因果集合のソースを表示

'''因果集合''' (causal sets)  プログラムは[[量子重力]]へのアプローチの一つである。これは、[[時空]]は本質的に離散的であり時空の事象はすべて[[半順序]]によって関連しているという仮定に基づいている。この半順序は時空の事象間の[[因果関係]]という物理的意味を持っている。

== 概要 ==
このプログラムは[[:en:David Malament]]による定理<ref name="Malament">D. Malament, ''[http://link.aip.org/link/?JMAPAQ/18/1399/1 The class of continuous timelike curves determines the topology of spacetime] {{webarchive|url=https://archive.is/20130112104622/http://link.aip.org/link/?JMAPAQ/18/1399/1 |date=2013年1月12日 }}'', Journal of Mathematical Physics, July 1977, Volume 18, Issue 7, pp. 1399-1404</ref>に基づいている。この定理は、もしそれらの[[:en:causal structure|因果構造]]を保存する二つの[[:en:past and future distinguishing|過去と未来が区別可能な]]時空の間の[[全単射]][[写像]]があるならば、その写像は[[:en:conformal isomorphism|等角同型]]であることを述べている。未定の[[:en:conformal factor|共形因子]]は時空における体積と関係する。この体積因子は時空の各点の[[:en:volume element|体積要素]]を規定することにより、正しい値を推定することができる。そのとき、時空領域の体積はその領域内の点の数を数えることにより見出すことができるであろう。

因果集合は[[:en:Rafael Sorkin]]によって創始された。彼はこのプログラムの主要な推進者であり続けている。彼は上述の議論を特徴付けるために、"順序 + 数 = 幾何"というスローガンを作った。このプログラムは、時空は局所[[:en:Lorentz invariance|ローレンツ不変性]]を保つ一方で根本的に離散的であるような理論を与える。

== 定義 ==
'''因果集合''' (causal set または causet) は、[[半順序]][[二項関係|関係]] <math>\preceq</math>を持つ集合<math>C</math>、すなわち 
* [[反射関係|反射]]：すべての<math>x \in C</math>について、<math> x \preceq x </math>が成立する。
* [[反対称関係|反対称]]：すべての<math>x, y \in C</math>について、<math> x \preceq y \preceq x \implies x = y</math>が成立する。
* [[推移関係]]：すべての<math>x, y, z \in C</math>について、<math> x \preceq y \preceq z </math>ならば<math> x \preceq z </math>が成立する。
* [[:en:Locally finite poset|局所有限]]：すべての<math>x, z \in C</math>について、'''card'''<math> (\{y \in C | x \preceq y \preceq z\}) < \infty </math>が成立する。
<!-- コメント：正しく表示されるように数式中の \,\! は残しておくこと... -->

ここで、'''card'''(<math>A</math>) は集合<math>A</math>の[[濃度 (数学)|濃度]] (cardinality) を表す。以後、<math>x \preceq y </math> かつ <math>x \neq y</math>ならば、<math>x \prec y</math>と書く。

集合<math>C</math>は時空の[[:en:Event (relativity)|事象]]の集合を表し、順序関係<math>\preceq</math>は事象間の因果関係を表す。（ローレンツ多様体における類似の概念については[[:en:causal structure|因果構造]]も参照のこと。）

この定義は反射的な順序関係の慣習に基づくが、[[反射関係|非反射]]的な順序関係の慣習を選ぶこともできる。（閉じた[[:en:causal curve|因果曲線]]のない）[[:en:Lorentzian manifold|ローレンツ多様体]]の[[因果関係]]は最初の三つの条件を満たす。局所有限条件は時空の離散性を導く。

== 連続体との比較 ==
ある因果集合が与えられたとき、それを[[:en:Lorentzian manifold|ローレンツ多様体]]に''埋め込む''ことができるであろうか。埋め込みとは、因果集合の要素を因果集合の順序関係が多様体の因果順序に適合するように多様体の中に入れる写像である。しかしながら、埋め込みが適切である前にさらなる基準が求められる。もし、平均として、多様体のある領域に写像される因果集合要素の数がその領域の体積と比例するなら、その埋め込みは''忠実である (faithful) ''と言われる。この場合、その因果集合は'多様体様 (manifold-like) 'であると見なすことができる。

