垂重円のソースを表示

[[ファイル:Orthocentroidal_disk.svg|thumb|360px|三角形 (黒), [[頂垂線 (三角形)|頂垂線]]と[[垂心]] (青),  [[幾何中心|重心]] (赤), 垂重円 (黄)]]
[[ファイル:Orthocentroidal_circle3.svg|thumb|270px|
{{Legend-line|solid red 2px|[[垂心]] (H)と [[幾何中心|重心]] (S)を通る垂重円}}
{{Legend-line|solid #87CEFA 2px|[[オイラー線]]、 [[外接円|外心]] (O)、[[九点円|九点円の中心]] (N) 、H、Sなどを通る。}}
{{Legend|#8B4513|F<sub>1</sub>,F<sub>2</sub>: [[フェルマー点]]}}
{{Legend|indigo|F: [[フォイエルバッハ点]]}}
{{Legend|orange|I: [[内心]]}}
{{Legend|#FF00FF|G: [[ジェルゴンヌ点]]}}
{{Legend|00FF00|U: [[類似重心]]}}]]
[[幾何学]]において'''垂重円''' （すいじゅうえん<ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何学 第1巻 平面之部 |year=1913 |publisher=[[山海堂 (出版社)|山海堂書店]] |pages=613 |doi=10.11501/930885 |author=[[Eugène Rouché]], [[Charles de Comberousse]] |editor=[[小倉金之助]]}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=幾何学精義（数学中等参考叢書） |year=1907 |publisher=[[成美堂書店]] |page=763 |doi=10.11501/828520 |editor=[[長澤龜之助]]}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何學 第2卷 空間之部 |publisher=山海堂書店 |page=878 |translator=小倉金之助 |author=Eugène Rouché, Charles de Comberousse |year=1915 |doi=10.11501/1082037}}</ref>、{{Lang-en-short|orthocentroidal circle}}）は、[[正三角形]]でない[[三角形]]に対して定義される、[[垂心]]と[[重心]]を[[直径]]の両端とする[[円 (数学)|円]]である。

[[1894年]]、{{仮リンク|アンドリュー・ギーナン|en|Andrew Guinand}} は、[[内心]]が常に垂重円内にあるが、九点円の中心とは一致しない、つまり九点円の中心で穴をあけた垂重円の[[円板]]内にあることを示した<ref>{{Citation|title=Euler lines, tritangent centers, and their triangles|last=Guinand|first=Andrew P.|year=1984|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=91|issue=5|pages=290–300|doi=10.2307/2322671|jstor=2322671}}.</ref><ref name="Bradley">{{Citation|title=The locations of triangle centers|last=Bradley|first=Christopher J.|last2=Smith|first2=Geoff C.|year=2006|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html|journal=[[Forum Geometricorum]]|volume=6|pages=57–70}}.</ref><ref name="Stern">{{Citation|title=Euler's triangle determination problem|last=Stern|first=Joseph|year=2007|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200701.pdf|journal=[[Forum Geometricorum]]|volume=7|pages=1–9}}.</ref><ref>{{Citation|title=The distance from the incenter to the Euler line|last=Franzsen|first=William N.|year=2011|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201126index.html|journal=[[Forum Geometricorum]]|volume=11|pages=231–236}}.</ref><ref name="SL">{{Citation|和書|title=Euler and triangle geometry|last=Leversha|first=Gerry|last2=Smith|first2=G. C.|date=November 2007|year=|journal=[[The Mathematical Gazette]]|volume=91|issue=522|pages=436–452|doi=10.1017/S0025557200182087|jstor=40378417}}.</ref>。 

更に、第一[[フェルマー点]]、[[ジェルゴンヌ点]]、[[類似重心]]は垂重円の開円板の中にあり、第二フェルマー点と[[フォイエルバッハ点]]は外にある<ref name="Bradley">{{Citation|title=The locations of triangle centers|last=Bradley|first=Christopher J.|last2=Smith|first2=Geoff C.|year=2006|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html|journal=[[Forum Geometricorum]]|volume=6|pages=57–70}}.</ref>。垂心と重心を固定して三角形を動かしたとき、[[ブロカール点]]の一方が中へ、もう一方が外にあるような、ブロカール点の[[軌跡 (数学)|軌跡]]は垂重円の開円板である<ref>{{Citation|title=The locations of the Brocard points|last=Bradley|first=Christopher J.|last2=Smith|first2=Geoff C.|year=2006|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200608index.html|journal=[[Forum Geometricorum]]|volume=6|pages=71–77}}.</ref>。

垂重円の直径の二乗は、<math>D^2-\dfrac{4}{9}(a^2+b^2+c^2)</math> である 。ここで ''a, b,'' ''c''は三角形の辺の長さで ''D'' は[[外接円]]の直径である。垂重円は[[レスターの定理|レスター円]]、[[ステヴァノヴィッチ円]]などと直交する。また垂重円の中心、つまり垂心と重心の[[中点]]X(381)は[[三線座標]]を用いて、以下の式で表される<ref>{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(381) = MIDPOINT OF X(2) AND X(4) |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X381 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-05-02}}</ref>。

:<math>2 \cos(B - C) - \cos A:2 \cos(C - A) - \cos B:2 \cos(A - B) - \cos C</math>

== 出典 ==
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
{{Commonscat|Orthocentroidal circle}}
* {{mathworld|urlname=OrthocentroidalCircle|title=Orthocentroidal Circle}}
* {{mathworld|id=LesterCircle|title=Lester Circle}}
* {{MathWorld|title=Stevanović Circle|urlname=StevanovicCircle}}

{{Elementary-geometry-stub}}
{{DEFAULTSORT:すいしゆうえん}}
[[Category:三角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:三角形の中心]]
[[Category:円 (数学)]]