商体のソースを表示

[[数学]]における[[整域]]の'''分数体'''（ぶんすうたい、{{lang-en-short|''field of fractions''}}）あるいは'''商体'''（しょうたい、{{lang|en|''field of quotients''}}）とは、与えられた整域に対してそれを部分環として含む最小の[[可換体|体]]である。整域 ''R'' の商体の元は ''a'' &ne; 0 および ''b'' なる整域 ''R'' の元によって[[分数]] ''b''/''a'' の形に表される。環 ''R'' の商体が ''K'' であることを ''K'' = Quot(''R'') や ''K'' = Frac(''R'') のように表すこともある。
: <math>\text{Frac}(R):= \left\{\frac{n}{d} \mid n, d\in R, d\ne 0\right\}.</math>

この構成物はしばしば「商の体」{{lang|en|"''field of quotients''"}} とか「商体」{{lang|en|"''quotient field''"}} あるいは「分数の体」{{lang|en|"''field of fractions''"}} とか「分数体」{{lang|en|"''fraction field''"}} などと様々に呼ばれるが、それらは個人の感覚や趣向によるものである。また「商体」と表現すると環のイデアルによる商（商環、[[剰余環]]）と紛らわしいが、それとはまったく異なる概念である。

ここで整域は環として単位的である（乗法単位元を持つ）ことは仮定しない。商体の構成は、[[零因子]]を持たない任意の非[[零環|自明]]な[[可換律|可換]][[擬環]]という意味での整域に対して有効である<ref>Rings, Modules, and Linear Algebra: Hartley, B & Hawkes, T.O. 1970</ref>。

== 例 ==
* [[有理整数]]環 '''Z''' に対する商体 Frac('''Z''') は[[有理数]]体 '''Q''' である。
* [[ガウス整数]]環 ''R'' := {''a'' + ''bi'' | ''a'',''b'' &isin; '''Z'''} に対する商体 Quot(''R'') は[[ガウス有理数]]の全体 {''c'' + ''di'' | ''c'',''d'' &isin; '''Q'''} である。
* 体（それ自身を整域と見るとき）の商体は、[[同型]]の違いを除いてもとの体自身である。
* 与えられた体 ''K'' 上の一変数[[多項式環]] ''K''[''X''] は整域であり、その商体は一変数[[有理函数]]体と呼ばれ ''K''(''X'') で表される。
* 一般に、与えられた体 ''K'' 上の多変数多項式環 ''K''[''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub>] は整域であり、その商体は多変数有理函数体 ''K''(''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub>) である。
* 同様に、与えられた体 ''K'' 上の一変数[[形式冪級数]]環 ''K''&#x005b;[''X'']&#x005d; もまた整域であり、その商体は一変数[[形式ローラン級数]]体あるいは形式冪級数体と呼ばれ ''K''((''X'')) で表される。

== 商体の構成 ==
''R'' を、[[零因子]]を持たず、少なくとも一つの非零元 ''e'' を持つ[[可換環]]という意味での[[整域]]とする。''R'' に対する分数全体の成す体 Quot(''R'') は、以下のようにして得られる。

Quot(''R'') （の台集合）は、 ''R'' の元 ''n'' と ''R'' の非零元 ''d'' &ne; 0 からなる対 (''n'', ''d'') の全体に
: 対 (''n'', ''d'') が対 (''m'', ''b'') と同値となるのは ''R'' の元として ''nb'' = ''md'' が成立する[[必要十分条件|ときであり、かつそのときに限る]]
と定義される[[同値関係]]を入れたとき、その[[同値類]]全体の成す集合である。ここで (''n'', ''d'') の属する同値類を ''n''/''d'' と記す（''n''/''d'' が所期の分数であると考えることができる）。ふたつの同値類 (''n'', ''d''), (''m'', ''b'') の和は (''nb'' + ''md'', ''bd'') の属する同値類
: <math>\frac{n}{d}+\frac{m}{b} = \frac{nb+md}{bd}</math>
とし、積は (''mn'', ''db'') の属する同値類
: <math>\frac{n}{d}\cdot\frac{m}{b} = \frac{mn}{bd}</math>
とする。この和と積に関して Quot(''R'') は環となる。''R'' の元 ''n'' に対して (''ne'', ''e'') を対応させる写像
: <math>R\to\text{Quot}(R);\ n \mapsto (ne,e)</math>
は環 ''R'' から環 Quot(''R'') への環としての埋め込みを与える（この埋め込みは非零元 ''e'' の取り方に依らずに定まることに注意）。もし ''R'' が[[乗法単位元]] 1 を持つならば (''en'', ''e'') は (''n'', 1) と同値である。このとき、(''e'', ''e'') の属する同値類 1 = ''e''/''e'' が環 Quot(''R'') における乗法単位元を与えることや、''m'', ''d'' がともに 0 でないとき (''d'', ''m'') の属する同値類 ''d''/''m'' が同値類 ''m''/''d'' の逆元を与えることを確認することは容易い。したがって、Quot(''R'') は[[可換体]]である。

整域 ''R'' の商体は、
: ''f'': ''R'' &rarr; ''F'' が ''R'' から可換体 ''F'' への単射な[[環準同型]]ならば ''f'' の[[定義域の延長|延長]]となる環準同型 ''g'' : Quot(''R'') &rarr; ''F'' が一意的に存在する
という[[普遍性]]によって特徴付けられる。この商体の構成は[[圏論]]的に解釈することができる。'''C''' を整域と単射環準同型の成す圏とすれば、整域にその商体を対応させ、環準同型をそれが誘導する（普遍性によって存在の示される）可換体上の準同型に対応させる '''C''' から可換体の圏への[[函手]]は、可換体の圏から '''C''' への[[忘却函手]]の[[随伴函手|左随伴]]である。

== 関連項目 ==
* [[全商環]]: 商体の構成を零因子を持つ環に対して一般化したもの。
* [[環の局所化]]: これもしばしば商環と呼ばれる。積閉集合として非零因子全体をとれば全商環を与える。
* [[剰余環]]: 可換環をその極大イデアルで割った剰余環も体になるけれども、それは商体とはまったく異なる。

== 参考文献 ==
* {{cite book|和書|title=現代代数学|edition=復刻版|series=近代数学講座|author=服部昭|publisher=朝倉書店|year=2004|origyear=1968|isbn=978-4254116519}}
{{reflist}}

== 外部リンク ==
*{{MathWorld|title=Field of Fractions|urlname=FieldofFractions|author= Margherita Barile}}
*{{PlanetMath|title=fraction field|urlname=FractionField}}

{{DEFAULTSORT:しようたい}}
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[[Category:分数]]
[[Category:可換環論]]
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