周期 (数体系)のソースを表示

[[数学]]の特に[[解析数論]]周辺分野における'''周期'''（しゅうき、{{lang-en-short|''period''}}）は、ある種の代数的な領域上でとった[[代数函数]]の[[積分]]として表される[[複素数]]を言う。周期全体の成す集合は、和と積に関して[[閉性質|閉じて]]おり、[[環 (数学)|環]]を成す。

{{harvs|txt|first=Maxim|last= Kontsevich|authorlink=マキシム・コンツェビッチ|first2=Don |last2=Zagier|author2-link=ドン・ザギエ|year=2001}} は周期の概念を導入し、周期に関するいくつかの予想について述べた論説である。

== 定義 ==
与えられた実数が'''周期'''であるとは、次の形で表せるときを言う：

:<math>\int_{P(x,y,z,\ldots)\ge0}Q(x,y,z,\ldots) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\ldots</math>

ここで <math>P</math> は有理数係数多項式、 <math>Q</math> は <math>\mathbb{R}^n</math> 上の有理数係数の有理関数. 

ここで <math>P</math> と <math>Q</math> を[[代数関数]]に取り替えた場合;{{要出典|date=2024年4月}}、一見より一般の概念を表しているように見えるが実は上と同値である。また<math>P</math> と <math>Q</math> を[[代数的数]] 係数としても同値である（これは、そのような積分や代数的無理数が適当な領域上の面積として表せることによる）。

より一般に、与えられた複素数が'''周期'''であるとは、その実部および虚部がともに周期となるときに言う。

== 例 ==
代数的数以外では、以下の数が周期の例となることが知られている:
*有理数<math>a=\int_0^{a} 1\ \mathrm{d}x=\int_{x^2\leq ax} \sgn(a)\ \mathrm{d}x</math>
* 任意の代数的数aの[[自然対数]]
<math>\log(a)=\int_1^{a}\frac{1}{x}\ \mathrm{d}x</math>
* [[円周率]] {{mvar|π}}<math>= \int_0^1\frac{4}{x^2+1}\ \mathrm{d}x</math>
* 有理数を引数とする[[楕円積分]]
* 任意の{{ill2|ゼータ定数|en|zeta constant|redirect=1}}（整数引数に対する[[リーマンゼータ函数]]の特殊値）および任意の[[多重ゼータ値]]
* 代数的数における[[超幾何函数]]の特殊値
* 自然数 {{mvar|p, q}} に対する[[ガンマ函数]]の値 {{math|Γ(''p''/''q''){{sup|''q''}}}}

周期の全体は可算濃度であるから、周期でない実数は連続体濃度個存在する。周期でない実数の具体例としては[[チャイティンの定数]] {{math|Ω}}がある。[[計算可能数]]であって周期とならない自然な例は今のところ知られていないが、人工的な例は[[カントールの対角線論法]]を用いて容易に作れる。[[ネイピア数]] {{mvar|e}}, {{math|1/''π''}}, [[オイラー–マスケローニ定数]] {{mvar|γ}} などは周期でない数の尤もらしい候補と考えられる。

== 分類の目的 ==
周期は、[[代数的数]]と[[超越数]]の間を埋める橋渡しとなるものである。代数的数のクラスは多くのよく知られた[[数学定数]]を含めるためには狭すぎ、また超越数の全体は[[可算]]でなくその元は一般には[[計算可能数|計算可能]]でない。これに対し周期全体の成す集合は可算であり、任意の周期は計算可能<ref>{{citation|first=Katrin |last=Tent|first2=Martin |last2=Ziegler|title=Computable functions of reals|journal=Münster Journal of Mathematics|volume=3|year=2010|pages=43–66|url=http://wwwmath.uni-muenster.de/mjm/vol_3/mjm_vol_3_04.pdf|doi=}}</ref>で、特に{{ill2|決定可能数|en|definable number|label=決定可能}}である。

== 予想 ==
周期であることが知られている定数の多くが、[[超越函数]]の積分によっても与えられる。コンツェヴィッチとザギエは「なぜある種の無限和や超越函数の積分が周期となるのかを説明する普遍的なルールは存在しないように思われる」との注意を述べている。

