命題関数のソースを表示

'''命題関数'''（めいだいかんすう、[[英語|英]]：Propositional function） とは、[[数理論理学]]において、各[[変数 (数学)|変数]]の変域と終集合とがそれぞれ「真な命題」と「偽な命題」のみから成る、[[集合]]に等しいような[[写像]]である。命題関数は[[真理関数]]でもある。

== 定義 ==
命題関数を定義する為に次の 2 つの記号を用いる。
# '''真な命題'''を表す記号 ： <math>\curlyvee</math>
# '''偽な命題'''を表す記号 ： <math>\curlywedge</math>
''L<sub>0</sub>'' を <math>\curlyvee</math> と <math>\curlywedge</math> とだけから成る集合とし、''D'' を固定された空でない 1 つの集合とする。そのとき、''n'' 個の ''D'' の直積 <math>\prod_{i=1}^n D</math> から ''L<sub>0</sub>'' への写像を ''n'' 変数の'''命題関数'''という。命題関数をまた'''述語'''、'''性質'''、'''条件'''ともいう。''n'' 変数の命題関数をまた ''n'' 項'''[[関係 (数学)|関係]]'''ともいう。集合 ''D'' を'''[[議論領域]]'''といい、''D'' の各元を'''対象'''という。
== 例 ==
議論領域 ''D'' は[[自然数]]全体から成る集合に等しいとする。また、集合 ''L<sub>0</sub>'' において、[[真理関数]] ￢、∨ が定義されているとする。

''D'' から ''L<sub>0</sub>'' への写像 ''F'' を次の等式で定義すれば、''F'' は 1 変数の命題関数となる。
{{Indent2|<math>
F(n)=
\begin{cases} 
\curlyvee & \mbox{if }n\mbox{ is prime}\\
\curlywedge & \mbox{otherwise}
\end{cases}
</math>}}

''D×D'' から ''L<sub>0</sub>'' への写像 ''G'' を次の等式で定義すれば、''G'' は 2 変数の命題関数となる。
{{Indent2|<math>
G(n,m)=
\begin{cases} 
\curlyvee & \mbox{if }n\mbox{ is less than }m\\
\curlywedge & \mbox{otherwise}
\end{cases}
</math>}}
2 項関係 ''R(n，m)'' をしばしば ''nRm'' と書く。従って、上の ''G(n，m)'' を ''nGm'' と書いても良い。

''D×D'' の各元 ''(n，m)'' に対して ''L<sub>0</sub>'' の元 ''(￢G(n，m))∨G(n，m)'' を対応させれば、2 変数の 1 つの命題関数が得られる。

== 限定作用素 ==
''F(x)'' を 1 変数の命題関数とするとき、命題 ''∀xF(x)'' と ''∃xF(x)'' とは以下の等式で定義される。

{{Indent2|<math>
\forall xF(x) = 
\begin{cases} 
\curlyvee & \mbox{if }F(x)=\curlyvee\mbox{ is an identity}\\
\curlywedge & \mbox{otherwise}
\end{cases}
</math>}}

{{Indent2|<math>
\exist xF(x) = 
\begin{cases} 
\curlywedge & \mbox{if }F(x)=\curlywedge\mbox{ is an identity}\\
\curlyvee & \mbox{otherwise}
\end{cases}
</math>}}

''∀x'' 、''∃x'' をそれぞれ'''全称作用素'''、'''存在作用素'''といい、それらをまとめて'''限定作用素'''という。∀、∃ をそれぞれ'''[[全称記号]]'''、'''[[存在記号]]'''という。命題 ''∀xF(x)'' は 「 全ての対象 ''x'' に対して ''F(x)'' が成り立つ 」 を意味し、命題 ''∃xF(x)'' は 「 ''F(x)'' を満たす対象 ''x'' が ( 少なくとも 1 つ ) 存在する 」 を意味する。

=== 例 ===
議論領域 ''D'' は整数全体から成る集合に等しいとする。

1 変数の命題関数 ''F(n)'' を次の等式で定義する。
{{Indent2|<math>
F(n)=
\begin{cases} 
\curlyvee & \mbox{if }n\mbox{ is even}\\
\curlywedge & \mbox{otherwise}
\end{cases}
</math>}}
''F(1)'' = <math>\curlyvee</math> は正しくないので、''F(n)'' = <math>\curlyvee</math> は[[恒等式]]でない。よって、''∀nF(n)'' = <math>\curlywedge</math> である。また、''F(2)'' = <math>\curlywedge</math> は正しくないので、''F(n)'' = <math>\curlywedge</math> は恒等式でない。よって、''∃nF(n)'' = <math>\curlyvee</math> である。

== 関連項目 ==
*[[数学基礎論]]、[[数理論理学]]、[[述語論理]]
*[[集合]]、[[写像]]、[[直積]]
*[[議論領域]]、[[真理関数]]、[[二項関係]]
*[[全称記号]]、[[存在記号]]、[[作用素]]
*[[自由変数と束縛変数]]、[[冠頭標準形]]
==参考文献 ==
#前原昭二、復刊 数理論理学序説、共立出版株式会社、2010。

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