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'''垂足座標'''（すいそくざひょう<ref>{{Cite book|和書 |title=英和数学新字典 |year=1902 |publisher=開新堂 |page=216 |author=[[宮本藤吉]] |id={{NDLJP|10.11501/826188}}}}</ref>、{{Lang-en-short|pedal coordinates}}）は、[[ユークリッド平面]]上の[[点 (数学)|点]]と[[曲線]]に対して定義される[[座標]]である。具体的には、点（pedal point）{{Mvar|O}}と曲線{{Mvar|C}}に対して、{{Mvar|C}}上の点{{Mvar|P}}を、{{Mvar|P}}と{{Mvar|O}}の[[距離]]{{Mvar|r}}と、{{Mvar|P}}における[[接線]]と{{Mvar|O}}の[[点と直線の距離|距離]]{{Mvar|p}}（{{仮リンク|垂直距離|en|Perpendicular distance}}）の組{{Math|(''r'', ''p'')}}によって表す座標である。{{Mvar|O}}との[[距離]]{{Mvar|r}}と、{{Mvar|P}}における[[法線]]と{{Mvar|O}}の距離{{Mvar|p{{sub|c}}}}の組で表す座標（{{Lang|en|contrapedal coordinate}}）もよく使われる。ただし、<math display="inline">p_c:=\sqrt{r^2-p^2}</math>である。曲線が垂足座標によって表現された式をPedal equationという。

いくつかの曲線はPedal equationによって単純に表すことができる。また、Pedal equationによる形式は曲線の[[曲率]]などの計算を簡単にする。垂足座標は[[古典力学]]や[[天体力学]]において、[[力 (物理学)|力]]の問題を解決するのに使うことができる。

== 方程式 ==

=== 直交座標 ===
{{Mvar|C}}を[[直交座標]]で{{Math|1=''f''(''x'', ''y'') = 0}}と与え、{{Mvar|O}}を原点とする。点{{Math|(''x'', ''y'')}}の垂足座標は次のように計算できる<ref>Yates §1</ref>。

: <math>r=\sqrt{x^2+y^2}</math>
: <math>p=\frac{x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}}{\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2}}.</math>

{{Mvar|C}}のPedal equationはこれらの式から{{Mvar|x,y}}を消去することによって得られる。

新たな[[変数 (数学)|変数]]{{Mvar|z}}を用いて、曲線を[[斉次多項式|斎次多項式]]{{Math|1=''g''(''x'', ''y'', ''z'') = 0}}で表したとき、{{Mvar|p}}は次のようにより単純な形で書ける<ref>Edwards p. 161</ref>。

: <math>p=\frac{\frac{\partial g}{\partial z}}{\sqrt{\left(\frac{\partial g}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial g}{\partial y}\right)^2}}</math>

{{Math|1=''z'' = 1}}とすればもとの表示を得る。

=== 極座標 ===
{{Mvar|C}}を[[極座標系|極方程式]]{{Math|1=''r'' = ''f''(''θ'')}}で与えたとき、{{仮リンク|接角|en|Tangential angle|label=偏接角}}を<math>\phi</math>として

: <math>p=r\sin \phi</math>

: <math>r=\frac{dr}{d\theta}\tan \phi.</math>

と計算できる。{{Mvar|C}}のPedal equationはこれらの式から{{Mvar|θ}}を消去することによって得られる<ref>Yates p. 166, Edwards p. 162</ref>。

contrapedal coordinatesへの変換は<math> p_c:=\sqrt{r^2-p^2} </math>として、

: <math>\left|\frac{dr}{d\theta}\right|=\frac{r p_c}{p},</math>

が成り立つことより行える。これは、[[自励系|自励]][[微分方程式]]によって極方程式が、

: <math>f\left(r,\left|\frac{dr}{d\theta}\right|\right)=0,</math>

と表せるならば、pedal equationは次の形となることを意味する。

: <math>f\left(r,\frac{rp_c}{p}\right)=0.</math>

==== 例 ====
例として[[対数螺旋]]を挙げる。

: <math>
r=a e^{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \theta}.
</math>

<math>\theta</math> における[[微分]]によって次の式を得る。

: <math>
\frac{dr}{d\theta}= \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} a e^{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \theta}=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} r,
</math>

したがって、

: <math> \left|\frac{d r}{d \theta}\right|=\left|\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right| r, </math>

が成立する。また、垂足座標において

: <math> \frac{r}{p}p_c=\left|\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right| r, \qquad \Rightarrow \qquad |\sin\alpha| p_c=|\cos\alpha| p,</math>

を得る。または、<math> p_c^2=r^2-p^2</math>を用いて、

: <math> p=|\sin\alpha|r.</math>

この方法は、極方程式におけるn階（<math>n\geq 1</math>）の自励な微分方程式の解となる曲線に一般化できる<ref>Blaschke Proposition 1</ref>。

: <math> f\left(r,|r'_{\theta}|,r''_{\theta},|r'''_{\theta}|\dots,r_\theta^{(2j)},|r_\theta^{(2j+1)}|,\dots, r_\theta^{(n)}\right)=0,</math>

