固有状態のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年7月}}
[[量子力学]]において、ある物理量 {{mvar|A}} の'''固有状態''' ({{lang-en-short|eigenstate}}) とは、その物理量（[[オブザーバブル]]）を表す[[エルミート演算子]] <math>\hat{A}</math> の[[固有ベクトル]] <math>\{ |a_1\rangle,|a_2\rangle,\ldots \} \ </math> のことである。

よって物理量 {{mvar|A}} の固有状態 <math>\{ |a_1\rangle,|a_2\rangle,\ldots \} \ </math> は以下の[[固有値方程式]]を満たす。
: <math>\hat{A}|a_n\rangle=a_n|a_n\rangle \quad(n=1,2,\ldots)</math>

一般に、量子系について物理量の測定を行った時、どんなに同じように状態を用意して同じように測定をしても、測定値は測定によってバラバラである。しかし系が<math>\hat{A}</math>の[[固有値]] <math>a_n \ </math> に属する固有状態 <math>|a_n\rangle \ </math> であるときは、物理量 <math>\hat{A}</math> を観測すれば必ず <math>a_n \ </math> という値を得る（[[オブザーバブル]]を参照）。よって'''「物理量 <math>\hat{A}</math> の固有状態 <math>|a_n\rangle \ </math> は、物理量 <math>\hat{A}</math> が確定した値 <math>a_n</math> を持っている状態である」'''と解釈できる。

また <math>\hat{A}</math> はエルミート演算子なので、その固有値はすべて[[実数]]である。

==エネルギー固有状態==
定常状態の[[シュレディンガー方程式]]は、エネルギーを表す演算子である[[ハミルトニアン]]の固有値方程式である。

:<math>\hat{H}|\psi\rangle = E|\psi\rangle</math>

よってその解 <math>|\psi\rangle \ </math> は、'''エネルギー固有状態'''である。固有値 {{mvar|E}} を'''固有エネルギー'''と呼ぶ

状態がエネルギー固有状態のひとつ <math>|\psi_i\rangle \ </math> であった場合、エネルギーを測定すると、測定値は <math>|\psi_i\rangle \ </math> に対応するエネルギー固有値 {{math|''E{{sub|i}}''}} が必ず得られる。よってエネルギー固有状態は「エネルギーが確定しているような状態」とも言える。

ある[[量子状態#純粋状態|状態ベクトル]]や[[波動関数]]のことを単に「固有状態」とか「固有関数」と呼ぶことがある。しかしその意味は「定常状態のシュレーディンガー方程式の解であり、エネルギーが確定しているような特別な状態」ということであり、任意の状態を意味しているわけではない。

=== エネルギー固有状態の時間発展 ===
エネルギー固有状態の[[時間発展]]は、時間依存するシュレーディンガー方程式を用いると、
:<math>i\hbar \frac{d}{dt}|\psi\rangle = \hat{H}|\psi\rangle = E|\psi\rangle</math>
この解は、
:<math>|\psi\rangle =e^{-iEt / \hbar} |\psi\rangle</math>
よって、[[状態ベクトル]]全体にかかる[[位相因子]]は物理的に意味を与えないため、エネルギー固有状態は時間がたっても変化しないことがわかる。

== 同時固有状態 ==
2つのオブザーバブル<math>\hat{A}</math>と<math>\hat{B}</math>が[[交換関係 (量子力学)|交換]]するとき、つまり
:<math>[\hat{A},\hat{B}]=0</math>
のときは、<math>\hat{A}</math>と<math>\hat{B}</math>のどちらの固有ベクトルでもあるベクトル<math>|A,B\rangle</math>が存在する。これを'''同時固有状態'''（または'''同時固有ベクトル'''、'''同時固有関数'''）という。同時固有状態は、物理量<math>\hat{A}</math>と<math>\hat{B}</math>の両方が確定しているような状態である。

== 関連項目 ==
* [[量子状態]]
* [[波動関数]]
* [[シュレーディンガー方程式]]

{{DEFAULTSORT:こゆうしようたい}}
[[Category:量子力学]]