基底関数のソースを表示

{{出典の明記|date=2016年3月}}
'''基底関数'''（きていかんすう、{{lang-en-short|basis function}}）とは、[[関数空間]]の[[ベクトル空間#基底と次元|基底ベクトル]]のことである。すなわち対象となる空間に属する全ての[[集合|元]]（[[関数 (数学)|関数]]）は、この基底関数の[[線型結合]]で表される。

'''線形基底展開'''（{{lang-en-short|linear basis expansion}}）とは、<math>h_m(X)</math> を基底関数として、下記の形で展開する事。
: <math>f(X) = \sum_m \beta_m h_m(X)</math>

例えば、実数値関数の[[フーリエ変換]]（コサイン変換・サイン変換）では[[余弦関数|コサイン関数]]もしくは[[正弦関数|サイン関数]]、[[ウェーブレット変換]]では[[ウェーブレット]]関数とスケーリング関数、[[スプライン曲線]]では区分的[[多項式]]が基底関数として用いられる。

== 内積と正規直交基底 ==
基底関数同士の[[内積]]を定義する事で、[[正規直交系]]（[[正規直交基底]]）かどうか規定できる。異なる基底関数の内積が常に 0 であれば[[直交]]とよび、同じ基底関数の内積が常に 1 なら正規と呼ぶ。

例えば、ウェーブレット変換では以下のように L<sup>2</sup>(R) における内積を定義する。
: <math>\langle f, g \rangle = \int_{ \mathbf{R} } f(t) \overline{g(t)} dt</math>

== 関連項目 ==
* [[正規直交基底]]
* [[平面波基底]]
* [[局在基底]]
* [[放射基底関数]]
* [[線形代数学]]
* [[直交多項式]]

{{Mathanalysis-stub}}

{{DEFAULTSORT:きていかんすう}}
[[Category:関数]]
[[Category:関数の種類]]
[[Category:数学に関する記事]]