周辺分布のソースを表示

{{Expand English|Marginal distribution|date=2024年5月}}
[[File:MultivariateNormal.png|thumb|300px|2変量正規分布からサンプリングした図。周辺分布は赤と青で示されている。]]

'''周辺分布'''（しゅうへんぶんぷ、{{lang-en-short|marginal distribution}}）は[[同時確率分布]]から一部の[[確率変数]]を消去した[[確率分布]]である。'''周辺確率分布'''（しゅうへんかくりつぶんぷ、{{lang-en-short|marginal probability distribution}}）とも。

同時分布から周辺分布を作ることを'''周辺化'''（しゅうへんか、{{lang-en-short|marginalizing}}）という。[[確率質量関数]]や[[確率密度関数]]で特定の確率変数の和もしくは[[積分]]をとることである。

表の欄外（margin）に行や列の和を記載することから周辺（marginal）と呼ばれるようになった<ref>{{cite book |author=Trumpler, Robert J. and Harold F. Weaver |title=Statistical Astronomy |year=1962 |publisher=Dover Publications |pages=32–33}}</ref>。

分布に関連する様々な関数が周辺化できる。以下はその一例である：
{| class="wikitable"
|+表. 同時分布と対応する周辺分布
!同時分布
! colspan="2" |周辺分布
|-
|[[累積分布関数]]
|'''周辺累積分布関数'''
|{{lang-en-short|marginal cumulative distribution function}}
|-
|[[確率質量関数]]
|'''周辺確率質量関数'''
|{{lang-en-short|marginal probability mass function}}
|-
|[[確率密度関数]]
|'''周辺確率密度関数'''
|{{lang-en-short|marginal probability density function}}
|}
周辺分布に対し、[[条件付き確率分布]]は特定の確率変数を特定の値に制限したときの確率分布を指す。

== 定義 ==
周辺分布は[[同時分布]] <math>P(X, Y)</math> や[[条件付き確率分布]] <math>P(X | Y)</math> を用いて定義される。

=== 離散型確率分布 ===
[[離散型確率変数]]において、<math>Y</math> で周辺化された <math>X</math> の周辺確率質量関数 <math>P_X(X)</math> は以下で定義される：
: <math>P_X(X)
= \sum_{y \in Y} P_{XY}(X,y)
= \sum_{y \in Y} P_{X|Y}(X|y) P_Y(y)
= \mathbb{E}_{P_Y}[P_{X|Y}(X|Y)]</math>

=== 連続型確率分布 ===
[[連続型確率変数]]において、[[確率密度関数]]が存在する場合、<math>Y</math> で周辺化された <math>X</math> の周辺確率密度関数 <math>P_X(X)</math> は以下で定義される：
: <math>P_X(X)
= \int_y P_{X,Y}(X,y) \, \mathrm{d}y
= \int_y P_{X|Y}(X|y) \, P_Y(y) \, \mathrm{d}y
= \mathbb{E}_{P_Y}[P_{X|Y}(X|Y)]</math>

== 参照 ==
{{reflist}}


{{確率論}}
{{Probability-stub}}
{{デフォルトソート:しゆうへんふんふ}}
[[Category:確率分布論]]
[[Category:数学に関する記事]]