回転数 (数学)のソースを表示

{{otheruses|閉曲線の回転数 (winding number)|[[反復合成写像]] ([[:en:iterated map|iterated map]]) の回転数|[[円の回転数|回転数]] ([[:en:rotation number|rotation number]])}}
[[Image:Winding Number Around Point.svg|thumb|right|250px|この曲線は点 ''p'' の周りで回転数 2 をもつ。]]
[[数学]]において、与えられた[[点 (数学)|点]]の周りの[[平面]]の閉[[曲線]]の'''回転数''' (winding number) は曲線がその点の周りを反時計回りに周った総回数を表す[[整数]]である。回転数は{{仮リンク|曲線の向き|en|curve orientation}}に依存し、曲線が点の周りを時計回りに周れば[[負の数]]である。

回転数は[[代数トポロジー]]において研究の基本的な対象であり、[[ベクトル解析]]、[[複素解析]]、[[幾何学的トポロジー]]、[[微分幾何学]]、[[弦理論]]を含む[[物理]]、において重要な役割を果たす。なお理論物理学においてはこの量は'''巻付き数'''と呼ばれる<ref>{{Cite book |和書 |author=S. Weinberg |authorlink=スティーヴン・ワインバーグ |title=場の量子論 4巻 場の量子論の現代的諸相 |others= 青山秀明, 有末宏明 |publisher=吉岡書店 |date=1999 |isbn=978-4842702711 |page=251}}</ref>。

==直感的記述==
[[Image:Winding Number Animation Small.gif|right|thumb|300px|An object traveling along the red curve makes two counterclockwise turns around the person at the origin.]]

''xy'' 平面において向き付けられた閉曲線を与えられたとしよう。曲線を何らかの対象の動きの道として、向き付けは対象が動く向きを示すとして、想像することができる。すると曲線の'''回転数''' (winding number) は対象が原点の周りに作った反時計回りの [[Turn (角度)|turn]] の総数に等しい。

turn の総数を数える時に、反時計回りの動きは正に数え、一方時計回りの動きは負に数える。例えば、対象がまず原点を4回反時計回りに回転し、それから原点を時計回りに1回回転すれば、曲線の総回転数は 3 である。

この案を使って、原点の周りを全く周らない曲線の回転数は 0 であり、原点の周りを時計回りに周る曲線の回転数は負である。したがって、曲線の回転数は任意の[[整数]]でありうる。以下の絵は回転数が &minus;2 と 3 の間の曲線を示している：

{| align="center" border=0 cellpadding=0
|-valign="center"
|<math>\cdots</math>
|align="center"|&nbsp;&nbsp;[[Image:Winding Number -2.svg|80px]]&nbsp;&nbsp;
|align="center"|&nbsp;&nbsp;[[Image:Winding Number -1.svg|80px]]&nbsp;&nbsp;
|align="center"|&nbsp;&nbsp;[[Image:Winding Number 0.svg|80px]]&nbsp;&nbsp;
|
|-valign="top" style="height:3em"
|
|align="center"|&minus;2
|align="center"|&minus;1
|align="center"|0
|
|-valign="center"
|
|align="center"|&nbsp;&nbsp;[[Image:Winding Number 1.svg|80px]]&nbsp;&nbsp;
|align="center"|&nbsp;&nbsp;[[Image:Winding Number 2.svg|80px]]&nbsp;&nbsp;
|align="center"|&nbsp;&nbsp;[[Image:Winding Number 3.svg|80px]]&nbsp;&nbsp;
|<math>\cdots</math>
|-valign="top"
|
|align="center"|1
|align="center"|2
|align="center"|3
|
|}

==正式な定義==
''xy'' 平面の曲線は[[パラメトリック方程式]]によって定義される：

:<math>x = x(t)\quad\text{and}\quad y=y(t)\qquad\text{for }0 \leq t \leq 1.</math>

