回転座標系のソースを表示

{{Expand English|Rotating reference frame|date=2024年5月}}
'''回転座標系'''（かいてんざひょうけい）とは、運動座標系の一種で、[[慣性系]]から見るとある軸に対して[[回転]]している非[[慣性系]]の[[座標系]]をいう。たとえば[[地球]]表面は[[地軸]]に対して回転する座標系である。

例として''z'' 軸まわりに[[角速度]]&omega;で回転する回転座標系 ( ''x' '', ''y' '', ''z' '') を考える。慣性系 ( ''x'' , ''y'' , ''z'' ) と回転座標系 ( ''x' '', ''y' '', ''z' '') が時刻''t'' = 0 で一致していたとすると、2つの座標系の間には次の関係が成り立つ<ref name=toda>{{cite|和書 |author=戸田盛和 |title=力学 |publisher=岩波書店 |year=1982 |isbn=4-00-007641-8 |pages=208, 215}}</ref>。
: <math>\begin{align}
x &= x' \cos \omega t - y' \sin \omega t\\
y &= x' \sin \omega t + y' \cos \omega t\\
z &= z'
\end{align}</math>

== 性質 ==
* 慣性系における[[ニュートンの運動方程式]]を回転座標系へと変換すると、力の項に[[遠心力]]と[[コリオリの力]]が新たに出現する。すなわち、上記の回転座標系 ( ''x' '', ''y' '', ''z' '') での運動方程式は、''z'' 成分を省略すると
*:<math>\begin{align}m\frac{d^2x'}{dt^2}&=F_{x'}+2m\omega v'+m\omega^2x',\\
m\frac{d^2y'}{dt^2}&=F_{y'}-2m\omega u'+m\omega^2y'\end{align}</math>
:と表され、これらの式の右辺第2項としてコリオリの力が、第3項として遠心力が生じる。ここで、''u' '',''v' ''は回転座標系から見た速度である。
* 回転座標系において任意のベクトル'''''A''''' (''t'' ) の[[時間微分|時間変化]]（相対導関数）が <math>\frac{d^*\boldsymbol{A}}{dt}</math> で与えられているとすると、このベクトルの静止座標系に対する時間変化（絶対導関数） <math>\frac{d\boldsymbol{A}}{dt}</math> は次式で表される。これは回転座標系の公式と呼ばれることがある<ref name=toda/>。
*: <math>\frac{d\boldsymbol{A}}{dt} = \frac{d^*\boldsymbol{A}}{dt} + \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{A}</math>
: ここで'''&omega;'''は角速度ベクトルである。

== 脚注 ==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:かいてんさひようけい}}
[[Category:座標]]
[[Category:回転|さひようけい]]
[[Category:力学]]