できると仮定する。言い換えると、{{nowrap|H<sup>2</sup>(X, '''Z''')}} の中にクラス ω が存在して、任意の b に対して、ω の X<sub>b</sub> への制限 ω<sub>b</sub> がケーラーであることを仮定する。ω<sub>b</sub> は H<sup>k</sup>(X<sub>b</sub>, '''C''') 上の[[双線型形式]] Q を、次の式により決定する。 :<math>Q(\xi, \eta) = \int \omega_b^{n-k} \wedge \xi \wedge \eta.</math> この形式は、b で正則に変化し、結果として周期写像の像に加えられた拘束条件である、ホッジ-リーマンの双線型関係式から再び出てくる次の条件を満たす。これらの条件は、 #'''直交性'''： {{nowrap|F<sup>p</sup>H<sup>k</sup>(X<sub>b</sub>, '''C''')}} が Q に関して {{nowrap|F<sup>k − p + 1</sup>H<sup>k</sup>(X<sub>b</sub>, '''C''')}} と直交していること。 #'''正値性'''： すべての {{nowrap|p + q {{=}} k}} について、<math>\textstyle (-1)^{k(k-1)/2}i^{p-q}Q</math> のタイプ {{nowrap|(p, q)}} のクラスが正定値であること。 '''偏極を持つ局所周期領域'''(polarized local period domain)は、旗多様体が上記の条件を満たす偏極のない局所周期領域の部分集合である。最初の条件は閉じた条件で、第二の条件は開いた条件である。結局、偏極を持つ局所周期領域は、偏極を持たない局所周期領域と旗多様体 ''F'' の局所閉部分集合である。周期写像は前と同じ方法で定義される。 偏極をもつ局所周期領域と偏極を持つ周期写像は、それぞれ、<math>\mathcal{D}</math> と <math>\mathcal{P}</math> と書く。 <!---== Local polarized period mappings == Assume now not just that each ''X''<sub>''b''</sub> is Kähler, but that there is a Kähler class that varies holomorphically in ''b''. In other words, assume there is a class ω in {{nowrap|H<sup>2</sup>(''X'', '''Z''')}} such that for every ''b'', the restriction ω<sub>''b''</sub> of ω to ''X''<sub>''b''</sub> is a Kähler class. ω<sub>''b''</sub> determines a [[bilinear form]] ''Q'' on ''H''<sup>''k''</sup>(''X''<sub>''b''</sub>, '''C''') by the rule :<math>Q(\xi, \eta) = \int \omega_b^{n-k} \wedge \xi \wedge \eta.</math> This form varies holomorphically in ''b'', and consequently the image of the period mapping satisfies additional constraints which again come from the Hodge–Riemann bilinear relations. These are: #'''Orthogonality''': {{nowrap|''F<sup>p</sup>H<sup>k</sup>''(''X<sub>b</sub>'', '''C''')}} is orthogonal to {{nowrap|''F<sup>k − p + 1</sup>H<sup>k</sup>''(''X<sub>b</sub>'', '''C''')}} with respect to ''Q''. #'''Positive definiteness''': For all {{nowrap|''p'' + ''q'' {{=}} ''k''}}, the restriction of <math>\textstyle (-1)^{k(k-1)/2}i^{p-q}Q</math> to the primitive classes of type {{nowrap|(''p'', ''q'')}} is positive definite. The '''polarized local period domain''' is the subset of the unpolarized local period domain whose flags satisfy these additional conditions. The first condition is a closed condition, and the second is an open condition, and consequently the polarized local period domain is a locally closed subset of the unpolarized local period domain and of the flag variety ''F''. The period mapping is defined in the same way as before. The polarized local period domain and the polarized period mapping are still denoted <math>\mathcal{D}</math> and <math>\mathcal{P}</math>, respectively.--> == 大域的周期写像 == 局所周期写像だけでは、基礎空間 B のトポロジーの情報が得られない。大域的な周期写像は、この情報（局所周期写像の情報）が依然として有効であるように構成される。