四角錐数のソースを表示

[[Image:Square pyramidal number.svg|right|thumb|250px|1 + 4 + 9 + 16 = 30 は四角錐数]]
'''四角錐数'''（しかくすいすう、square pyramidal number）は球を右図のように1段目に1個、2段目に4個、3段目に9個、…というように[[正四角錐]]の形に積んだとき、そこに含まれる球の総数にあたる[[自然数]]である。つまり[[1]]から順に[[平方数]]をいくつか加えた数のことである。

四角錐数を小さい順に列記すると
:[[1]], [[5]], [[14]], [[30]], [[55]], [[91]], [[140]], [[204]], [[285]], [[385]], [[506]], [[650]], [[819]], [[1015]], 1240, …（{{OEIS|A330}}）

例： 1, 5 (=1+4), 14 (=1+4+9), 30 (=1+4+9+16), 55 (=1+4+9+16+25)

==性質==
''n''番目の四角錐数は 1 から ''n'' 番目の平方数 ''n''<sup>2</sup> までの和に等しいので
:<math>\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}</math>
で表される。これは以下のように証明される。まず ''n'' 番目の[[三角数]]を ''T<sub>n</sub>'' 、''n'' 番目の四角錐数を ''S<sub>n</sub>'' とすると、
:<math>\frac{S_1}{T_1} = \frac{1}{1} = \frac{3}{3} \ ,\quad \frac{S_2}{T_2} = \frac{5}{3} \ ,\quad \frac{S_3}{T_3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \ ,\quad \frac{S_4}{T_4} = \frac{30}{10} = \frac{9}{3}\ , \ ... \quad , \frac{S_n}{T_n} = \frac{2n+1}{3} </math>
となるので、
:<math>S_n = \frac{2n+1}{3} \ T_n = \frac{2n+1}{3} \ \frac{n(n+1)}{2} </math>
が得られる。

また[[組み合わせ]]の記号を用いると　<math> S_n = {}_{n+1}{\rm C}_{3} + {}_{n+2}{\rm C}_{3} \,</math> となる。これは四角錐数が連続する[[三角錐数]]の和で表せることを示しており、四角数が連続する三角数の和で表せることと類似の定理である。

四角錐数は1から順に[[奇数]]-奇数-[[偶数]]-偶数　といった順番の繰り返しで現れる。

四角錐数のうち[[三角数]]でもある数は [[1]], [[55]], [[91]], [[208335]] の4つのみである。({{OEIS|A039596}})

四角錐数のうち[[平方数]]でもある数は [[1]] と [[4900]] （24番目の四角錐数）の 2 つのみである。また四角錐数でなおかつ[[三角錐数]]でもある数は 1 のみである。

''n'' &times; ''n'' マスの[[方眼]]の中に含まれる[[正方形]]の数は ''n'' 番目の四角錐数に等しい。

::<math>1 + 2 = 3</math>
::<math>4 + 5 + 6 = 7 + 8</math>
::<math>9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15</math>
:…
と無限に続く足し算の等式は'''[[ニコロ・フォンタナ・タルタリア#タルタリアの三角形|タルタリアの三角形]]'''と呼ばれる。上から ''n'' 段目の等式の値は ''n'' 番目の四角錐数の3倍である。

::<math>3^2 + 4^2 = 5^2</math>
::<math>10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2</math>
::<math>21^2 + 22^2 + 23^2 + 24^2 = 25^2 + 26^2 + 27^2</math>
:…
と無限に続く自乗和の等式も同じ名で呼ばれる。等式の値は ''n'' 番目の四角錐数の ''12n(n + 1) + 1'' 倍である。この値は1から ''n'' までの立方和の ''16(n + 1/2)'' 倍と ''n'' 番目の四角錐数の和にも等しく、1から ''n'' までの4乗和（''n'' 番目の四角錐数の ''{3n(n + 1) - 1}/5'' 倍）の20倍と ''n'' 番目の四角錐数の5倍の和にも等しい。1段目から ''n'' 段目までの総和は、足し算の三角形のそれの1/3（即ち1番目から ''n'' 番目までの四角錐数の総和）の ''8n(n + 2) + 1'' 倍である。

== 関連項目 ==
* [[平方数|四角数]]
* [[四角錐]]
* [[三角錐数]], [[五角錐数]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=SquarePyramidalNumber|title=Square Pyramidal Number}}

{{DEFAULTSORT:しかくすいすう}}
[[Category:図形数]]
[[Category:ピラミッド]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:整数の類]]