圧縮 (関数解析学)のソースを表示

[[数学]]の[[関数解析学]]の分野において、ある[[ヒルベルト空間]]からある[[線型部分空間|部分空間]] ''K'' への[[線型作用素]] ''T'' の'''圧縮'''（あっしゅく、{{Lang-en-short|compression}}）とは、次の作用素のことを言う。

:<math>P_K T \vert_K : K \rightarrow K. </math>

ここで <math>P_K : H \rightarrow K</math> は ''K'' の上への[[直交射影]]である。これは全体のヒルベルト空間上のある作用素から、''K'' 上のある作用素を得るために自然に用いられる。''K'' が ''T'' についての[[不変部分空間]]であるなら、''T'' の ''K'' への圧縮は ''k'' を ''Tk'' へ写す[[制限 (数学)|制限]] ''K&rarr;K'' である。

より一般に、ヒルベルト空間 <math>H</math> 上のある線型作用素 ''T'' と、<math>H</math> の部分空間 <math>W</math> 上のある[[等長写像|等長作用素]] ''V'' に対して、''T'' の <math>W</math> への'''圧縮'''は次のように定義される。

:<math>T_W = V^*TV : W \rightarrow W.</math>

ここで <math>V^*</math> は ''V'' の[[共役作用素]]である。''T'' が[[自己共役作用素]]であるなら、圧縮 <math>T_W</math> もまた自己共役作用素である。''V'' が[[恒等写像|恒等作用素]] <math>I: W -> H</math> で置き換えられるとき、<math>V^* = I^*=P_K : H -> W</math> となり、上述の特殊な定義が得られる。

== 関連項目 ==
* [[伸張 (作用素論)|伸張]]

== 参考文献 ==
* P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Second Edition, Springer-Verlag, 1982.

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