コンツェヴィッチとザギエは「周期が相異なる二つの積分として与えられるならば、各積分は積分の線型性、{{ill2|変数変換|en|Change of variables}}、[[微分積分学の基本定理|ニュートン&ndash;ライプニッツの公式]] <math display="inline"> \int_a^b f'(x) \, dx = f(b) - f(a) </math>（あるいはより一般の[[ストークスの定理|ストークスの公式]]）のみを用いてもう一方の積分に変形することができる」と予想した。

代数的数の有用な性質として「二つの代数式が相等しいかどうかをアルゴリズム的に決定できる」ことが挙げられる。そしてコンツェヴィッチとザギエの予想は「周期が相等しいかどうかということも決定可能である」ことを導くものとして理解できる: 計算可能な実数が相等しくないことは[[再帰的に枚挙可能]]であることが知られており、また逆に、二つの積分が一致するならばそのことを確かめるアルゴリズムは、それら積分の一方を他方に変換する可能なすべての方法を試すことによって為される。

[[ネイピア数]] {{mvar|e}} や[[オイラー&ndash;マスケローニ定数]] {{mvar|γ}} は周期であるとは考えられていない。被積分函数として代数函数を引数とする[[指数函数]]と代数函数との積を許せば、周期の概念は'''指数周期''' (''exponential period'') の概念に拡張される。このように拡張を行えば、{{mvar|e}} の任意の代数的数乗、有理数引数におけるガンマ函数の特殊値、[[ベッセル函数]]の特殊値なども全て指数周期の例に含まれる。コンツェヴィッチとザギエによれば、あとはさらに定数 {{mvar|γ}} も含むような新たな周期の概念が見つかれば「すべての古典的定数は適当な意味で周期である」と言えるのではないかという。

== 注 ==
{{reflist}}
== 参考文献 ==
*{{Citation | last1=Belkale | first1=Prakash | last2=Brosnan | first2=Patrick | title=Periods and Igusa local zeta functions | doi=10.1155/S107379280313142X | mr=2012522 | year=2003 | journal=International Mathematics Research Notices | issn=1073-7928 | issue=49 | pages=2655–2670}}
*{{Citation | last1=Kontsevich | first1=Maxim | last2=Zagier | first2=Don | editor1-last=Engquist | editor1-first=Björn | editor2-last=Schmid | editor2-first=Wilfried | title=Mathematics unlimited&mdash;2001 and beyond | url=http://www.ihes.fr/~maxim/TEXTS/Periods.pdf | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-3-540-66913-5 | mr=1852188 | year=2001 | chapter=Periods | pages=771–808|ref=harv}}
*{{Citation | last1=Waldschmidt | first1=Michel | title=Transcendence of periods: the state of the art | url=https://www.imj-prg.fr/~michel.waldschmidt/articles/pdf/TranscendencePeriods.pdf | doi=10.4310/PAMQ.2006.v2.n2.a3 | mr=2251476 | year=2006 | journal=Pure and Applied Mathematics Quarterly | issn=1558-8599 | volume=2 | issue=2 | pages=435–463}}

== 関連文献 ==
* {{citation|和書
|title= 周期と実数の0-認識問題 : Kontsevich-Zagierの予想
|last= 吉永 |first=正彦 |author-link= 吉永正彦
|others= [[加藤文元]]・[[野海正俊]]編、
|series= 問題・予想・原理の数学 |number= 2
|publisher= 数学書房
|isbn= 9784903342429
|year= 2016}} {{PDFlink|[http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~yoshinaga/research/maegaki.pdf  まえがき・目次]}}/{{PDFlink|[https://www.sugakushobo.co.jp/pdf/903342_42_er.pdf 正誤表]}}

== 外部リンク ==
* {{citation|和書|last=齋藤|first=政彦|url=http://www2.kobe-u.ac.jp/~mhsaito/documents/0808saito-period.pdf|work= [http://www2.kobe-u.ac.jp/~mhsaito/saito-otherlecture.html 数学教室出前講義]|title=周期：積分で表わされる数について|publisher=神戸大学大学院理学研究科|year=2008|accessdate=2017年12月}}
* {{PlanetMath|urlname=Period|title=period}}
* {{nlab|urlname=period#InNumberTheory|title=period, §3. In number theory and algebraic geometry}}

{{DEFAULTSORT:しゆうき}}
[[Category:数学定数]]
[[Category:代数幾何学]]
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