因果集合プログラムへの中心的な予想は、同じ因果集合は大きなスケールで類似していない二つの時空へ忠実に埋め込むことはできないというものである。これは'基本予想' (fundamental conjecture) を意味する ''[[:en:hauptvermutung|hauptvermutung]]'' と呼ばれる。二つの時空が'大きなスケールで類似する'ときを決定するのが困難なため、この予想を厳密に定義することは困難である。

時空を因果集合としてモデル化することは、われわれの関心をこのような'多様体様'の因果集合に制限することを要求するだろう。

=== まき散らし ===
[[Image:CausalSet(1000Points).png|right|thumb|1+1次元内の1000個のまき散らされた点のプロット]]

ある因果集合をある多様体に埋め込むことができるかどうかを決定することの困難には逆方向からアプローチすることができる。ローレンツ多様体上へまき散らした点によって因果集合を作ることができる。その時空領域の体積に比例する数の点をまき散らし、それらの点の間の順序関係を誘導するために多様体上の因果順序関係を用いることによって、（構成によって）その多様体に忠実に埋め込むことのできる因果集合を生成することができる。

ローレンツ不変性を保つために、これらの点は[[ポアソン過程]]を用いてランダムにまき散らされなければならない。このように、<math>n</math>個の点を体積<math>V</math>の領域上まき散らす確率は

<math>P(n) = \frac{(\rho V)^n e^{-\rho V}}{n!}</math>

である。ここで、<math> \rho </math>はまき散らしの密度である。

ある正則格子上への点のまき散らしでは、点の数とその領域の体積の比例関係は保たれないであろう。

== 幾何学 ==
多様体におけるいくつかの幾何的な構成を因果集合に適用することができる。これらを定義したとき、因果集合が埋め込まれる可能性のある背景のどの時空にも基礎をおくのではなく、因果集合自身のみに基礎をおくことに注意が必要である。これらの構成の概要は脚注を参照のこと<ref name=Brightwell>G, Brightwell, R. Gregory, ''[http://link.aps.org/abstract/PRL/v66/p260 Structure of random discrete spacetime]'', Phys. Rev. Lett. 66, 260 - 263 (1991)</ref>。

=== 測地線 ===
[[Image:CausalSet180Geodesic.png|right|thumb|1+1次元にまき散らされた180個の点の因果集合内の二点間の測地線のプロット]]

ある因果集合内の''リンク (link) ''とは、<math>x \prec y</math>となる一対の要素<math>x, y \in C\,\!</math>で、<math>x \prec z \prec y</math>となる<math>z \in C\,\!</math>は持たない。

''チェーン (chain) ''とは、<math>i=0,\ldots,n-1</math>について<math>x_i \prec x_{i+1}</math>となる要素の列<math>x_0,x_1,\ldots,x_n</math>である。チェーンの長さ<math>n</math>は使われた関係の数である。

これは二つの因果集合要素の間の[[測地線]]を定義するために用いることができる。二つの要素<math>x, y \in C</math>間の測地線は次の条件を持つリンクのみで構成されたチェーンである：
# <math>x_0 = x\,\!</math>および<math>x_n = y\,\!</math>
# チェーンの長さ<math>n</math>は<math>x\,</math>から<math>y\,</math>へのチェーン全体にわたる最大.
一般的には、二つの要素の間に一つ以上の測地線が存在する。

Myrheim<ref name='Myrhiem'>J. Myrheim, [http://doc.cern.ch//archive/electronic/kek-scan//197808143.pdf CERN preprint] TH-2538 (1978)</ref>は、そのような測地線の長さは二つの時空点を結ぶある[[:en:timelike geodesic|時間的測地線]]に沿った[[固有時]]に直接比例するべきであることを最初に示唆した。平坦な時空にまき散らされて生成された因果集合を用いて、この予想の検証がなされている。この比例関係が成立することは示され続けてきており、曲がった時空にまき散らされた因果集合でも同様に成り立つことが予想されている。

