均衡集合のソースを表示

[[線型代数学]]および関連する[[数学]]の分野における'''均衡集合'''（きんこうしゅうごう、{{Lang-en-short|balanced set}}）、あるいは'''円集合'''、または'''円板'''とは、[[絶対値]] |.| を備える[[可換体|体]] ''K'' 上のベクトル空間内の[[集合]] ''S'' であって、|&alpha;| &le; 1 を満たすような全ての[[スカラー]] &alpha; に対して
:<math>\alpha S \subseteq S</math>
が成立するようなもののことである。ここで
:<math>\alpha S := \{\alpha x \mid x \in S\} </math>
である。

集合 ''S'' の'''均衡包'''（balanced hull）あるいは'''均衡包絡集合'''（balanced envelope）とは、''S'' を含むような最小の均衡集合のことである。それは ''S'' を含むような全ての均衡集合の[[共通部分]]として構成される。

==例==
* [[ノルム線型空間|ノルムベクトル空間]]内の[[単位球]]は、均衡集合である。
* [[実数|実]]あるいは[[複素数|複素]]ベクトル空間の任意の部分空間は、均衡集合である。
* 均衡集合の族の[[直積集合|直積]]（デカルト積）は、同じ体 ''K'' 上の対応するベクトル空間の{{仮リンク|直積線型空間|label=直積|en|Direct product of modules}}において、均衡である。
* 一次元ベクトル空間として、複素数体 '''C''' を考える。その空間内の均衡集合は、'''C''' それ自身か、空集合、および 0 を中心とする開円板と閉円板（平面上の点として各複素数を可視化した場合）である。一方、二次元ユークリッド空間においてはさらに多くの均衡集合が存在する:(0,0) を中点とする任意の線分が均衡集合となる。結果として、ベクトル空間の構造に関して言えば、'''C''' と '''R'''<sup>2</sup> は全く違うものであるということが分かる。
* ''p'' を線型空間 ''X'' の半ノルムとしたとき、任意の定数 ''c'' &gt; 0 に対して、集合 {''x'' ∈ X | ''p''(''x'') ≤ ''c''} は均衡となる。

==性質==
* 均衡集合の[[合併 (集合論)|和集合]]および[[共通部分]]は、均衡集合である。
* 均衡集合の[[閉包 (位相空間論)|閉包]]は、均衡集合である。
* （性質からではなく）定義から、ある集合が[[絶対凸集合|絶対凸]]であることと、それが[[凸集合|凸]]かつ均衡であることは、同値である。

==関連項目==
* [[星状領域]]

==参考文献==
* {{cite book |last=Robertson |first=A.P. |coauthors= W.J. Robertson |title= Topological vector spaces |series=Cambridge Tracts in Mathematics |volume=53 |year=1964 |publisher= [[Cambridge University Press]] | page=4 }}
* {{cite book | author=W. Rudin | authorlink=ウォルター・ルーディン | title=Functional Analysis | edition=2nd ed | publisher=McGraw-Hill, Inc | date=1990 | isbn=0-07-054236-8 }}
* {{cite book | author=H.H. Schaefer | title=Topological Vector Spaces | publisher=[[Springer-Verlag]] | series=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]] | volume=3 | date=1970 | isbn=0-387-05380-8 | page=11 }}

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