大域的周期写像の構成することの困難は、B の[[モノドロミー]]に起因する。もはや、ファイバー X<sub>b</sub> と X<sub>0</sub> を関連付ける一意な微分同相のホモトピー類は存在しない。代わりに、B の中の経路の異なるホモトピー類は、別な微分同相のホモトピー類を引き起こすことができる。従って、コホモロジー群の別な同型を引き起こすことができる。結局、もはや各々のファイバーにはうまく定義できる旗多様体が存在しなくなる。代わりに、旗多様体は基本群の作用の差異を除いてのみ定義することができる。 偏極のない場合は、上記の B の中の曲線のホモトピー類により引き起こされるすべての自己同型からなる GL(H<sup>k</sup>(X<sub>0</sub>, '''Z''')) の部分群として、'''モノドロミー群''' Γ を定義する。旗多様体は放物型部分群によるリー群の商であり、モノドロミー群はリー群の数論的部分群である。'''偏極のない大域的周期領域'''(global unpolarized period domain)は Γ の作用による偏極のない局所周期領域の商である（従って、{{仮リンク|二重コセット|en|double coset}}(double coset)の集まりである）。偏極を持つ場合は、モノドロミー群の元は双線型形式 Q を保つことも要求され、'''偏極を持つ大域的周期領域'''は、同様な方法で Γ による商として構成される。どちらの場合も、周期写像は B の点を X<sub>b</sub> 上の[[ホッジ構造|ホッジフィルトレーション]]のクラスへ写す。 <!---== Global period mappings == Focusing only on local period mappings ignores the information present in the topology of the base space ''B''. The global period mappings are constructed so that this information is still available. The difficulty in constructing global period mappings comes from the [[monodromy]] of ''B'': There is no longer a unique homotopy class of diffeomorphisms relating the fibers ''X<sub>b</sub>'' and ''X<sub>0</sub>''. Instead, distinct homotopy classes of paths in ''B'' induce possibly distinct homotopy classes of diffeomorphisms and therefore possibly distinct isomorphisms of cohomology groups. Consequently there is no longer a well-defined flag for each fiber. Instead, the flag is defined only up to the action of the fundamental group. In the unpolarized case, define the ''monodromy group'' Γ to be the subgroup of GL(''H<sup>k</sup>''(''X''<sub>0</sub>, '''Z''')) consisting of all automorphisms induced by a homotopy class of curves in ''B'' as above. The flag variety is a quotient of a Lie group by a parabolic subgroup, and the monodromy group is an arithmetic subgroup of the Lie group. The '''global unpolarized period domain''' is the quotient of the local unpolarized period domain by the action of Γ (it is thus a collection of [[double coset]]s). In the polarized case, the elements of the monodromy group are required to also preserve the bilinear form ''Q'', and the '''global polarized period domain''' is constructed as a quotient by Γ in the same way. In both cases, the period mapping takes a point of ''B'' to the class of the Hodge filtration on ''X<sub>b</sub>''.--> == 性質 == グリフィスは、周期写像が正則であることを証明した。彼の{{仮リンク|グリフィス横断性定理|en|Griffiths's transversality theorem}}(Griffiths's transversality theorem)は周期写像の幅を制限する。 <!---== Properties == Griffiths proved that the period map is holomorphic. His [[Griffiths's transversality theorem|transversality theorem]] limits the range of the period map.--> == 周期行列 == ホッジフィルトレーションは周期行列を使い表現することができる。k-次整係数ホモロジー群 {{nowrap|H<sub>k</sub>(X, '''Z''')}} のトーションのない部分の基底を δ<sub>1</sub>, ..., δ<sub>r</sub> とする。