=== 次元推定 ===
ある因果集合の多様体[[次元]]を推定するための多くの研究がなされている。これには、忠実に埋め込むことのできる多様体の次元を与えることを目的としている因果構造を用いるアルゴリズムを含む。 このアルゴリズムは今までのところ、因果集合を忠実に埋め込むことのできる[[ミンコフスキー時空]]の次元を見つけることに基づいて開発されている。

*'''Myrheim-Meyer次元'''
このアプローチは、<math>d</math>-次元ミンコフスキー時空にまき散らされた因果構造内に存在する<math>k</math>-長のチェーンの数の推定に基づいている。次に、因果構造内の<math>k</math>-長のチェーンの数を数えることで、<math>d</math>について推定することができる。

*'''中点スケーリング次元'''
このアプローチは、ミンコフスキー時空内の二点間の固有時とその二点間の[[:en:Spacetime#Spacetime_intervals|時空間隔]]の体積との関係に基づいている。（固有時を推定するために）二点<math>x\,</math>と<math>y\,</math>の間の最大チェーン長を計算し、（時空間隔の体積を推定するために）<math>x \prec z \prec y</math>となる要素<math>z\,</math>の数を数えることで、時空の次元を計算することができる。

これらの推定方法は<math>d</math>-次元ミンコフスキー空間へ高密度でまき散らされることで生成された因果集合の正しい次元を与えるべきである。[[:en:conformally-flat manifold|共形平坦]]な時空における検証<ref name=Reid>D.D. Reid, ''Manifold dimension of a causal set: Tests in conformally flat spacetimes'', Phys.Rev. D67 (2003) 024034, [[arXiv:gr-qc/0207103v2]]</ref>は、これら二つの方法が正確であることを示している。

== 動力学 ==
因果集合の正しい[[動力学]]を開発する課題が進行中である。これらは、どの因果集合が物理的に現実的な[[時空]]に一致するかを決定する規則の集合を与えるであろう。因果集合動力学を開発する最も有名なアプローチは[[量子力学]]の''[[経路積分|歴史の和]] (sum-over-histories) ''による立場に基づいている。このアプローチは、因果集合の一要素を同時に''成長 (growing) ''させることによって"因果集合の和 (sum-over-causal sets) "を実行しうる。各要素は量子力学の規則に従って足し合わされ、[[干渉 (物理学)|干渉]]は大きな多様体様の時空がその貢献に最も重要であることを確かにするであろう。当面のところ最も良い動力学モデルは各要素が確率に従って足し合わせられる古典モデルである。このモデルはDavid Rideoutと[[:en:Rafael Sorkin]]によるもので、''古典逐次成長力学'' (classical sequential growth : CSG) 動力学として知られている<ref>D.P. Rideout, R.D. Sorkin; ''A classical sequential growth dynamics for causal sets'', Phys. Rev D, 6, 024002 (2000) [[arXiv:gr-qc/9904062]]</ref>。古典逐次成長力学モデルは新しい要素を次々と足し合わせていくことで因果集合を生成する方法である。新しい要素をどのように足し合わせていくかの規則が規定されており、モデルのパラメータに依存して異なる因果集合を生じる。

== 関連項目 ==
* [[:en:Causal structure|因果構造]]
* [[:en:Order theory|順序理論]]
* [[一般相対性理論]]

