四十六角形のソースを表示

[[ファイル:Regular polygon 46.svg|300px|サムネイル|右|正四十六角形]]
'''四十六角形'''（よんじゅうろくかくけい、よんじゅうろっかっけい、tetracontahexagon）は、[[多角形]]の一つで、46本の[[辺]]と46個の[[頂点]]を持つ図形である。[[多角形#多角形の内角の和／外角の和|内角の和]]は7920°、[[対角線]]の本数は989本である。

== 正四十六角形 ==
正四十六角形においては、中心角と外角は7.826…°で、内角は172.173…°となる。一辺の長さが a の正四十六角形の面積 S は
:<math>S = \frac{46}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{46} \simeq 168.12405 a^2</math>

<math>\cos (2\pi/46)</math>の値は、11次方程式を解くことにより[[冪根]]で表現される<ref>[https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12582292158.html?frm=theme z^23=1 の解法 | てっぃちMarshの数学（Mathematics)教室]</ref>。<math>z^{11}=1</math>の複素数解の一つ <math>e^{\frac {2\pi}{11}i}</math> をσとおいて、10次多項式にσを代入した値の11乗根を10個(<math>\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4,\lambda_5,\lambda_6,\lambda_7,\lambda_8,\lambda_9,\lambda_{10}</math>)用いて表される。
:<math>\begin{align}
\cos \frac {2\pi}{46} =& \cos \frac {\pi}{23} = \cos\left(\pi- \frac {22\pi}{23} \right) = -\cos \frac {22\pi}{23} \\
=& - \frac {\lambda_1\sigma^2+\lambda_2\sigma^4+\lambda_3\sigma^6+\lambda_4\sigma^8+\lambda_5\sigma^{10}+\lambda_6\sigma+\lambda_7\sigma^3+\lambda_8\sigma^5+\lambda_9\sigma^7+\lambda_{10}\sigma^9-1}{22}
\end{align}</math>


:<math>\lambda_1= \sqrt[11] {23(384812+188298\sigma -625515\sigma^2 -78859\sigma^3 + 740707\sigma^4 + 84370\sigma^5 + 834405\sigma^6 + 98208\sigma^7 + 361900\sigma^8 -56177\sigma^9)}</math>
:<math>\lambda_2= \sqrt[11] {23(384812+188298\sigma^2 -625515\sigma^4 -78859\sigma^6 + 740707\sigma^8 + 84370\sigma^{10} + 834405\sigma + 98208\sigma^3 + 361900\sigma^5 -56177\sigma^7)}</math>
:<math>\lambda_3= \sqrt[11] {23(384812+188298\sigma^3 -625515\sigma^6 -78859\sigma^9 + 740707\sigma + 84370\sigma^4 + 834405\sigma^7 + 98208\sigma^{10} + 361900\sigma^2 -56177\sigma^5)}</math>
:<math>\lambda_4= \sqrt[11] {23(384812+188298\sigma^4 -625515\sigma^8 -78859\sigma + 740707\sigma^5 + 84370\sigma^9 + 834405\sigma^2 + 98208\sigma^6 + 361900\sigma^{10} -56177\sigma^3)}</math>
:<math>\lambda_5= \sqrt[11] {23(384812+188298\sigma^5 -625515\sigma^{10} -78859\sigma^4 + 740707\sigma^9 + 84370\sigma^3 + 834405\sigma^8 + 98208\sigma^2 + 361900\sigma^7 -56177\sigma)}</math>
:<math>\lambda_6= \sqrt[11] {23(384812+188298\sigma^6 -625515\sigma -78859\sigma^7 + 740707\sigma^2 + 84370\sigma^8 + 834405\sigma^3 + 98208\sigma^9 + 361900\sigma^4 -56177\sigma^{10})}</math>
:<math>\lambda_7= \sqrt[11] {23(384812+188298\sigma^7 -625515\sigma^3 -78859\sigma^{10} + 740707\sigma^6 + 84370\sigma^2 + 834405\sigma^9 + 98208\sigma^5 + 361900\sigma -56177\sigma^8)}</math>
:<math>\lambda_8= \sqrt[11] {23(384812+188298\sigma^8 -625515\sigma^5 -78859\sigma^2 + 740707\sigma^{10} + 84370\sigma^7 + 834405\sigma^4 + 98208\sigma + 361900\sigma^9 -56177\sigma^6)}</math>
:<math>\lambda_9= \sqrt[11] {23(384812+188298\sigma^9 -625515\sigma^7 -78859\sigma^5 + 740707\sigma^3 + 84370\sigma + 834405\sigma^{10} + 98208\sigma^8 + 361900\sigma^6 -56177\sigma^4)}</math>
:<math>\lambda_{10}= \sqrt[11] {23(384812+188298\sigma^{10} -625515\sigma^9 -78859\sigma^8 + 740707\sigma^7 + 84370\sigma^6 + 834405\sigma^5 + 98208\sigma^4 + 361900\sigma^3 -56177\sigma^2)}</math>

=== 正四十六角形の作図 ===
正四十六角形は[[定規]]と[[コンパス]]による[[定規とコンパスによる作図|作図]]が不可能な図形である。

正四十六角形は[[折紙の数学|折紙]]により作図が不可能な図形である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[二十三角形]]

== 外部リンク ==
{{ウィキポータルリンク|数学}}

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:よんしゆうろくかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
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