回転面のソースを表示

{{hatnote|（高次元の）回転で保たれる平面という意味の回転面（{{仮リンク|回転の軸|en|Axis of rotation|label=回転軸}}の二次元版）は{{仮リンク|回転不変面|en|plane of rotation}}を参照}}
[[File:Surface of revolution illustration.png|thumb|この壺は曲線 {{math|1= ''x''=2+cos&nbsp;''z''}} を {{mvar|z}}-軸周りに回転させたものである。]]

[[ユークリッド空間]]における'''回転面'''あるいは'''回転曲面'''（かいてんきょくめん、{{lang-en-short|''surface of revolution''}}）は、空間内の直線を'''軸''' (''axis'') に、空間内の[[曲線]]を回転させて得られる[[曲面]]を言う。この曲線は回転曲面を生成する'''母曲線'''あるいは'''[[母線 (数学)|母線]]''' (''generatrix'') と呼ぶ。<ref>''Analytic Geometry'' Middlemiss, Marks, and Smart. 3rd Edition Ch. 15 Surfaces and Curves, &sect; 15-4 Surfaces of Revolution {{LCCN|68015472}} pp 378 ff.</ref>

直線を母線として生成される回転面の例として、[[円柱 (数学)|円柱面]]および[[円錐|円錐面]]が、母線が軸に平行か否かに従って得られる（{{仮リンク|線織面|en|Ruled surface}}も参照）。円をその任意の直径の周りで回転することにより、もとの円を[[大円]]とする球面が生成される。円をその中心を通らない軸の周りで回転させれば[[トーラス]]を得る（自己交叉を持たないならば輪環面 (ring torus) になる）。

== 性質 ==
* 回転面の軸を通る平面で切った断面を'''子午断面''' (''meridional section'') と呼ぶ。任意の子午断面はその平面内の母線と軸を決定するものと看做すことができる<ref>{{citation|first1=W.A.|last1=Wilson|first2=J.I.|last2=Tracey|title=Analytic Geometry|edition=Revised|year=1925|publisher=D.C. Heath and Co.|page=227}}</ref>。
* 回転面の軸に垂直な平面で切った断面は必ず円になる。
* （一葉または二葉の）[[双曲面]]および[[楕円放物面]]のいくつか特別な場合も回転面になる。これらは、軸に垂直な任意の[[断面]]が円形であるような二次曲面と同一視することができる。

== 面積公式 ==
母曲線が[[媒介変数]] {{mvar|t}} {{math|(''a'' &le; ''t'' &le; ''b'')}} を用いて {{math|(''x''(''t''), ''y''(''t''))}} と{{仮リンク|曲線の媒介変数表示|en|parametric curve|label=媒介変数表示}}されているとし、{{math|''x''(''t'')}} が両端点 {{mvar|''a'', ''b''}} の間で負になることは無いとすると、回転の軸を {{mvar|y}}-軸としたときの回転面の（表）面積 {{mvar|A{{msub|y}}}} は[[積分]]
: <math> A_y = 2 \pi \int_a^b x(t)\sqrt{\Bigl({dx \over dt}\Bigr)^{\!2} + \Bigl({dy \over dt}\Bigr)^{\!2}} \, dt</math>
で与えられる。この公式は[[パップス＝ギュルダンの定理|パップスの中心軌跡定理]]と同等の計算である<ref>''Calculus'', George B. Thomas, 3rd Edition, Ch. 6 Applications of the definite integral, &sect;&sect; 6.7,6.11, Area of a Surface of Revolution pp 206-209, The Theorems of Pappus, pp 217-219 {{LCCN|69016407}}</ref>。ここで、[[ピタゴラスの定理]]からくる量

: <math>\sqrt{\Bigl({dx \over dt}\Bigr)^{\!2} + \Bigl({dy \over dt}\Bigr)^{\!2} }</math>