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
{{refbegin|2}}
;入門と概括
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;基礎
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;博士論文
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;公演
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*S. Johnston; ''[http://pirsa.org/08040043/ Particle Propagators from Discrete Spacetime]''; Talk given at [[Perimeter Institute]] 14/04/2008 (Quantum field theory)
*D.A. Meyer; Talk given at the 1997 Santa Fe workshop: ''[http://t8web.lanl.gov/people/emil/Slides/sf97talks.html Causal Sets and Feynman diagrams]''; Presented at "New Directions in Simplicial Quantum Gravity" July 28 - August 8, 1997; (Feynman diagrams, Quantum Dynamics)
*D.P. Rideout; ''[http://loops05.aei.mpg.de/index_files/abstract_rideout.html Spatial Hypersurfaces in Causal Set Cosmology]''; Talk given at  Loops 05, 10–14 October 2005, Potsdam, [[Max Planck Institute for Gravitational Physics]] (Spatial hyper-surfaces, Dynamics)
*J. Scargle, ''[http://scipp.ucsc.edu/seminars/experimental/archive_sq07/scargle_4-24-07.ppt Testing Quantum Gravity Theories with GLAST]''; Talk given at Santa Cruz Institute for Particle Physics, April 24, 2007. (Lorentz invariance, Phenomenology)
*[[Rafael Sorkin|R.D. Sorkin]]; Two Talks given at the 1997 Santa Fe workshop: ''[http://t8web.lanl.gov/people/emil/Slides/sf97talks.html A Review of the Causal Set Approach to Quantum Gravity]'' and ''[http://t8web.lanl.gov/people/emil/Slides/sf97talks.html A Growth Dynamics for Causal Sets]''; Presented at ”New Directions in Simplicial Quantum Gravity” July 28 - August 8, 1997; ;;
*[[Rafael Sorkin|R.D. Sorkin]]; ''[http://pirsa.org/07010001 Does quantum gravity give rise to an observable nonlocality?]''; Talk given at [[Perimeter Institute]] 17/01/2007 (d'Alembertian, Locality)
*[[Rafael Sorkin|R.D. Sorkin]], ''[http://loops05.aei.mpg.de/index_files/abstract_sorkin.html Some Insights for Quantum Gravity Derived from Work on Causal Sets]''; Talk given at  Loops 05, 10–14 October 2005, Potsdam, [[Max Planck Institute for Gravitational Physics]] (Overview)
*[[Rafael Sorkin|R.D. Sorkin]] ''[http://pirsa.org/05090001 Is a past-finite causal order the inner basis of spacetime?]'' Talk given at [[Perimeter Institute]] 07/09/2005
*S. Surya, ''[http://loops05.aei.mpg.de/index_files/abstract_surya.html Recovering spacetime topology from a causet]''; Talk given at  Loops 05, 10–14 October 2005, Potsdam, [[Max Planck Institute for Gravitational Physics]] (Topology)
*R. Sverdlov; ''[http://pirsa.org/08020043/ Introduction of bosonic fields into causal set theory]''; Talk given at [[Perimeter Institute]] 19/02/2008 (Quantum field theory)

;多様体
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;宇宙定数予測
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*[[Rafael Sorkin|R.D. Sorkin]], ''A Modified Sum-Over-Histories for Gravity''; reported in Highlights in gravitation and cosmology: Proceedings of the International Conference on Gravitation and Cosmology, Goa, India, 14–19 December 1987, edited by B. R. Iyer, Ajit Kembhavi, Jayant V. Narlikar, and [[C. V. Vishveshwara]], see pages 184-186 in the article by D. Brill and L. Smolin: “Workshop on quantum gravity and new directions”, pp  183–191 (Cambridge University Press, Cambridge, 1988); (PreObservation Cosmological Constant)
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*[[Rafael Sorkin|R.D. Sorkin]], ''[http://physics.syr.edu/~sorkin/some.papers/ First Steps with Causal Sets]'', in R. Cianci, R. de Ritis, M. Francaviglia, G. Marmo, C. Rubano, P. Scudellaro (eds.), General Relativity and Gravitational Physics (Proceedings of the Ninth Italian Conference of the same name, held Capri, Italy, September, 1990), pp.&nbsp;68–90 (World Scientific, Singapore, 1991); (PreObservation Cosmological Constant)
*[[Rafael Sorkin|R.D. Sorkin]]; ''Forks in the Road, on the Way to Quantum Gravity'', talk given at the conference entitled “Directions in General Relativity”, held at College Park, Maryland,  May, 1993; Int. J. Th. Phys. 36 : 2759–2781 (1997) [[arXiv:gr-qc/9706002]] ; (PreObservation Cosmological Constant)
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*[[Rafael Sorkin|R.D. Sorkin]], ''Big extra dimensions make Lambda too small''; [[arXiv:gr-qc/0503057v1]];  (Cosmological Constant)
*[[Rafael Sorkin|R.D. Sorkin]],  ''Is the cosmological "constant" a nonlocal quantum residue of discreteness of the causal set type?''; Proceedings of the PASCOS-07 Conference, July 2007, Imperial College London; [[arXiv:0710.1675]]; (Cosmological Constant)
*J. Zuntz, ''The CMB in a Causal Set Universe'', [[arXiv:0711.2904]] (CMB)