は与えられた曲線の[[垂足曲線]]で、垂足座標では次の式で表現される。

: <math> f(p,p_c, p_c p_c',p_c (p_c p_c')',\dots, (p_c\partial_p)^n p)=0,</math>

ただし、微分の変数は<math>p</math>。

=== 力の問題 ===
[[古典力学]]における[[力 (物理学)|力]]の問題は、垂足座標を用いれば簡単に解決することができる。

[[力学系]]を次のように考える。

: <math> \ddot x=F^\prime(|x|^2)x+2 G^\prime(|x|^2){\dot x}^\perp,</math>

ただし、中心が<math>F</math>である[[ローレンツ力]]<math>G</math>が発生している平面において、[[位置]]と[[速度]]がそれぞれ<math>x,\dot x</math>の[[試験粒子]]の発展を述べている。

次の量はこの系において保存されている。

: <math> L=x\cdot \dot x^\perp+G(|x|^2), \qquad c=|\dot x|^2-F(|x|^2), </math>

このとき<math>x</math>の[[軌跡 (数学)|軌跡]]は、原点をpedal pointとする垂足座標において、次のように与えられる。

: <math> \frac{\left(L-G(r^2)\right)^2}{p^2}=F(r^2)+c,</math>

この形式は2017年、ペトル・ブラシュケ（Petr Blaschke）によって発見された<ref>Blaschke Theorem 2Blaschke Theorem 2</ref>。

==== 例 ====
[[ケプラー問題]]を考える。

: <math> \ddot{x}=-\frac{M}{|x|^{3}}x, </math>

垂足座標によって、即座に解にたどり着くことができる。

: <math>\frac{L^2}{2p^2}=\frac{M}{r}+c, </math>

ここで<math>L</math>は粒子の[[角運動量]]、<math>c</math>はその[[エネルギー]]。また、等式は垂足座標において[[円錐曲線]]を表すことが分かった。

逆に試験粒子が曲線{{Mvar|C}}上を動くために与える必要のある力を演繹することもできる。

== 特別な曲線 ==

=== 正弦波螺旋 ===
[[正弦波螺旋]]は次の式で書かれる曲線である。

: <math>r^n = a^n \sin(n \theta)</math>

偏接角は

: <math>\psi = n\theta</math>

である。したがってpedal equationは、

: <math>pa^n=r^{n+1}.</math>

となる。正弦波曲線の仲間のpedal equationを下の表に示した<ref>Yates p. 168, Edwards p. 162</ref>。
{| class="wikitable"
!''n''
!曲線
!垂足点
!Pedal eq.
|-
|任意
|[[半径]]{{Mvar|a}}の[[円 (数学)|円]]
|中心
|<math>pa^n=r^{n+1}</math>
|-
|1
|[[直径]]{{Mvar|a}}の円
|円周上の点
|''pa'' = ''r''<sup>2</sup>
|-
|−1
|直線
|直線から{{Mvar|a}}離れた点
|''p'' = ''a''
|-
|{{分数|1|2}}
|[[カージオイド]]
|[[尖点]]
|''p''<sup>2</sup>''a'' = ''r''<sup>3</sup>
|-
|−{{分数|1|2}}
|[[放物線]]
|[[焦点 (幾何学)|焦点]]
|''p''<sup>2</sup> = ''ar''
|-
|2
|[[ベルヌーイのレムニスケート]]
|中心
|''pa''<sup>2</sup> = ''r''<sup>3</sup>
|-
|−2
|[[直角双曲線]]
|中心
|''rp'' = ''a''<sup>2</sup>
|}

=== 渦巻 ===

: <math>r = c \theta^\alpha,</math>

の形で与えられる[[渦巻]]は次の式を満足する。

: <math> \frac{dr}{d\theta}=\alpha r^{\frac{\alpha-1}{\alpha}},</math>

したがって、その垂足座標における表示は次のようになる。 

: <math>\frac{1}{p^2}=\frac{\alpha^2 c^{\frac{2}{\alpha}}}{r^{2+\frac{2}{\alpha}}}+\frac{1}{r^2}.</math>

下の表は[[一般と特殊 (数学)|特別の場合]]。
{| class="wikitable"
!<math>\alpha</math>
!曲線
!Pedal point
!Pedal eq.
|-
|1
|[[代数螺旋|アルキメデスの螺旋]]
|原点
|<math>\frac{1}{p^2}=\frac{1}{r^2}+\frac{c^2}{r^4}</math>
|-
|−1
|[[双曲螺旋]]
|原点
|<math>\frac{1}{p^2}=\frac{1}{r^2}+\frac{1}{c^2}</math>
|-
|{{分数|1|2}}
|[[放物螺旋]]
|原点
|<math>\frac{1}{p^2}=\frac{1}{r^2}+\frac{c^4}{4 r^6}</math>
|-
|−{{分数|1|2}}
|[[リチュース]]
|原点
|<math> \frac{1}{p^2}=\frac{1}{r^2}+\frac{r^2}{4 c^4}</math>
|}