p と q を {{nowrap|p + q {{=}} k}} となるよう固定し、{{nowrap|(p, q)}} のタイプの調和形式の基底を ω<sub>1</sub>, ..., ω<sub>s</sub> とする。これらの基底に関して X<sub>0</sub> の '''周期行列''' は次の行列となる。 :<math>\Omega = \Big(\int_{\delta_i} \omega_j\Big)_{1 \le i \le r, 1 \le j \le s}</math> 周期行列の各要素は基底の選択と複素構造に依存する。δs は、{{nowrap|SL(r, '''Z''')}} の中の行列 Λ の選択により変化することができ、ω たちは {{nowrap|GL(s, '''C''')}} の中の行列 A の選択により変化することができる。周期行列は、ある A と Λ の選択に対して AΩΛ と書くことができるならば、Ω と「同値」となる。 <!---== Period matrices == The Hodge filtration can be expressed in coordinates using period matrices. Choose a basis δ<sub>1</sub>, ..., δ<sub>r</sub> for the torsion-free part of the ''k''th integral homology group {{nowrap|''H''<sub>''k''</sub>(''X'', '''Z''')}}. Fix ''p'' and ''q'' with {{nowrap|''p'' + ''q'' {{=}} ''k''}}, and choose a basis ω<sub>1</sub>, ..., ω<sub>s</sub> for the [[Hodge theory|harmonic form]]s of type {{nowrap|(''p'', ''q'')}}. The '''period matrix''' of ''X''<sub>0</sub> with respect to these bases is the matrix :<math>\Omega = \Big(\int_{\delta_i} \omega_j\Big)_{1 \le i \le r, 1 \le j \le s}.</math> The entries of the period matrix depend on the choice of basis and on the complex structure. The δs can be varied by a choice of a matrix Λ in {{nowrap|SL(''r'', '''Z''')}}, and the ωs can be varied by a choice of a matrix ''A'' in {{nowrap|GL(''s'', '''C''')}}. A period matrix is ''equivalent'' to Ω if it can be written as ''A''ΩΛ for some choice of ''A'' and Λ.--> == 楕円曲線の場合 == 次の楕円曲線の族を考える。 :<math>y^2 = x(x - 1)(x - \lambda)</math> ここに λ は 0 でも 1 でもない複素数とする。曲線の一次コホモロジー群のホッジフィルトレーションは2つのステップ F<sup>0</sup> と F<sup>1</sup> とを持っている。しかし、F<sup>0</sup> は完全コホモロジー群であるので、興味のあるフィルトレーションの項は、唯一、F<sup>1</sup> である。この項は H<sup>1,0</sup> であり、1-形式の正則調和形式の空間である。 楕円曲線であるので、すべての λ に対し H<sup>1,0</sup> は微分形式 {{nowrap|ω {{=}} dx/y}} で貼られ、（ H<sup>1,0</sup> の次元は）1次元である。曲線のホモロジー群の明示的な表示を見つけるために、曲線は[[リーマン球面]]上の次の多値函数のグラフとして表現できることに注意する。 :<math>y = \sqrt{x(x-1)(x-\lambda)}</math> この函数の分岐点は 0 と 1 と λ と ∞ の4点であり、一つは 0 から 1 への分岐であり、もう一つは λ から ∞ への分岐の2つの分岐を作ると、函数の分岐点を消去されるので、多値函数は2つのシートへ切り分けられる。十分に小さな {{nowrap|ε > 0}} を固定する。これらのシートのうちのひとつのシート上で、曲線 {{nowrap|γ(t) {{=}} 1/2 + (1/2 + ε)exp(2πi t)}} を追ってみると、十分に小さな ε に対し、この曲線は分岐した片方のシートである {{nowrap|[0, 1]}} に囲まれているので、もう一つの分岐したシート {{nowrap|[λ, ∞]}} と交わることはない。さらに、一つのシート上で {{nowrap|0 ≤ t ≤ 1/2}} に対して、{{nowrap|δ(t) {{=}} 1 + 2(λ − 1)t}} として定義される曲線 δ(t) を追うと、{{nowrap|1/2 ≤ t ≤ 1}} に対し、もう一つの別なシートの上で {{nowrap|δ(t) {{=}} λ + 2(1 − λ)(t − 1/2)}} として繋がっている。この曲線の各々の半分は、点 1 と点 λ をリーマン面の2つのシート上で繋いでいる。[[ザイフェルト–ファン・カンペンの定理]]により、曲線のホモロジー群はランクが 2 の自由群である。曲線は一点 {{nowrap|1 + ε}} で交わるので、曲線は一つの点で {{nowrap|1 + ε}} で出会い、どちらのホモロジー類も他のホモロジー類の固有な積ではなく、よって、それらは H<sub>1</sub> の基底を形成する。従って、この族の周期行列は、 :<math>\begin{pmatrix} \int_\gamma \omega \\ \int_\delta \omega \end{pmatrix}</math> である。この行列の最初の要素は、A として、第二の用途は B として省略して書く。 この双線型形式 √(−1)Q は正定値である。