;ローレンツ不変性とポアンカレ不変性、現象論
*L. Bombelli, J. Henson, [[Rafael Sorkin|R.D. Sorkin]]; ''Discreteness without symmetry breaking: a theorem'';   [[arXiv:gr-qc/0605006v1]]; (Lorentz invariance, Sprinkling)
*[[Fay Dowker|F. Dowker]], J. Henson, [[Rafael Sorkin|R.D. Sorkin]], ''Quantum gravity phenomenology, Lorentz invariance and discreteness''; Mod. Phys. Lett. A19, 1829–1840, (2004) [[arXiv:gr-qc/0311055v3]]; (Lorentz invariance, Phenomenology, Swerves)
*[[Fay Dowker|F. Dowker]], J. Henson, [[Rafael Sorkin|R.D. Sorkin]], ''Discreteness and the transmission of light from distant sources'';  [[arXiv:1009.3058]] (Coherence of light, Phenomenology)
*J. Henson, ''Macroscopic observables and Lorentz violation in discrete quantum gravity''; [[arXiv:gr-qc/0604040v1]]; (Lorentz invariance, Phenomenology)
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*D. Mattingly, ''Causal sets and conservation laws in tests of Lorentz symmetry''; Phys. Rev. D 77, 125021 (2008) [[arXiv:0709.0539]] (Lorentz invariance, Phenomenology)
*L. Philpott, [[Fay Dowker|F. Dowker]], [[Rafael Sorkin|R.D. Sorkin]], ''Energy-momentum diffusion from spacetime discreteness''; [[arXiv:0810.5591]] (Phenomenology, Swerves)

;因果集合理論におけるブラックホールエントロピー
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*D.P. Rideout, S. Zohren, ''Evidence for an entropy bound from fundamentally discrete gravity'';  Class.Quant.Grav. 23 (2006) 6195-6213; [[arXiv:gr-qc/0606065v2]] (Black hole entropy)

;局所性と場の量子論
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*S. Johnston; ''Particle propagators on discrete spacetime''; 2008 Class. Quantum Grav. 25 202001; [[arXiv:0806.3083]] (Quantum Field Theory)
*S. Johnston; ''The Feynman propagator for a Free Scalar Field on a Causal Set''; Phys. Rev. Lett. 103, 180401 (2009); [[arXiv:0909.0944]] (Quantum Field Theory)
*[[Rafael Sorkin|R.D. Sorkin]]; ''Does Locality Fail at Intermediate Length-Scales''; Towards Quantum Gravity, Daniele Oriti (ed.) (Cambridge University Press, 2007); [[arXiv:gr-qc/0703099v1]]; (d'Alembertian, Locality)
*R. Sverdlov, L. Bombelli; ''Gravity and Matter in Causal Set Theory''; [[arXiv:0801.0240]]
*R. Sverdlov; ''A Geometrical Description of Spinor Fields''; [[arXiv:0802.1914]]
*R. Sverdlov; ''Bosonic Fields in Causal Set Theory''; [[arXiv:0807.4709]]
*R. Sverdlov; ''Gauge Fields in Causal Set Theory''; [[arXiv:0807.2066]]
*R. Sverdlov; ''Spinor fields in Causal Set Theory''; [[arXiv:0808.2956]]

