和分差分学のソースを表示

{{出典の明記|date=2016年12月}}
[[数学]]の一部門としての'''[[差分法]]'''（さぶんほう、{{lang-en-short|difference calculus, calculus of finite difference}}）あるいは'''和分差分学'''（わぶんさぶんがく、{{lang-en-short|discrete calculus}}）は、（[[微分法]]および[[積分法]]を柱とする）[[微分積分学]]の離散版にあたる。微分積分学が（[[函数の極限|極限]]の概念を定式化し得る）[[連続体|連続的]]な空間上の函数（特に[[実数直線]]上で定義された函数）に興味が持たれるのに対して、和分差分学では離散的な空間、特に[[整数]]全体の成す集合 {{math|ℤ}} 上で定義された函数（すなわち[[数列]]）に注目する。差分法は[[級数]]の計算にも応用される。

== 差分および和分 ==
よく知られた連続的な微分法は
: <math>Df(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>
で定義される[[微分|微分作用素]] {{mvar|D}} に基づくのに対し、離散的な差分法は
: <math>\Delta f(x) = f(x+1)-f(x)</math>
で定義される[[差分作用素]] {{math|&Delta;}} に基づく。

逆演算は、連続的な微分積分学における[[不定積分]]に対応するものとして、離散的な[[不定和分]] {{math|&sum;''f''(x)}} が差分作用素に対して
:<math>g(x) = \Delta f(x) \iff \sum g(x)\,\delta x = f(x) + C</math>
を満足するものとして定義される。ただし、{{mvar|&delta;}} は連続的な微分積分学における {{mvar|D}} に対する {{mvar|d}} と同様の意味で（ここでは）{{math|&Delta;}} に対する符牒である。また {{mvar|C}} は整数 {{mvar|x}} に対して定数となるような任意の函数 ({{math|''C''(''x'' + 1) {{=}} ''C''(''x'')}}) とする。

定積分に相当する'''定和分'''は、上の限界を固定しない通常の和 {{math|''F''(''x'')}} を用いれば
:<math>\sum\nolimits_a^b f(x)\, \delta x = \sum_{k=a}^{b-1} f(k) = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)</math>
なる関係にある。

== 性質 ==
=== 固有函数 ===
:<math style="float: right; margin: 1ex 1em 1ex 1em; padding: 1ex 1em 1ex 1em; border: 1px solid gray;">
\begin{align}
     & \Delta f(x) = f(x) \\
\iff & f(x+1) - f(x) = f(x) \\
\iff & f(x+1) = 2f(x) \\
\iff & \exists C: f(x) = C\cdot 2^x
\end{align}</math>

微分作用素の作用の下で不変な函数が [[ネイピア数|{{mvar|e}}]] を底とする[[指数函数]]であったことに対応する事実として、差分作用素の作用の下では[[aを底とする指数函数|{{math|2}} を底とする指数函数]]が不変である。これを確かめるのは容易い。{{sfn|結城|2005b}}

=== 階乗冪函数 ===
[[下降階乗]]に関しては単純な規則が存在する。任意の整数 {{mvar|m}} に対して
:<math>x^{\underline{m}} = \frac{x!}{(x-m)!} =
\begin{cases}
\overbrace{x(x-1) \dotsb (x-m+1)}^{m \text{ factors}} & \text{for } m \ge 0\\[5pt]
\underbrace{\frac{1}{(x+1)(x+2) \dotsb (x-m)}}_{|m| \text{ factors}} & \text{for } m < 0
\end{cases}</math>
と書くことにすれば、和分差分学における振る舞いを
* <math>\Delta(x^{\underline{m}}) = mx^{\underline{m-1}}</math>
* <math>\sum\nolimits_a^b x^{\underline{m}}\,\delta x =
\begin{cases}
[\frac{x^{\underline{m+1}}}{m+1}]_a^b & \text{when } m \neq -1 \\[8pt]
[H_x]_a^b & \text{when } m = -1
\end{cases}
</math>
のように表すことができる{{sfn|結城|2005a}}。ここに {{mvar|H{{msub|n}}}} は {{mvar|n}}-番目の[[調和数 (発散列)|調和数]]である。この意味で、調和数は[[自然対数]]の離散版となるものということになる{{sfn|結城|2005b}}。<math>\Delta (x\cdot H_x - x) = H_x</math> なることも用いた。

=== 積の差分法則と部分和分 ===
連続的な微分積分学における[[積の微分法則]]に対応する、差分に関する積の法則が
: <math>\Delta(u(x)v(x)) = u(x)\Delta v(x) + v(x+1)\Delta u(x)</math>
なる形で成り立つ。[[シフト作用素]] {{mvar|E}} を {{math|''Ef''(''x'') :{{=}} ''f''(''x'' + 1)}} で定めれば、短く
: <math>\Delta(uv) = u\Delta v + Ev\Delta u</math>
と書くこともできる。これを逆に用いて、連続的な[[部分積分]]に対応する[[部分和分]]の式
:<math>\sum u\,\Delta v = uv - \sum Ev\,\Delta u</math>
が得られる。

== 注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* [[Alexander Ossipowitsch Gelfond|A. O. Gelfond]]: ''Differenzenrechnung.'' Dt. Verlag d. Wiss., Berlin, 1958
* [[ロナルド・グラハム|Ronald Graham]] u. a.: ''[[Concrete Mathematics]].'' Addison-Wesley, Upper Saddle River 2008, ISBN 0-201-55802-5
* [[Niels Erik Nørlund|N. E. Nörlund]]: ''Vorlesungen über Differenzenrechnung.'' Springer-Verlag, Berlin, 1924; Reprint Chelsea, New York, 1954

== 関連文献 ==
* 広田良吾：「差分学入門：情報化時代の微積分学」、培風館：ISBN 978-4-56301482-7 (1998年2月28日)。
* 広田良吾、高橋大輔：「差分と超離散」、共立出版、ISBN 978-4-320-01729-0 (2003年2月1日)。
* 広田良吾：「差分方程式講義：連続より離散へ」、サイエンス社、ISBN 978-4-7819-9904-3 (2016年4月25日)。
* 西岡斉治：「代数的差分方程式：差分体の応用」、数学書房、ISBN 978-4-903342-44-3 (2019年1月15日)。

== 関連項目 ==
* [[有限差分]]

== 外部リンク ==
* {{citation|和書|url=http://www.hyuki.com/story/diffsum.html|title=ミルカさんの隣で|series=Web版「数学ガール」|author=結城浩|year=2005|ref={{sfnRef|結城|2005a}}}} ([http://www.hyuki.com/story/diffsum.pdf PDF])
* {{citation|和書|url=http://www.hyuki.com/story/diffsum2.html|title=離散系バージョンの関数探し|series=Web版「数学ガール」|author=結城浩|year=2005|ref={{sfnRef|結城|2005b}}}} ([http://www.hyuki.com/story/diffsum2.pdf PDF])
* [http://activities.tjhsst.edu/physics/lecture/Mathematics/DiscreteCalculus_0708.pdf Brian Hamrick: Discrete Calculus] (PDF, 70 KB){{dead link|date=2016年12月}}

{{DEFAULTSORT:わふんさふんかく}}
[[Category:数列]]
[[Category:数値解析]]
[[Category:差分法]]
[[Category:数学に関する記事]]