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'''四つ子素数'''（よつごそすう、{{lang-en-short|prime quadruplet}}）とは、4個の[[素数]]の組で、{{math|(''p'', ''p'' + 2, ''p'' + 6, ''p'' + 8)}} のタイプのもののことをいう。ここで、{{math|(''p'', ''p'' + 2)}} および {{math|(''p'' + 6, ''p'' + 8)}} はいずれも[[双子素数]]であり、{{math|(''p'' + 2, ''p'' + 6)}} は[[いとこ素数]]であり、{{math|(''p'', ''p'' + 6)}} および {{math|(''p'' + 2, ''p'' + 8)}} はいずれも[[セクシー素数]]であり、{{math|(''p'', ''p'' + 2, ''p'' + 6)}} および {{math|(''p'' + 2, ''p'' + 6, ''p'' + 8)}} はいずれも[[三つ子素数]]である。 四つ子素数を小さい順に並べると、 :{{math|([[5]], [[7]], [[11]], [[13]]), ([[11]], [[13]], [[17]], [[19]]), ([[101]], [[103]], [[107]], [[109]]), …}} となる。最小のもの以外は、{{math|(30''n'' + 11, 30''n'' + 13, 30''n'' + 17, 30''n'' + 19)}}（{{mvar|n}} は {{math|0}} 以上の整数）の形になる。したがって最小のものを除き、四つ子素数の一の位の数は小さい順に {{math|(1, 3, 7, 9)}} となり、十の位以上の桁の数字は全て共通となる。 四つ子素数が無数に存在するのかどうかは2016年9月現在未解決である。 四つ子素数の逆数和は収束し、 :<math>\left( \frac{1}{5} +\frac{1}{7} +\frac{1}{11} +\frac{1}{13}\right) +\left(\frac{1}{11} +\frac{1}{13} +\frac{1}{17} +\frac{1}{19} \right) +\left( \frac{1}{101} +\frac{1}{103} +\frac{1}{107} +\frac{1}{109} \right) +\cdots =0.8705883800\pm 5\times 10^{-10}</math> である。 2019年2月現在発見されている四つ子素数 {{math|(''p'', ''p'' + 2, ''p'' + 6, ''p'' + 8)}} で最大の {{mvar|p}} は、10132桁の {{math|667674063382677 × 2{{sup|33608}} − 1}} である<ref>{{Cite web|url=https://primes.utm.edu/top20/page.php?id=55|title=The Top Twenty: Quadruplet|publisher=[[Prime Pages]]|accessdate=2019-05-24}}</ref>。 == 最初の38組の四つ子素数 == {[[5]], [[7]], [[11]], [[13]]}, {[[11]], [[13]], [[17]], [[19]]}, {[[101]], [[103]], [[107]], [[109]]}, {[[191]], [[193]], [[197]], [[199]]}, {[[821]], [[823]], [[827]], [[829]]}, {[[1481]], [[1483]], 1487, 1489}, {1871, 1873, 1877, 1879}, {2081, 2083, 2087, 2089}, {3251, 3253, 3257, 3259}, {3461, 3463, 3467, 3469}, {5651, 5653, 5657, 5659}, {9431, 9433, 9437, 9439}, {13001, 13003, 13007, 13009}, {15641, 15643, 15647, 15649}, {15731, 15733, 15737, 15739}, {16061, 16063, 16067, 16069}, {18041, 18043, 18047, 18049}, {18911, 18913, 18917, 18919}, {19421, 19423, 19427, 19429}, {21011, 21013, 21017, 21019}, {22271, 22273, 22277, 22279}, {25301, 25303, 25307, 25309}, {31721, 31723, 31727, 31729}, {34841, 34843, 34847, 34849}, {43781, 43783, 43787, 43789}, {51341, 51343, 51347, 51349}, {55331, 55333, 55337, 55339}, {62981, 62983, 62987, 62989}, {67211, 67213, 67217, 67219}, {69491, 69493, 69497, 69499}, {72221, 72223, 72227, 72229}, {77261, 77263, 77267, 77269}, {79691, 79693, 79697, 79699}, {81041, 81043, 81047, 81049}, {82721, 82723, 82727, 82729}, {88811, 88813, 88817, 88819}, {97841, 97843, 97847, 97849}, {99131, 99133, 99137, 99139},... 