図式 (圏論)のソースを表示

集合論における添え字付き[[集合族]]に類似した概念が、圏論における'''図式'''である。一番の違いは、圏論では[[射]]にも添え字を付ける必要があることである。添え字付き集合族は、ある固定した集合で添え字付けた集合の集まりのことであり、これは、固定した添え字''集合''から''集合全体''のクラスへの''関数''のことであると言っているのと同じである。これに対して、図式は、ある固定した圏で添え字付けた対象と射の集まりのことであり、固定した添え字''圏''からある''圏''への''関手''のことであると言うこともできる。

図式は[[極限 (圏論)|極限と余極限]]の定義において中心となる概念であり、{{仮リンク|錐 (圏論)|label=錐|en|cone (category theory)}}とも関連している。

== 定義 ==
[[圏 (数学)|圏]] {{mvar|C}} 上の {{mvar|J}}-型 ({{mvar|J}}-type) の'''図式'''とは、[[共変関手]]
: {{math|big=1|''D'': ''J'' &rarr; ''C''}}
のことをいう。この圏 {{mvar|J}} のことをこの図式の'''添字圏''' (index category) や'''シェーマ'''（schema; scheme, スキーム）と呼ぶ。逆に関手のことを''' {{mvar|J}}-型の図式'''と呼ぶこともある<ref>J.P. May, ''A Concise Course in Algebraic Topology'', (1999) The University of Chicago Press, ISBN 0-226-51183-9</ref>。 {{mvar|J}} の対象や射自体にはたいした意味はなく、それらがどのように繋がっているかが重要となる。図式 {{mvar|D}} は {{mvar|J}} をパターンとして、{{mvar|C}} の対象と射の集まりに添え字付けていると考えることもできる。

形式上は、''図式''と''関手''、''スキーム''と''圏''の間にはなんの違いもない。集合論の場合と同様に、用語を使い分けることでものの見方を変えているだけである。つまり、添え字の圏を固定して、関手(とその余ドメイン)を変化させようとしているときに図式と呼ぶのである。

よく使われる図式では、添え字圏 {{mvar|J}} は[[小さい圏]]や[[有限集合|有限]]である。このとき、図式は'''小さい'''とか'''有限である'''という。

圏 {{mvar|C}} 上の {{mvar|J}}-型図式の射とは、これら関手の間の[[自然変換]]をいう。これは {{mvar|C}} 上の {{mvar|J}}-型'''図式の圏'''というものを[[関手圏]] {{mvar|C{{sup|J}}}} として、したがって図式をこの圏の対象として解釈するというふうに言うこともできる。

==例==
* 圏 {{mvar|C}} の任意の対象 {{mvar|A}} に対する'''定図式''' (''constant diagram'') とは、 {{mvar|J}} の対象を全て {{mvar|A}} にうつし、射を全て {{mvar|A}} の恒等射にうつす図式をいう。定図式を表す記法として、下線を使うことがある。すなわち、{{mvar|C}} の対象 {{mvar|A}} に対する定図式は {{mvar|{{underline|A}}}} と書く。
* {{mvar|J}} が(小さい)[[離散圏]]の場合の {{mvar|J}}-型の図式とは、単に {{mvar|C}} の対象の添え字付けられた族を言う。これを使って極限を取ると[[積 (圏論)|積]]が得られ、余極限を取ると[[余積]]が得られる。特に、{{mvar|J}} が二対象離散圏の場合の極限は単に二項積である。
* 添字圏が {{math|1=''J'' = -1 ← 0 → +1}} のときの {{mvar|J}}-型図式、すなわち {{math|''A'' ← ''B'' → ''C''}} を{{仮リンク|スパン (圏論)|label=スパン|en|span (category theory)}}と呼び、その余極限は{{仮リンク|押し出し (圏論)|label=押し出し|en|Pushout (category theory)}}である。この図式で対象 {{mvar|B}}（および射 {{math|''B'' → ''A''}} と {{math|''B'' → ''C''}}）を「忘れる」([[空集合|空]]にとる) 場合を考えると、図式は単なる二対象（{{mvar|A}}と {{mvar|C}} からなる）離散圏で、その余極限は単なる二項余積になる。この例は、集合論的な[[添字集合]]の概念の図式の概念を用いた一般化の重要な方法論を示すものになっている。つまり、射 {{math|''B'' → ''A''}} と {{math|''B'' → ''C''}} が含まれていることによって、図式から作られる構成に追加の構造を持たせることが可能となる。単なる集合を添え字にした場合、対象の間の関係を持っていないため、このような構造を表現することはできない。
* 添字圏が {{math|1=''J'' = -1 → 0 ← +1}} に対する {{mvar|J}}-型図式 {{math|''A'' → ''B'' ← ''C''}} は{{仮リンク|余スパン|en|Span (category theory)#cospan}}と言い、その極限を[[引き戻し (圏論)|引き戻し]]と呼ぶ。
* 添字圏 <math>J = 0 \rightrightarrows 1</math> は「2つの平行射」やときには自由箙やwalking quiverと呼ばれる。{{mvar|J}}-型図式 {{math|''f'', ''g'': ''X'' → ''Y''}} は[[箙 (数学)|箙]]となり、極限は[[等化子]]であり、余極限は[[余等化子]]である。
* 圏 {{mvar|J}} を[[順序集合#圏としての順序集合|半順序集合圏]]とするとき、{{mvar|J}}-型の図式は対象の族 {{mvar|D{{sub|i}}}} であって、{{math|''i'' ≤ ''j''}} に限り必ず唯一の射 {{math|''f{{sub|ij}}'': ''D{{sub|i}}'' → ''D{{sub|j}}''}} があるようなものになる。{{mvar|J}} が[[有向集合|有向]]であるとき、{{mvar|J}}-型の図式は対象と射からなる[[帰納極限|直系]]という。図式が[[反変関手]]である場合は[[射影極限|逆系]]である。

