垂心のソースを表示

[[ファイル:Hoehenschnittpunkt.svg|thumb|三角形の3本の垂線と垂心]]
[[ファイル:Höhenschnittpunktbeweis.svg|thumb|三角形ABCの垂心は三角形A'B'C'の外心に一致する]]
[[初等幾何学]]における'''垂心'''（すいしん、{{lang-en-short|orthocenter}}）は、[[三角形]]の3つの[[頂点]]から対辺に引いた三本の[[頂垂線 (三角形)|垂線]]の交点。

==性質==
[[File:AltitudeAndSquares Tomoyuki Mogi.gif|right|thumb|
三角形の垂心で交わる３本の[[頂垂線 (三角形)|頂垂線]]によって作られる６つの角には、図のように当該三角形の３つの角が２つずつ含まれる。
また、三角形の各辺を頂垂線との交点で分割し、分割後のそれぞれの長さの辺を持つ正方形を作り（６つ）、
図のように時計回りに赤・青・赤・青・赤・青とグループ分けして、赤と青の面積を求めると、両面積は等しくなっている。]]
3つの頂点を A,B,C、垂心を H、3本の垂線の足を H<sub>a</sub>,H<sub>b</sub>,H<sub>c</sub> とする。
*[[重心]]・[[外心]]と同一直線上にある。この線を[[オイラー線]]という。
*[[直角三角形]]の垂心は、直角となる頂点である。[[鈍角三角形]]の垂心は、その三角形の外部にある。
*垂心は三角形H<sub>a</sub>H<sub>b</sub>H<sub>c</sub>の[[三角形の内接円と傍接円|内心か傍心]]となる。
*垂心と外心の中点は[[九点円]]の中心である。
*三角形ABHの垂心は、Cである。
*<math>\overline{AH} \cdot \overline{HH_{a}}= \overline{BH} \cdot \overline{HH_{b}} = \overline{CH} \cdot \overline{HH_{c}}</math>
*<math>\frac{a}{\sin \alpha} =\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = \frac{AH}{\cos \alpha} = \frac{BH}{\cos \beta} = \frac{CH}{\cos \gamma} = 2R</math>
**a,b,c は3辺の長さ。α・β・γは3つの角。R は[[外接円]]の半径である。
*P を[[外接円]]上の点とし、M を PH の中点とする。
**M は[[九点円]]上にある。
**P における[[シムソン線]]は M を通る。
*各頂点ABCを通る対辺に対する平行線を3本とも引き、新たな三角形A'B'C'を作る（右図参照）。このとき、三角形ABCの垂心と三角形A'B'C'の外心は一致する。

==垂心の座標==
[[直交座標系|座標平面]]において、3頂点の座標を(x<sub>a</sub>,y<sub>a</sub>), (x<sub>b</sub>,y<sub>b</sub>), (x<sub>c</sub>,y<sub>c</sub>)とすると、垂心の座標は以下のようになる。
{{Indent|<math>\left( \frac{\left| \begin{array}{ccc}
-x_bx_c - y_a^2 & y_a & 1 \\
-x_ax_c - y_b^2 & y_b & 1 \\
-x_ax_b - y_c^2 & y_c & 1 \end{array} \right|}
{\left| \begin{array}{ccc}
x_a & y_a & 1 \\
x_b & y_b & 1 \\
x_c & y_c & 1 \end{array} \right|},
\frac{\left| \begin{array}{ccc}
x_a & -x_a^2 - y_by_c & 1 \\
x_b & -x_b^2 - y_ay_c & 1 \\
x_c & -x_c^2 - y_ay_b & 1 \end{array} \right|}
{\left| \begin{array}{ccc}
x_a & y_a & 1 \\
x_b & y_b & 1 \\
x_c & y_c & 1 \end{array} \right|} \right).</math>}}

3頂点が[[単位円]]周上にある場合、以下のように簡単に書くことができる。
{{Indent|(x<sub>a</sub>+x<sub>b</sub>+x<sub>c</sub>,y<sub>a</sub>+y<sub>b</sub>+y<sub>c</sub>)}}

[[重心座標]]による垂心の座標は tanα:tanβ:tanγ となる。

==関連項目==
*[[三角形の中心]]
*[[オイラー線]]
*[[頂垂線 (三角形)]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=Orthocenter|title=Orthocenter}}
* {{PlanetMath|urlname=Orthocenter|title=orthocenter}}
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Orthocenter|title=Definition:Orthocenter}}

{{DEFAULTSORT:すいしん}}
{{Elementary-geometry-stub}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:三角形の中心]]