何故ならば、局所的には常に ω を f dz と書くことができ、よって :<math>\sqrt{-1}\int_{X_0} \omega \wedge \bar\omega = \sqrt{-1}\int_{X_0} |f|^2\,dz \wedge d\bar{z} > 0.</math> となるからである。[[ポアンカレ双対性]]により γ と δ は、互いに、{{nowrap|H<sup>1</sup>(X<sub>0</sub>, '''Z''')}} の基底であるコホモロジー類 γ<sup>*</sup> と δ<sup>*</sup> に対応する。このことより、 ω はγ<sup>*</sup> と δ<sup>*</sup> の線型結合として書くことができる。この係数は、双対基底 γ と δ について ω を評価することにより、次の式で与えられる。 :<math>\omega = A\gamma^* + B\delta^*.</math> これらの項で Q の正定値性を示すと、 :<math>\sqrt{-1}\int_{X_0} A\bar{B}\gamma^* \wedge \bar{\delta}^* + \bar{A}B\bar{\gamma}^* \wedge \delta^* = \int_{X_0} \operatorname{Im}\,(2\bar{A}B \bar{\gamma}^* \wedge \delta^*) > 0</math> となる。γ<sup>*</sup> と δ<sup>*</sup> は整数であるので、それらは共役については不変である。さらに、γ と δ は一点で交わり、その点は H<sub>0</sub> で生成され、γ<sup>*</sup> と δ<sup>*</sup> のカップ積は X<sub>0</sub> の[[基本類]]である。結局、この積分は、<math>\operatorname{Im}\,2\bar{A}B</math> に等しい。積分は、ゼロよりも大きい（ゼロを含まない）正の値で、従って A も B もゼロではありえない。 ω による再スケーリングの後、周期行列はある複素数 τ に対し、ゼロを除く正の値を虚部にもつ {{nowrap|(1 τ)}} に等しいことを仮定する。これは {{nowrap|GL(1, '''C''')}} 作用から来る曖昧さを消去する。従って、{{nowrap|SL(2, '''Z''')}} の作用は普通の上半平面上の[[モジュラ群]]の作用である。結局、周期領域は[[リーマン面]]である。これは楕円曲線の格子としての普通のパラメトライズとなっている。 <!---== The case of elliptic curves == Consider the family of elliptic curves :<math>y^2 = x(x - 1)(x - \lambda)</math> where λ is any complex number not equal to zero or one. The Hodge filtration on the first cohomology group of a curve has two steps, ''F''<sup>0</sup> and ''F''<sup>1</sup>. However, ''F''<sup>0</sup> is the entire cohomology group, so the only interesting term of the filtration is ''F''<sup>1</sup>, which is ''H''<sup>1,0</sup>, the space of holomorphic harmonic 1-forms. ''H''<sup>1,0</sup> is one-dimensional because the curve is elliptic, and for all λ, it is spanned by the differential form {{nowrap|ω {{=}} ''dx''/''y''}}. To find explicit representatives of the homology group of the curve, note that the curve can be represented as the graph of the multivalued function :<math>y = \sqrt{x(x-1)(x-\lambda)}</math> on the [[Riemann sphere]]. The branch points of this function are at zero, one, λ, and infinity. Make two branch cuts, one running from zero to one and the other running from λ to infinity. These exhaust the branch points of the function, so they cut the multi-valued function into two single-valued sheets. Fix a small {{nowrap|ε > 0}}. On one of these sheets, trace the curve {{nowrap|γ(''t'') {{=}} 1/2 + (1/2 + ε)exp(2π''it'')}}. For ε sufficiently small, this curve surrounds the branch cut {{nowrap|[0, 1]}} and does not meet the branch cut {{nowrap|[λ, ∞]}}. Now trace another curve δ(''t'') that begins in one sheet as {{nowrap|δ(''t'') {{=}} 1 + 2(λ − 1)t}} for {{nowrap|0 ≤ t ≤ 1/2}} and continues in the other sheet as {{nowrap|δ(''t'') {{=}} λ + 2(1 − λ)(t − 1/2)}} for {{nowrap|1/2 ≤ t ≤ 1}}. Each half of this curve connects the points 1 and λ on the two sheets of the Riemann surface. From the [[Seifert–van Kampen theorem]], the homology group of the curve is free of rank two. Because the curves meet in a single point, {{nowrap|1 + ε}}, neither of their homology classes is a proper multiple of some other homology class, and hence they form a basis of ''H''<sub>1</sub>. The period matrix for this family is therefore :<math>\begin{pmatrix} \int_\gamma \omega \\ \int_\delta \omega \end{pmatrix}.</math> The first entry of this matrix we will abbreviate as ''A'', and the second as ''B''. The bilinear form √(−1)''Q'' is positive definite because locally, we can always write ω as ''f dz'', hence :<math>\sqrt{-1}\int_{X_0} \omega \wedge \bar\omega = \sqrt{-1}\int_{X_0} |f|^2\,dz \wedge d\bar{z} > 0.</math> By Poincaré duality, γ and δ correspond to cohomology classes γ<sup>*</sup> and δ<sup>*</sup> which together are a basis for {{nowrap|''H''<sup>1</sup>(''X''<sub>0</sub>, '''Z''')}}. It follows that ω can be written as a linear combination of γ<sup>*</sup> and δ<sup>*</sup>. The coefficients are given by evaluating ω with respect to the dual basis elements γ and δ: :<math>\omega = A\gamma^* + B\delta^*.</math> When we rewrite the positive definiteness of ''Q'' in these terms, we have :<math>\sqrt{-1}\int_{X_0} A\bar{B}\gamma^* \wedge \bar{\delta}^* + \bar{A}B\bar{\gamma}^* \wedge \delta^* = \int_{X_0} \operatorname{Im}\,(2\bar{A}B \bar{\gamma}^* \wedge \delta^*) > 0</math> Since γ<sup>*</sup> and δ<sup>*</sup> are integral, they do not change under conjugation. Furthermore, since γ and δ intersect in a single point and a single point is a generator of ''H''<sub>0</sub>, the cup product of γ<sup>*</sup> and δ<sup>*</sup> is the fundamental class of ''X''<sub>0</sub>. Consequently this integral equals <math>\operatorname{Im}\,2\bar{A}B</math>. The integral is strictly positive, so neither ''A'' nor ''B'' can be zero. After rescaling ω, we may assume that the period matrix equals {{nowrap|(1 τ)}} for some complex number τ with strictly positive imaginary part. This removes the ambiguity coming from the {{nowrap|GL(1, '''C''')}} action. The action of {{nowrap|SL(2, '''Z''')}} is then the usual action of the [[modular group]] on the upper half-plane. Consequently, the period domain is the [[Riemann sphere]]. This is the usual parameterization of an elliptic curve as a lattice.--> == 関連項目 == * [[ホッジ理論]] * [[モジュラ群]] == 参考文献 == {{reflist}} *Voisin, ''Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry I, II'' *上野健爾，清水勇二著，岩波書店，モジュライ理論３，id=ISBN 4-00-010656-2，第三章｢周期写像とHodge理論（日本語の文献） == 外部リンク == * [http://eom.springer.de/P/p072140.htm Springer encyclopedia of mathematics entry for period mapping] {{デフォルトソート:しゆきしやそう}} [[Category:ホッジ理論]] [[Category:楕円曲線]] [[Category:数学に関する記事]]
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