回転行列のソースを表示

{{出典の明記|date=2011年12月}}
[[線型代数]]において、'''回転行列'''（かいてんぎょうれつ、{{lang-en-short|rotation matrix}}）とは、[[ユークリッド空間]]内における原点中心の[[回転 (数学)|回転]]変換の表現[[行列]]のことである。

2次元や3次元の回転は、[[幾何学]]、[[物理学]]、[[コンピュータグラフィックス]]の分野での計算に非常によく使われている。大半の応用で扱うのはこのふたつの場合だが、一般の次元でも回転行列を定義することができる。

''n'' 次元空間における回転行列は、[[実数]]を成分とする[[正方行列]]であって、[[行列式]]が 1 の ''n'' 次[[直交行列]]として特徴づけられる：
:<math>{}^t\!R =R^{-1} ,\;\det R=1.</math>
''n'' 次元の回転行列の全体は[[特殊直交群]]（あるいは回転群）と呼ばれる[[群 (数学)|群]]をなす。

== 2次元の回転行列 ==
2次元ユークリッド空間では、原点中心の ''θ'' 回転（反時計回りを正とする）の回転行列は、以下の形で表すことができる。
:<math>R(\theta )=\begin{bmatrix}
\cos \theta &-\sin \theta \\
\sin \theta &\cos \theta \\
\end{bmatrix}</math>
なぜならば、原点中心に ''θ'' 回転して点 (''x'', ''y'') が (''x'' ', ''y'' ') に写るとすると、図形的考察または[[三角関数]]の[[三角関数の公式の一覧#加法定理|加法定理]]より、''x'' ', ''y'' ' は以下のように表されることが分かる。
:<math>x'=x\cos \theta -y\sin \theta</math>
:<math>y'=x\sin \theta +y\cos \theta</math>
このことを行列の積で表すと、
:<math>
\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
</math>
となるからである。

逆の回転は、回転角が &minus;''θ'' になるだけなので、
:<math>
R(-\theta )=\begin{bmatrix}
\cos (-\theta) & -\sin (-\theta) \\
\sin (-\theta) & \cos (-\theta) \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix}</math>
となる。

また回転行列には[[行列の指数関数]]を用いた表示
:<math> R(\theta) = \exp\left(\theta \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\right) </math>
もある。

== 3次元の回転行列 ==
=== 各軸周りの回転 ===
3次元空間での''x''軸、''y''軸、''z''軸周りの回転を表す回転行列は、それぞれ次の通りである：
:<math>
R_x (\theta )=\begin{bmatrix}
1 &0 &0 \\
0 &\cos \theta &-\sin \theta \\
0 &\sin \theta &\cos \theta \\
\end{bmatrix}
</math>
:<math>
R_y (\theta )=\begin{bmatrix}
\cos \theta &0 &\sin \theta \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin \theta &0 &\cos \theta \\
\end{bmatrix}
</math>
:<math>
R_z (\theta )=\begin{bmatrix}
\cos \theta &-\sin \theta &0 \\
\sin \theta &\cos \theta &0 \\
0 &0 &1
\end{bmatrix}
</math>
ここで回転の方向は、<math>R_x</math> は''y''軸を''z''軸に向ける方向、<math>R_y</math> は''z''軸を''x''軸に向ける方向、<math>R_z</math> は''x''軸を''y''軸に向ける方向である。

=== オイラー角 ===
一般の回転行列も、これら3つの各軸周りの回転行列 <math>R_x,R_y,R_z</math> の積によって得ることができる<ref>Goldstein, Poole & Safko, pp. 151-154.</ref>。
例えば、次の積
:<math>R_z (\gamma ) R_x (\beta ) R_y (\alpha )</math>
は、''yxz''系で表したときの[[オイラー角]]が ''α'', ''β'', ''γ'' であるような回転を表す。