は（[[弧長]]の公式と同じく）母曲線の[[弧 (幾何学)|弧]]の小さな小片（線素）を表している。また量 {{math|2{{π}}''x''(''t'')}} は（パップスの定理で要求されるのと同様の）この線素の掃く経路（中心軌跡）の長さである。

同様に、{{math|''y''(''t'')}} が負になることは無いものとして {{mvar|x}}-軸を回転軸とした回転面の面積は
: <math> A_x = 2 \pi \int_a^b y(t)\sqrt{\Bigl({dx \over dt}\Bigr)^{\!2} + \Bigl({dy \over dt}\Bigr)^{\!2}} \, dt</math>
で与えられる<ref>{{cite book
|title=Engineering Mathematics
|edition=6
|author=Singh
|publisher=Tata McGraw-Hill
|year=1993
|isbn=0-07-014615-2
|page=6.90
|url=https://books.google.co.jp/books?id=oQ1y1HCpeowC&redir_esc=y&hl=ja}}, [https://books.google.co.jp/books?id=oQ1y1HCpeowC&redir_esc=y&hl=ja&pg=SA6-PA90 Chapter 6, page 6.90]
</ref>。

上記の曲線が {{math|1= ''t'' = ''x''}}, 即ち函数 {{math|''y'' {{=}} ''f(x)'' (''a'' ≤ ''x'' ≤ ''b'')}} で与えられるならば、上記の {{mvar|x}}-軸周りの場合の積分は 
: <math>A_x = 2\pi\int_a^b y\sqrt{1+\Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^{\!2}} \, dx = 2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2} \, dx</math>
と簡単になる。同様に {{mvar|y}}-軸周りの場合も {{math|''a'' ≤ ''y'' ≤ ''b''}} とすれば
: <math>A_y =2\pi\int_a^b x \sqrt{1+\Bigl(\frac{dx}{dy}\Bigr)^{\!2}} \, dy</math>
であることが上記の公式からしたがう。

{{仮リンク|極小回転面|en|minimal surface of revolution}}とは、与えられた二点間を結ぶ曲線の生成する回転面であって、その[[表面積]]が[[数理最適化|最小]]であるようなもの<ref name="Mathworld: Minimal Surface of Revolution">{{MathWorld|urlname=MinimalSurfaceofRevolution | title=Minimal Surface of Revolution}}</ref>（回転面であってそれ自身極小曲面となるもの）を言う。回転面に関する[[変分法]]の基本問題は、二点間を結ぶ曲線であって極小回転面を与えるものを求めることである<ref name="Mathworld: Minimal Surface of Revolution"/>。極小回転面は[[平面]]および{{仮リンク|懸垂面|en|Catenoid}}の二種類しかない<ref>{{MathWorld|urlname=Catenoid|title=Catenoid}}</ref>。

== 回転面上の測地線 ==
母線（[[経線]]）は常に回転面上の[[測地線]]となる。それ以外の回転面上の測地線は{{仮リンク|クレローの関係式|en|Clairaut's relation}}で統制される。すなわち、経線以外の回転面上の任意の測地線の各点において、当該点から[[回転軸]]までの[[距離]]と、当該点を通る経線と当該測地線とが成す角の[[正弦]]との積は一定である。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|カナル曲面|en|Channel surface}}: 回転面の一般化
* [[ガブリエルの角笛]]
* {{仮リンク|リウヴィル曲面|en|Liouville surface}}: 回転面の一般化
* [[回転体]]
* [[面積分]]

== 参考文献 ==
<references/>

== 外部リンク ==
*{{MathWorld|title=Surface of Revolution|urlname=SurfaceofRevolution}}
*{{PlanetMath|title=surface of revolution|urlname=SurfaceofRevolution}}
*[http://www.mathcurve.com/surfaces/revolution/revolution.shtml "Surface de révolution" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables]

{{DEFAULTSORT:かいてんめん}}
[[Category:積分法]]
[[Category:曲面]]
[[Category:数学に関する記事]]