固有値分解のソースを表示

{{Expand English|date=2024-01}}
[[線型代数学]]において'''固有値分解''' (こゆうちぶんかい、{{lang-en-short|Eigendecomposition, Eigen Value Decomposition}}) とは、[[固有値]]に着目した[[行列の分解]]である<ref name="world">Weisstein, Eric W. "Eigen Decomposition." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/EigenDecomposition.html</ref><ref name="abdi">Abdi, H. (2007). The eigen-decomposition: Eigenvalues and eigenvectors. Encyclopedia of measurement and statistics, 304-308.</ref><ref name="strang">Strang, G. (2003). Introduction to linear algebra. Cambridge
(MA): Wellesley-Cambridge Press.</ref>。
==概要==
行列 <math>A\in M_d(K)</math> ({{Mvar|K}} は適当な体) に対して、ある[[正則行列]] <math>P</math> と[[対角行列]] <math>\Lambda</math> が存在して<math display="block">A=P\Lambda P^{-1}</math>と書けて、さらに <math>\Lambda</math> の対角成分が <math>A</math> の固有値 <math>\lambda_1,\dots,\lambda_d</math> である (すなわち、<math>\Lambda=\mathop{\mathrm{diag}}(\lambda_1,\dots,\lambda_d)</math> である) ようなものを <math>A</math> の固有値分解という<ref name="world" /><ref name="strang" />。また、このとき <math>A</math> は'''対角化可能'''であるという。

一般に行列 <math>A</math> は固有値を持つとは限らず、また固有値を持っていたとしてもそれによって固有値分解ができるとは限らない。例えば、行列 <math>\bigl( \begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix} \bigr)</math> は複素数の固有値 <math>\pm i</math> しか持たないため、実行列として考えている場合は固有値を持たない。また、行列 <math>\bigl( \begin{smallmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{smallmatrix} \bigr)</math> は固有値を持つが対角化不可能なものの例である。

<math>d</math> 次行列 <math>A\in M_d(K)</math> が対角化可能である必要十分条件は、<math>A</math> の固有ベクトルが <math>K^d</math> の基底をなすこと、すなわち一次独立な <math>A</math> の固有ベクトルの <math>d</math> 個組 <math>(v_1,\dots,v_d)</math> が存在することである<ref>{{Cite book|和書|title=線形代数学|url=https://www.worldcat.org/oclc/674429372|publisher=京都大学学術出版会|date=2009.6|isbn=978-4-87698-757-3|oclc=674429372|last=西田|first=吾郎}}</ref>。

==利点・応用==
[[線型代数学]]において、固有値分解は次のような利点がある<ref name="world"/><ref name="abdi"/><ref name="strang"/>：

=== 行列の冪計算 ===
行列 <math>A</math> が固有値分解 <math display="inline">A=P\Lambda P^{-1}</math> を持つとする。このとき、自然数 <math>n</math> に対して <math>A</math> の冪 <math>A^n</math> は

<math>\begin{align}
A^n&= (P\Lambda P^{-1})^n\\
&= (P\Lambda P^{-1})(P\Lambda P^{-1})\cdots(P\Lambda P^{-1})\\
&= P\Lambda^n P^{-1}
\end{align}</math>

で表される。<math>\Lambda</math> は対角行列であったので、<math>\Lambda=\mathop{\mathrm{diag}}(\lambda_1,\dots,\lambda_d)</math> に対して <math>\Lambda^n=\mathop{\mathrm{diag}}(\lambda_1^n,\dots,\lambda_d^n)</math> と計算できる。従って、特に <math>A</math> に対して <math>P</math> が既知である場合に <math>A</math> の冪を簡単に求めることができる。

=== 行列の指数 ===
冪計算の応用として、[[行列指数関数|行列の指数関数]]

<math>e^A\mathrel{:=}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}A^n</math>

の計算もまた、<math>A</math> の固有値分解が既知であれば容易になる。固有値分解 <math display="inline">A=P\Lambda P^{-1}</math> に対して冪計算が <math>A^n=P\Lambda^nP^{-1}</math>であることと、行列の指数関数の各種性質から、

<math>\begin{align}
e^A&= e^{P\Lambda P^{-1}}\\
&= Pe^\Lambda P^{-1}\\
&= P\left(\sum_{x=0}^\infty\frac{1}{n!}\Lambda^n \right)P^{-1}\\
&= P\left(\begin{smallmatrix} e^{\lambda_1} & & & \\ & e^{\lambda_2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & e^{\lambda_d} \end{smallmatrix}\right)P^{-1}
\end{align}</math>

と計算できる。

他にも、様々な工学的応用がある<ref>Umeyama, S. (1988). An eigendecomposition approach to weighted graph matching problems. [[IEEE]] transactions on pattern analysis and machine intelligence, 10(5), 695-703.</ref><ref>Pesavento, M., Gershman, A. B., & Haardt, M. (2000). Unitary root-MUSIC with a real-valued eigendecomposition: A theoretical and experimental performance study. [[IEEE]] transactions on signal processing, 48(5), 1306-1314.</ref><ref>Xu, W., & Kaveh, M. (1995). Analysis of the performance and sensitivity of eigendecomposition-based detectors. [[IEEE]] Transactions on Signal Processing, 43(6), 1413-1426.</ref><ref>Kruse, D. E., & Ferrara, K. W. (2002). A new high resolution color flow system using an eigendecomposition-based adaptive filter for clutter rejection. [[IEEE]] transactions on ultrasonics, ferroelectrics, and frequency control, 49(10), 1384-1399.</ref><ref>Yousefi, S., Zhi, Z., & Wang, R. K. (2011). Eigendecomposition-based clutter filtering technique for optical microangiography. [[IEEE]] Transactions on Biomedical Engineering, 58(8), 2316-2323.</ref>。

==関連項目==
* [[対角化]]
* [[特異値分解]]
==出典==

{{reflist}}

<!-- {{参照方法|date=2021-12|section=1}}
* Franklin, Joel N. (1968). Matrix Theory. [[:en:Dover Publications]]. ISBN 978-0-486-41179-8.
* Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9
* Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis. [[:en:Cambridge University Press]]. ISBN 978-0-521-38632-6.
* Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1991). Topics in Matrix Analysis. [[:en:Cambridge University Press]]. ISBN 978-0-521-46713-1.
* Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed.), New York: Wiley, LCCN 76091646
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[[category:行列]]
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[[category:線型代数学]]
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