最初の数は{{OEIS|A007530}}、2番目の数は{{OEIS|A136720}}、3番目の数は{{OEIS|A136721}}、4番目の数は{{OEIS|A090258}}を、中央の数は{{OEIS|A173037}}を参照。 == {{anchors|五つ子素数|六つ子素数}}五つ子素数、六つ子素数 == 四つ子素数 {{math|(''p'', ''p'' + 2, ''p'' + 6, ''p'' + 8)}} について、{{math|''p'' − 4}} または {{math|''p'' + 12}} がさらに素数であれば、それらを加えた5つ組を'''五つ子素数'''（いつつごそすう、prime quintuplet）という。特に {{math|''p'' − 4}} と {{math|''p'' + 12}} の両方が素数であれば、その6つ組を'''六つ子素数'''（むつごそすう、prime sextuplet）という。 五つ子素数、六つ子素数が無数に存在するかどうかはわかっていない。 === 五つ子素数の例 === {{math|''p'' + 12}} 型<ref>[http://oeis.org/A022006 OEIS A022006]</ref> {5, 7, 11, 13, 17}, {11, 13, 17, 19, 23}, {101, 103, 107, 109, 113}, {1481, 1483, 1487, 1489, 1493}, {16061, 16063, 16067, 16069, 16073}, {19421, 19423, 19427, 19429, 19433}, {21011, 21013, 21017, 21019, 21023}, {22271, 22273, 22277, 22279, 22283}, {43781, 43783, 43787, 43789, 43793},... {{math|''p'' − 4}} 型<ref>[http://oeis.org/A022007 OEIS A022007]</ref> {7, 11, 13, 17, 19}, {97, 101, 103, 107, 109}, {1867, 1871, 1873, 1877, 1879}, {3457, 3461, 3463, 3467, 3469}, {5647, 5651, 5653, 5657, 5659}, {15727, 15731, 15733, 15737, 15739}, {16057, 16061, 16063, 16067, 16069}, {19417, 19421, 19423, 19427, 19429}, {43777, 43781, 43783, 43787, 43789},... === 六つ子素数の例 === {7, 11, 13, 17, 19, 23}, {97, 101, 103, 107, 109, 113}, {16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073}, {19417, 19421, 19423, 19427, 19429, 19433}, {43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793}, {1091257, 1091261, 1091263, 1091267, 1091269, 1091273}, {1615837, 1615841, 1615843, 1615847, 1615849, 1615853}, {1954357, 1954361, 1954363, 1954367, 1954369, 1954373}, {2822707, 2822711, 2822713, 2822717, 2822719, 2822723},... === その他の形と「七つ子」以上 === {{math|''p'' − 2}} および {{math|''p'' + 10}} は必ず 3 の倍数であるため、これらを含んだ「五つ子」は {{math|(''p'' − 2, ''p'', ''p'' + 2, ''p'' + 6, ''p'' + 8)}} の形の {{math|(3, 5, 7, 11, 13)}} しか存在しない。 また、{{math|''p'' − 6}}, {{math|''p'' + 14}} はいずれも 5 の倍数になるため、双子素数3つからなる {{math|(''p'', ''p'' + 2, ''p'' + 6, ''p'' + 8, ''p'' + 12, ''p'' + 14)}} の形の「六つ子」は、{{math|(5, 7, 11, 13, 17, 19)}} しか存在しない。 さらに {{math|''p'' − 8}}, {{math|''p'' + 16}} はいずれも 3 の倍数になるため、六つ子素数の両端±4の範囲には素数はない。{{math|(3, 5, 7, 11, 13, 17, 19)}}, {{math|(5, 7, 11, 13, 17, 19, 23)}} の「七つ子」、{{math|(3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23)}} の「八つ子」を除いて、差が4以内で連なる七つ子以上の素数の組は存在しない。 == 脚注 == <references/> == 関連事項 == *[[双子素数]] *[[三つ子素数]] *[[いとこ素数]] *[[セクシー素数]] *[[Prime k-tuple]] == 外部リンク == * {{MathWorld|title=Prime Quadruplet|urlname=PrimeQuadruplet}} {{素数の分類}} {{デフォルトソート:よつこそすう}} [[Category:整数の類]] [[Category:数学に関する記事]] [[Category:素数]]
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