=== サイクロイド ===
[[エピサイクロイド]]または[[ハイポサイクロイド]]は次の[[パラメトリック方程式]]で表せる。

: <math>x (\theta) = (a + b) \cos \theta - b \cos \left( \frac{a + b}{b} \theta \right)</math>
: <math>y (\theta) = (a + b) \sin \theta - b \sin \left( \frac{a + b}{b} \theta \right),</math>

原点におけるpedal equationは、

: <math>r^2=a^2+\frac{4(a+b)b}{(a+2b)^2}p^2</math>

または、

: <math>p^2=A(r^2-a^2)</math>

である<ref>Edwards p. 163</ref><ref>Yates p. 163</ref>。ただし、

: <math>A=\frac{(a+2b)^2}{4(a+b)b}.</math>

特別の場合を以下の表に示した。''b''={{分数|''a''|''n''}}とする。
{| class="wikitable"
!''n''
!曲線
!Pedal eq.
|-
|1, −{{分数|1|2}}
|カージオイド
|<math>p^2=\frac{9}{8}(r^2-a^2)</math>
|-
|2, −{{分数|2|3}}
|{{仮リンク|ネフロイド|en|Nephroid}}
|<math>p^2=\frac{4}{3}(r^2-a^2)</math>
|-
|−3, −{{分数|3|2}}
|[[デルトイド]]
|<math>p^2=-\frac{1}{8}(r^2-a^2)</math>
|-
|−4, −{{分数|4|3}}
|[[アステロイド (曲線)|アステロイド]]
|<math>p^2=-\frac{1}{3}(r^2-a^2)</math>
|}

=== 他の曲線 ===
他の有名な曲線においては下の表にまとめる<ref>Yates p. 169, Edwards p. 163, Blaschke sec. 2.1</ref>。
{| class="wikitable"
!曲線
!方程式
!Pedal point
!Pedal eq.
|-
|[[直線]]
|<math>ax+by+c=0</math>
|原点
|<math>p=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}</math>
|-
|[[点 (数学)|点]]
|<math>(x_0,y_0)</math>
|原点
|<math>r=\sqrt{x_0^2+y_0^2}</math>
|-
|円
|<math>|x-a|=R</math>
|原点
|<math>2pR=r^2+R^2-|a|^2</math>
|-
|[[伸開線]]
|<math>r=\frac{a}{\cos\alpha},\ \theta=\tan\alpha-\alpha</math>
|原点
|<math>p_c=|a|</math>
|-
|[[楕円]]
|<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>
|中心
|<math>\frac{a^2b^2}{p^2}+r^2=a^2+b^2</math>
|-
|[[双曲線]]
|<math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1</math>
|中心
|<math>-\frac{a^2b^2}{p^2}+r^2=a^2-b^2</math>
|-
|楕円
|<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>
|焦点
|<math>\frac{b^2}{p^2}=\frac{2a}{r}-1</math>
|-
|双曲線
|<math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1</math>
|焦点
|<math>\frac{b^2}{p^2}=\frac{2a}{r}+1</math>
|-
|[[対数螺旋]]
|<math>r = ae^{\theta \cot \alpha}</math>
|極
|<math>p=r \sin \alpha</math>
|-
|{{仮リンク|デカルトの卵形|en|Cartesian oval}}
|<math>|x|+\alpha|x-a|=C,</math>
|焦点
|<math>b:=C^2-\alpha^2|a|^2</math>として、
<math>\frac{(b-(1-\alpha^2)r^2 )^2}{4p^2}=\frac{Cb}{r}+(1-\alpha^2)C r -((1-\alpha^2)C^2+b)</math>
|-
|[[カッシーニの卵形線]]
|<math>|x||x-a|=C,</math>
|焦点
|<math>\frac{(3C^2+r^4-|a|^2 r^2)^2 }{p^2}=4C^2\left(\frac{2C^2}{r^2}+2r^2-|a|^2\right).</math>
|-
|カッシーニの卵形線
|<math>|x-a||x+a|=C,</math>
|中心
|<math>2R pr=r^{4}+R^2-|a|^2.</math>
|}

== 関連項目 ==

* [[垂足曲線]]

== 出典 ==
{{Reflist}}

* {{Cite book |last=R.C. Yates |title=A Handbook on Curves and Their Properties |location=Ann Arbor, MI |publisher=J. W. Edwards |year=1952 |chapter=Pedal Equations |pages=166 ff.}}
* {{Cite book |last=J. Edwards |title=Differential Calculus |publisher=MacMillan and Co. |location=London |pages=[https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.109607/page/n169 161] ff. |year=1892 |url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.109607}}

* {{Cite journal|last=P. Blaschke|year=2017|title=Pedal coordinates, dark Kepler and other force problems|url=https://zenodo.org/record/897629/files/article.pdf|journal=Journal of Mathematical Physics|volume=58/6|arxiv=1704.00897|doi=10.1063/1.4984905}}
* {{Cite arXiv|arxiv=2005.05767|last=Petr|first=Blaschke|title=Pedal coordinates, solar sail orbits, Dipole drive and other force problems}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Pedal coordinates|id=PedalCoordinates}}

{{DEFAULTSORT:すいそくさひよう}}
[[Category:座標]]
[[Category:数学に関する記事]]