;因果集合動力学
*M. Ahmed, D. Rideout, ''Indications of de Sitter Spacetime from Classical Sequential Growth Dynamics of Causal Sets''; [[arXiv:0909.4771]]
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*A.Ash, P. McDonald, ''[http://link.aip.org/link/?JMAPAQ/46/062502/1 Random partial orders, posts, and the causal set approach to discrete quantum gravity]''; J.Math.Phys. 46 (2005) 062502 (Analysis of number of posts in growth processes)
*D.M.T. Benincasa, [[Fay Dowker|F. Dowker]], ''The Scalar Curvature of a Causal Set''; [[arXiv:1001.2725]]; (Scalar curvature, actions)
*G. Brightwell; M. Luczak; ''Order-invariant Measures on Causal Sets''; [[arXiv:0901.0240]]; (Measures on causal sets)
*G. Brightwell; M. Luczak; ''Order-invariant Measures on Fixed Causal Sets''; [[arXiv:0901.0242]]; (Measures on causal sets)
*G. Brightwell, [[Fay Dowker|H.F. Dowker]], R.S. Garcia, J. Henson, [[Rafael Sorkin|R.D. Sorkin]]; ''General covariance and the "problem of time" in a discrete cosmology''; In ed. K. Bowden, Correlations:Proceedings of the ANPA 23 conference, August 16–21, 2001, Cambridge, England, pp.&nbsp;1–17. Alternative Natural Philosophy Association, (2002).;[[arXiv:gr-qc/0202097]]; (Cosmology, Dynamics, Observables)
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*G. Brightwell, J. Henson, S. Surya; ''A 2D model of Causal Set Quantum Gravity: The emergence of the continuum''; [[arXiv:0706.0375]]; (Quantum Dynamics, Toy Model)
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*D.A. Meyer; ''[https://doi.org/10.1007/BF00759191 Why do clocks tick?]''; General Relativity and Gravitation 25 9:893-900;; (Quantum Dynamics)
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*D.P. Rideout, [[Rafael Sorkin|R.D. Sorkin]]; ''A classical sequential growth dynamics for causal sets'', Phys. Rev D, 6, 024002 (2000);[[arXiv:gr-qc/9904062]] (Cosmology, Dynamics)
*D.P. Rideout, [[Rafael Sorkin|R.D. Sorkin]]; ''Evidence for a continuum limit in causal set dynamics''  Phys.Rev.D63:104011,2001; [[arXiv:gr-qc/0003117]](Cosmology, Dynamics)
*[[Rafael Sorkin|R.D. Sorkin]]; ''Indications of causal set cosmology''; Int. J. Theor. Ph. 39(7):1731-1736 (2000); [[arXiv:gr-qc/0003043]]; (Cosmology, Dynamics)
*[[Rafael Sorkin|R.D. Sorkin]]; ''Relativity theory does not imply that the future already exists: a counterexample''; Relativity and the Dimensionality of the World, Vesselin Petkov (ed.) (Springer 2007, in press); [[arXiv:gr-qc/0703098v1]]; (Dynamics, Philosophy)
*M. Varadarajan, D.P. Rideout; ''A general solution for classical sequential growth dynamics of Causal Sets''; Phys.Rev. D73 (2006) 104021; [[arXiv:gr-qc/0504066v3]]; (Cosmology, Dynamics)
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== 外部リンク ==
* [https://arxiv.org/abs/gr-qc/0601121 The causal set approach to quantum gravity] a review article by Joe Henson on causal sets
* [http://link.aps.org/abstract/PRL/v59/p521 Space-time as a causal set] - one of the first papers by Luca Bombelli, Joohan Lee, David Meyer, and Rafael D. Sorkin
* [http://www.einstein-online.info/en/spotlights/causal_sets/index.html Geometry from order: causal sets] - non-technical article by Rafael D. Sorkin on [https://web.archive.org/web/20070611231234/http://www.einstein-online.info/en/ Einstein Online]

{{重力理論}}
{{量子重力}}

{{DEFAULTSORT:いんかしゆうこう}}
[[Category:理論物理学]]
[[Category:量子重力理論]]
[[Category:順序構造]]