埋め込み境界法のソースを表示

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'''埋め込み境界法'''（うめこみきょうかいほう、{{lang-en-short|immersed boundary method}}）または'''境界埋め込み法'''とは、[[流体]]が[[弾性]]構造体や[[膜]]と[[相互作用]]している[[力学系]]を[[コンピュータシミュレーション]]する手法である<ref>C. S. Peskin, The immersed boundary method, Acta Numerica, 11, pp. 1– 39, 2002.</ref><ref>R. Mittal and G. Iaccarino, Immersed Boundary Methods, Annual Review of Fluid Mechanics, vol. 37, pp. 239-261, 2005.</ref>。構造体の変形と流体の運動の連成問題は、[[数値計算]]上の課題を多く含んでいる。埋め込み境界法では、流体は[[連続体力学#連続体の記述方法|オイラー座標系]]で、構造物は[[連続体力学#連続体の記述方法|ラグランジュ座標系]]で表現する。この方法の様々な改良形は、弾性構造体と流体の相互作用を伴う力学系のシミュレーションに広く応用されている。

== 定式化 ==
[[非圧縮性]]の[[ニュートン流体]]の場合、[[ナビエ-ストークス方程式]]<ref>Constantin, P., & Foias, C. (1988). Navier-stokes equations. University of Chicago Press.</ref><ref>Temam, R. (2001). Navier-Stokes equations: theory and numerical analysis (Vol. 343). American Mathematical Society.</ref><ref>Foias, C., Manley, O., Rosa, R., & Temam, R. (2001). Navier-Stokes equations and turbulence (Vol. 83). Cambridge University Press.</ref>と[[連続の式]]は、構造体が流体に及ぼす力の密度''f'' (''x'' , ''t'' ) を用いると以下のようになる。

:<math>\begin{align}
& \rho
\left(\frac{\partial{u}({x},t)}{\partial{t}} + {u}\cdot\nabla{u}\right)
= \mu \Delta u(x,t) -\nabla p + f(x,t) \\
& \nabla \cdot u = 0
\end{align}</math>

通常、流体中の構造体は相互作用しあう粒子の集まりで表現する。''j'' 番目の粒子の座標を''Z<sub>j</sub>'' 、粒子''j'' ではたらかせる力を''F<sub>j</sub>'' とすると、力の密度''f'' (''x'' , ''t'' ) は以下の式のようになる。

:<math>
f(x,t) = \sum_{j = 1}^N \delta_a(x - Z_j)F_j
</math>

ここで、&delta;<sub>''a''</sub> は[[ディラックのデルタ関数]]<ref>Balakrishnan, V. (2003). All about the Dirac delta function (?). Resonance, 8(8), 48-88.</ref>を長さ''a'' のスケールで平滑化した関数である。一方、構造体の変形は、次式に基づいて行われる。

:<math>
\frac{dZ_j}{dt} = \int \delta_a(x - Z_j) u(x,t) dx
</math>

==関連項目==
*[[:en:Stokesian dynamics]]
*[[:en:Charles S. Peskin]]

==参考資料==
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#C. S. Peskin, The immersed boundary method, Acta Numerica, 11, pp. 1– 39, 2002.
#R. Mittal and G. Iaccarino, Immersed Boundary Methods, Annual Review of Fluid Mechanics, vol. 37, pp. 239-261, 2005.
#Y. Mori and C. S. Peskin, Implicit Second Order Immersed Boundary Methods with Boundary Mass Computational Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2007.
#L. Zhua and C. S. Peskin, Simulation of a flapping flexible filament in a flowing soap film by the immersed boundary method, Journal of Computational Physics, vol. 179, Issue 2, pp.452-468, 2002.
#P. J. Atzberger, P. R. Kramer, and C. S. Peskin, A Stochastic Immersed Boundary Method for Fluid-Structure Dynamics at Microscopic Length Scales, Journal of Computational Physics, vol. 224, Issue 2, 2007.
#A. M. Roma, C. S. Peskin, and M. J. Berger, An adaptive version of the immersed boundary method, Journal of Computational Physics, vol. 153 n.2, pp.509-534, 1999.
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==外部リンク==
* [[:en:Advanced Simulation Library]]<ref>[http://asl.org.il/ Advanced Simulation Library]</ref> Open source (AGPLv3) hardware accelerated multiphysics simulation software.
* [http://www.math.utah.edu/IBIS/ An implementation of the Immersed Boundary Method for Uniform Meshes in 2D (Numerical Codes).]
* [http://www.math.nyu.edu/~griffith/IBAMR/ An implementation of the Immersed Boundary Method for Adaptive Meshes in 3D (Numerical Codes).]
* [http://www.math.ucsb.edu/~atzberg/SIB_Codes/index.html An implementation of the Stochastic Immersed Boundary Method in 3D (Numerical Codes).]

==脚注==
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{{Reflist|2}}


{{偏微分方程式の数値解法}}
{{Physics-stub}}
{{DEFAULTSORT:うめこみきようかいほう}}
[[Category:数値流体力学]]
[[Category:数値解析]]
[[category:数値微分方程式]]
[[category:計算科学]]