回転楕円体のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年5月}}
{{Expand English|Spheroid|date=2024年5月}}
[[ファイル:OblateSpheroid.PNG|thumb|240px|回転楕円体（[[扁球]]）]]
[[ファイル:ProlateSpheroid.png|thumb|160px|回転楕円体（長球）]]
'''回転楕円体'''（かいてんだえんたい、[[:en:Spheroid|spheroid]]）は、[[楕円]]をその長軸または短軸を[[回転軸]]として得られる[[回転体]]をいう。あるいは、3径のうち2径が等しい[[楕円体]]とも定義できる。

回転楕円体は「[[地球]]の形」を[[近似]]するのに用いられるために重要であり、この回転楕円体を[[地球楕円体]] ([[:en:Earth ellipsoid|Earth ellipsoid]]) と呼ぶ。様々な[[地球楕円体]]のうち、個々の[[測地系]]が準拠すべき地球楕円体を特に[[準拠楕円体]] ([[:en:Reference ellipsoid|reference ellipsoid]]) と呼ぶ。

== 用語 ==
3径のうち等しい2径の半径を赤道半径、残りの1つを極半径という。言い換えれば、元の楕円の2径のうち回転軸となった半径が極半径、他方が赤道半径である。

赤道半径のほうが長い、つまり短軸が回転軸となった回転楕円体を'''[[扁球]]'''・'''扁楕円体'''・'''扁平楕円体''' (oblate, oblate spheroid) という。極半径のほうが長い、つまり長軸が回転軸となった回転楕円体を'''[[長球]]'''・'''長楕円体'''・'''扁長楕円体''' (prolate, prolate spheroid) という。

赤道半径と極半径が等しい回転楕円体は、[[球]]である。球は、[[円 (数学)|円]]をその直径を回転軸とした回転体で、3径が全て等しい楕円体である。

回転楕円体の表面を'''回転楕円面'''という。

== 性質 ==
赤道半径を ''a''、極半径を ''b'' とする。なお回転楕円体の半径はこのように表すことが多いが、楕円の長半径を ''a''、短半径を ''b'' と表すと紛らわしいので注意が必要である。

回転楕円体は[[直交座標]]を使えば
{{Indent|<math>\left( \frac{x}{a} \right) ^2 + \left( \frac{y}{a} \right) ^2 + \left( \frac{z}{b} \right) ^2 \le 1</math>}}
と定義できる。回転楕円面なら[[不等号]]が[[等号]]になる。

[[体積]]は
{{Indent|<math>\frac{4}{3} \pi a^2 b</math>}}
である。

[[表面積]]は、一般の楕円体より簡単で、[[積分]]をせずに求めることができる。ただし長球と扁球では公式が異なり、扁球は
{{Indent|<math>2 \pi \left( a^2 + \frac{ b^2 \tanh^{-1} e }{ e } \right) \quad \mbox{if } a > b</math>}}
長球は
{{Indent|<math>2 \pi \left( a^2 + \frac{ a b \operatorname{Sin}^{-1} e }{ e } \right) \quad \mbox{if } b > a</math>}}
である。''e'' は[[離心率]]で、長半径を &alpha; = max(''a'', ''b'')、短半径を &beta; = min(''a'', ''b'') とすると
{{Indent|<math>e = \sqrt{ 1 - \left( \frac{ \beta }{ \alpha } \right)^2 } </math>}}
である。

==回転楕円体に基づく座標系==
下記の種類がある。
* [[:en:Oblate_spheroidal_coordinates|扁平楕円体座標系]]
* [[:en:Prolate_spheroidal_coordinates|扁長楕円体座標系]]
* [[地理座標系]]（[[測地座標系]]）：[[地球楕円体]]を採用する

== 関連項目 ==
*[[地球楕円体]]

{{立体}}
{{DEFAULTSORT:かいてんたえんたい}}
[[Category:閉曲面]]
[[Category:回転体]]
[[Category:数学に関する記事]]