パラメータ ''t'' を時間と考えれば、これらの方程式は {{nowrap|1= ''t'' = 0}} と {{nowrap|1= ''t'' = 1}} の間の平面の対象の動きを特定する。この動きの道は[[関数 (数学)|関数]] ''x''(''t'') と ''y''(''t'') が[[連続関数|連続]]である限り曲線である。この曲線は対象の位置が {{nowrap|1= ''t'' = 0}} と {{nowrap|1= ''t'' = 1}} で同じならば閉じている。

そのような曲線の'''回転数''' (winding number) を[[極座標系]]を使って定義できる。曲線は原点を通らないと仮定して、パラメトリック方程式を極形式に書きなおすことができる：

:<math>r = r(t)\quad\text{and}\quad \theta = \theta(t)\qquad\text{for }0 \leq t \leq 1.</math>

関数 ''r''(''t'') と ''&theta;''(''t'') は {{nowrap| ''r'' &gt; 0}} で、連続であることが要求される。最初と最後の位置は同じなので、''&theta;''(0) と ''&theta;''(1) は 2''&pi;'' の整数倍異ならなければならない。この整数が回転数である：

:<math>\text{winding number} = \frac{\theta(1) - \theta(0)}{2\pi}.</math>

これは ''xy'' 平面において原点の周りの曲線の回転数を定義する。座標系を変えることで、この定義を任意の点 ''p'' の周りの回転数を含むように拡張することができる。

==代替的定義==
回転数はしばしば数学の様々な分野において異なる方法で定義される。以下の定義のすべては上で与えられた定義と同値である。

===微分幾何学===
[[微分幾何学]]において、パラメトリック方程式は通常[[微分可能]]（あるいは少なくとも区分的に微分可能）と仮定される。この場合、極座標 ''&theta;'' は長方形座標 ''x'' と ''y'' と次の方程式によって関係づけられる：
:<math>d\theta = \frac{1}{r^2} \left( x\,dy - y\,dx \right)\quad\text{where }r^2 = x^2 + y^2.</math>
[[微分積分学の基本定理]]によって、''&theta;'' の総変化量は ''d&theta;'' の[[積分]]に等しい。したがって微分可能曲線の回転数を次の[[線積分]]として表現できる：
:<math>\text{winding number} = \frac{1}{2\pi} \oint_C \,\frac{x}{r^2}\,dy - \frac{y}{r^2}
\,dx.</math>
（原点の補集合上定義された）[[1-形式]] ''d&theta;'' は[[ポアンカレの補題|閉]]だが完全でなく、それは{{仮リンク|原点を除いた平面|en|punctured plane}}の一次[[ド・ラームコホモロジー]]群を生成する。とくに、''&omega;'' が原点の補集合上定義された任意の閉微分可能 1-形式であれば、閉ループに沿った ''&omega;'' の積分は回転数の倍数を与える。

===複素解析学===
[[複素解析学]]において、[[複素平面]]の閉曲線 ''C'' の回転数は複素座標 {{nowrap|1= ''z'' = ''x'' + ''iy''}} の言葉で表現できる。具体的には、''z''&nbsp;=&nbsp;''re''<sup>''i&theta;''</sup> と書けば、

:<math>dz = e^{i\theta} dr + ire^{i\theta} d\theta\!\,</math>

でありしたがって

:<math>\frac{dz}{z} = \frac{dr}{r} + i\,d\theta = d[ \ln r ] + i\,d\theta.</math>

ln(''r'') の総変化は 0 であり、したがって ''dz''&nbsp;&frasl;&nbsp;''z'' の積分は ''i'' に ''&theta;'' の総変化をかけたものに等しい。したがって：

:<math>\text{winding number} = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{dz}{z}.</math>

より一般に、''C'' の任意の複素数 ''a'' の周りの回転数は

:<math>\frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{dz}{z - a}</math>

によって与えられる。これは有名な[[コーシーの積分公式]]の特別な場合である。回転数は複素解析学全般で非常に重要な役割を果たす（cf. [[留数定理]]のステートメント）。

