四十角形のソースを表示

[[ファイル:Regular polygon 40.svg|300px|サムネイル|右|正四十角形]]
'''四十角形'''（よんじゅうかくけい、よんじゅうかっけい、tetracontagon）は、[[多角形]]の一つで、40本の[[辺]]と40個の[[頂点]]を持つ図形である。[[多角形#多角形の内角の和／外角の和|内角の和]]は6840°、[[対角線]]の本数は740本である。

== 正四十角形 ==
正四十角形においては、中心角と外角は9°で、内角は171°となる。一辺の長さが a の正四十角形の面積 S は
:<math>S = \frac{40}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{40} \simeq 127.06205 a^2</math>

:<math>\begin{align}
S = 10a^2 \cot \frac{\pi}{40}=&10\left(1+\sqrt{5}+\sqrt{5+2\sqrt{5}}+\sqrt{\left(1+\sqrt{5}+\sqrt{5+2\sqrt{5}}\right)^2+1}\right)a^2\\
=&10\left(1+\sqrt{5}+\sqrt{5+2\sqrt{5}}+\sqrt{\left(1+\sqrt{5}\right)^2+\binom{2}{1}\left(1+\sqrt{5}\right)\sqrt{5+2\sqrt{5}}+\left(\sqrt{5+2\sqrt{5}}\right)^2+1}\right)a^2\\
=&10\left(1+\sqrt{5}+\sqrt{5+2\sqrt{5}}+\sqrt{\left(6+\binom{2}{1}\sqrt{5}\right)^{}+\binom{2}{1}\left(1+\sqrt{5}\right)\sqrt{5+2\sqrt{5}}+\left(5+2\sqrt{5}\right)^{}+1}\right)a^2\\
=&10\left(1+\sqrt{5}+\sqrt{5+2\sqrt{5}}+\sqrt{\left(11+4\sqrt{5}+\binom{2}{1}\left(1+\sqrt{5}\right)\sqrt{5+2\sqrt{5}}\right)+1}\right)a^2\\
=&10\left(1+\sqrt{5}+\sqrt{5+2\sqrt{5}}+\sqrt{12+4\sqrt{5}+\binom{2}{1}\left(1+\sqrt{5}\right)\sqrt{5+2\sqrt{5}}}\right)a^2
\end{align}</math>


<math>\cos (2\pi/40)</math>を有理数と平方根で表すことが可能である。
:<math>\cos\frac{2\pi}{40}=\cos\frac{\pi}{20}=\cos 9^\circ=\frac12 \sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}</math>

=== 正四十角形の作図 ===
正四十角形は[[定規]]と[[コンパス]]による[[定規とコンパスによる作図|作図]]が可能な図形である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[五角形]]
* [[十角形]]
* [[二十角形]]

== 外部リンク ==
{{commonscat}}
{{ウィキポータルリンク|数学}}
*{{MathWorld|title=Tetracontagon|urlname=Tetracontagon}}

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:よんしゆうかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
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