==錐と極限==
図式 {{math|''D'': ''J'' → ''C''}} に関する頂点 {{mvar|N}} を持つ[[錐 (圏論)|錐]]とは、定図式 {{math|Δ(''N'')}} から {{mvar|D}} への射を言う。この定図式は、{{mvar|J}} の対象をすべて {{mvar|C}} の対象 {{mvar|N}} にうつし、射は全て {{mvar|N}} の恒等射にうつす。

図式 {{mvar|D}} の極限とは、{{mvar|D}} への[[普遍錐]]のことである。これは錐が他のどの錐についても、この錐を経由して一意に分解されることをいう。任意の {{mvar|J}}-型図式が {{mvar|C}} 内に極限を持つとき、図式を極限にうつす関手
: {{math|big=1|lim: ''C{{sup|J}}'' &rarr; ''C''}}
が得られる。

双対として、図式 {{mvar|D}} の余極限は {{mvar|D}} からの普遍錐である。任意の {{mvar|J}}-型図式が余極限を持つとき、図式を余極限にうつす関手
: {{math|big=1|colim: ''C{{sup|J}}'' &rarr; ''C''}}
が得られる。

== 可換図式 ==
{{main|可換図式}}

図式や関手圏を可換図式の形で可視化することがよくあり、とくに、添え字圏がほとんど要素のない有限な半順序の場合に行われる。次の手順で可換図式を描く。添え字圏の各対象に対して節点を書く。各射については矢印を書くが、恒等射や他の射の合成で表せるものは省略する。可換性は圏が半順序であり、2つの対象の間の射が一意であることと対応している。逆にすべての可換図式はこの方法で図式(半順序である添え字圏からの関手)によって表現できる。

全ての添え字圏が半順序ではないことから、全ての図式も可換ではない。もっとも簡単な例として、1つの対象と1つの自己射 <math>f\colon X \to X</math> からなる図式や、2つの平行射(<math>\bullet \rightrightarrows \bullet</math>; <math>f,g\colon X \to Y</math>)を持つ図式は必ずしも可換ではない。さらに、無限の場合は描くことは不可能であるし、対象や射が多すぎる場合は非常に面倒になる。この場合でも、可換図式のパターンを(添え字圏の部分圏や「…」などを利用して)描くことによって複雑な図式を理解しやすくすることができる。

== 関連項目 ==
* [[帰納極限]]
* [[射影極限]]

==参考文献==
{{reflist}}
*{{cite book | last = Adámek | first = Jiří |author2=Horst Herrlich |author3=George E. Strecker  | year = 1990 | url = http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf | title = Abstract and Concrete Categories | publisher = John Wiley & Sons | isbn = 0-471-60922-6}} Now available as free on-line edition (4.2MB PDF).
* {{Cite book| last1=Barr| first1=Michael|authorlink1=Michael Barr (mathematician)  | last2=Wells| first2=Charles| authorlink2=Charles Wells (mathematician) |year=2002| title=Toposes, Triples and Theories|url=http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/12/tr12.pdf|isbn=0-387-96115-1}} Revised and corrected free online version of ''Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (278)'' Springer-Verlag, 1983).
* {{nlab|id=diagram}}

== 外部リンク ==
* [http://mathworld.wolfram.com/DiagramChasing.html Diagram Chasing] at [[MathWorld]]
* [http://wildcatsformma.wordpress.com WildCats] is a category theory package for [[Mathematica]]. Manipulation and visualization of objects, [[morphism]]s, commutative diagrams, categories, [[functor]]s, [[natural transformation]]s.

{{圏論}}

{{DEFAULTSORT:すしき}}
[[Category:圏論]]
[[Category:数学に関する記事]]