1チェイン''C=C_1+...C_n''に対する回転数は各''C_i''に対するそれの総和と定義する。

また領域''D'' 内の区分的C^1曲線''C''が ホモローグ0であるとはDに含まれないいかなる点''a''に対しても''C'' の''a'' の周りの回転数が0であることを言う。''C''が1チェインである場合も同様とする。

===トポロジー===
[[トポロジー]]において、回転数は[[写像度|連続写像の写像度]]の別の用語である。[[物理]]では、回転数はしばしば [[:en:topological quantum number|topological quantum number]] と呼ばれる。両方のケースで、同じ概念が適用する。

点の周りを周る曲線の上記の例は単純な位相的解釈をもつ。平面において点の補集合は[[円 (数学)|円]]に[[ホモトピー同値]]であり、円から自身への写像は本当に、考えられる必要のあるすべてなのである。次のことを示せる。各そのような写像は標準写像 <math>S^1 \to S^1 : s \mapsto s^n</math> の1つに連続的に変形できる（にホモトピックである）、ただし円における積はそれを複素単位円と同一視することによって定義される。円から[[位相空間]]への写像の[[ホモトピー類]]の集合は[[群 (数学)|群]]をなし、これはその空間の一次[[ホモトピー群]] ([[:en:homotopy group|homotopy group]]) あるいは[[基本群]] (fundamental group) と呼ばれる。円の基本群は[[整数]] '''Z''' であり、複素曲線の回転数はちょうどそのホモトピー類である。

3次元球面から自身への写像もまた、また回転数あるいはときどき[[ポントリャーギン指数]]と呼ばれる整数によって分類されている。

===多角形===
[[File:Star polygon 9 4.png|thumb|The boundary of the regular [[:en:Enneagram (geometry)|Enneagram]] {9/4} winds around its centre 4 times, so it has a [[:en:polygon density|density]] of 4.]]
[[多角形]]において、回転数は [[:en:polygon density|polygon density]] と呼ばれる。凸多角形と、より一般に（自己交叉しない）[[:en:simple polygon|simple polygon]] に対して、[[ジョルダン曲線定理|ジョルダンの曲線定理]]によって density は 1 である。対照的に、regular [[:en:star polygon|star polygon]] {''p''/''q''} に対して、density は ''q'' である。

==Turning number==
道の回転数を道自身の接線に関して考えることもできる。時間でフォローされた道として、これは速度ベクトルの原点についての回転数になる。この場合右に描かれた例は回転数 4（あるいは &minus;4）をもつ、なぜならば小さいループが数え''られる''からだ。

これははめ込まれた道に対して（すなわち微分がどこでも消えない微分可能な道に対して）のみ定義され、tangential [[:en:Gauss map|Gauss map]] の degree である。

これは '''turning number''' と呼ばれ、{{仮リンク|全曲率|en|total curvature}}を 2''π'' で割ったものとして計算することができる。

==回転数とハイゼンベルク強磁性方程式==
最後に、回転数は (2&nbsp;+&nbsp;1)-次元連続ハイゼンベルク強磁性方程式 とその integrable extension、{{仮リンク|石森方程式|en|Ishimori equation}}などと関係が深いことを注意しよう。最後の方程式の解は回転数または [[:en:topological charge|topological charge]] ([[:en:topological invariant|topological invariant]] and/or [[:en:topological quantum number|topological quantum number]]) によって分類される。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

==関連項目==
* [[偏角の原理]]
* [[:en:Linking coefficient<!-- リダイレクト先の「[[:en:Linking number]]」は、[[:ja:絡み数]] とリンク -->]]
* [[:en:Polygon density]]
* [[留数定理]]
* [[:en:Topological degree theory]]
* [[:en:Topological quantum number]]
* [[ウィルソンループ]]（[[:en:Wilson loop]]）
* [[:en:Nonzero-rule]]

==外部リンク==
*{{planetmath reference|title=Winding number|id=3291}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:かいてんすう}}
[[Category:代数的位相幾何学]]
[[Category:複素解析]]
[[Category:微分幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]