=== 任意の軸周りの回転 ===
任意の回転行列は、ある軸 <math>\mathbf{n}</math> まわりの角度 <math>\theta</math> の回転という形に表示できる（{{仮リンク |オイラーの定理 (剛体) |en |Euler's rotation theorem}}）<ref>Goldstein, Poole & Safko, p. 156.</ref>。このような回転行列は[[ロドリゲスの回転公式]]により
:<math>
R_\mathbf{n} (\theta ) = \begin{bmatrix}
\cos \theta + n_{x}^{2} \left( 1- \cos \theta \right) & n_{x}n_{y} \left( 1- \cos \theta \right) - n_{z} \sin \theta & n_{z}n_{x} \left( 1- \cos \theta \right) + n_{y} \sin \theta \\
n_{x}n_{y} \left( 1- \cos \theta \right) + n_{z} \sin \theta & \cos \theta + n_{y}^{2} \left( 1- \cos \theta \right) & n_{y}n_{z} \left( 1- \cos \theta \right) - n_{x} \sin \theta \\
n_{z}n_{x} \left( 1- \cos \theta \right) - n_{y} \sin \theta & n_{y}n_{z} \left( 1- \cos \theta \right) + n_{x} \sin \theta & \cos \theta + n_{z}^{2} \left( 1- \cos \theta \right) \\
\end{bmatrix}
</math>
と表示できる<ref>{{Cite web |url=https://mathworld.wolfram.com/RodriguesRotationFormula.html |title=Rodrigues' Rotation Formula |website=Wolfram MathWorld |accessdate=2020-12-08}}</ref>。また、任意のベクトル <math>\mathbf{r}</math> へのその作用は
:<math>R_\mathbf{n} ( \theta ) \mathbf{r} = \mathbf{r} \cos \theta + \mathbf{n} ( \mathbf{n} \cdot \mathbf{r} ) ( 1 - \cos \theta ) + (\mathbf{n} \times \mathbf{r}) \sin \theta</math>
と書ける<ref>Goldstein, Poole & Safko, p. 162.</ref><ref group="注釈">ここでは角度 <math>\theta</math> は[[右手の法則]]に従って選んでおり、Goldstein, Poole & Safko とは反対である。</ref>。

=== ケーリー・クラインのパラメータ ===
[[フェリックス・クライン]]によって考案されたケーリー・クラインのパラメータは、回転行列を4つの複素数 <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, <math>\delta</math>（ただし <math>\beta = \gamma^*</math>, <math>\delta = \alpha^*</math>を満たすものとする）を用いて
:<math>R ( \alpha, \beta, \gamma, \delta ) = \begin{bmatrix}
\frac{1}{2} ( \alpha^2 - \gamma^2 + \delta^2 - \beta^2 ) & \frac{i}{2} ( \gamma^2 - \alpha^2 + \delta^2 - \beta^2 ) & \gamma \delta - \alpha \beta \\
\frac{i}{2} ( \alpha^2 + \gamma^2 - \beta^2 - \delta^2 ) & \frac{1}{2} ( \alpha^2 + \gamma^2 + \beta^2 + \gamma^2 ) & - i ( \alpha \beta + \gamma \delta ) \\
\beta \delta - \alpha \gamma & i ( \alpha \gamma + \beta \delta ) & \alpha \delta + \beta \gamma
\end{bmatrix}</math>
と表示するものである<ref>Goldstein, Poole & Safko, pp. 154-155.</ref>。

== 脚注 ==
=== 注釈 ===
{{Reflist |group="注釈"}}

=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book |last=Goldstein |first=Herbert |last2=Poole |first2=Charles |last3=Safko |first3=John |year=2001 |title=Classical Mechanics |edition=third |publisher=Pearson |isbn=978-0201657029}}

== 関連項目 ==
*[[線型代数学]]
*[[四元数]]
*[[オイラー角]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=RotationMatrix|title=Rotation Matrix}}

{{Linear algebra}}

{{Linear-algebra-stub}}
{{DEFAULTSORT:かいてんきようれつ}}
[[Category:回転|きようれつ]]
[[Category:行列]]
[[Category:数学に関する記事]]