基底 (線型代数学)のソースを表示

[[線型代数学]]における'''基底'''（きてい、{{lang-en-short|basis}}）は[[線型空間]]の[[線型独立]]な[[線型包|生成系]]である<ref name=":0">"ベクトルの集合 ... が V の基底であることは ... V を生成 ... 一次独立 ... の二つの条件を満たしていることと同値である。多くの本が、こちらを定義に採用している。" 松本. (2015). [http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/m-mat/TEACH/senkei-daisuu.pdf ''行列を知らない人のための線形代数学入門'']. 広島大学.</ref>。

== 概要 ==
あらゆる[[線型空間]]はそれを[[線型包|生成]]できる[[線型独立]]な[[ベクトル]]集合を1つ以上持つ。言い換えれば、線型結合で空間の全ベクトルを一意に表せるベクトル集合が常に存在する。そしてそれらベクトルの個数は各線形空間で一意に定まる。つまりあらゆる線形空間は「[[座標系]]」のような定数個の基本要素の線型結合で必ず表現できる<ref>Halmos, Paul Richard (1987) ''Finite-dimensional vector spaces'' (4th edition) Springer-Verlag, New York, [https://books.google.co.uk/books?id=mdWeEhA17scC&pg=PA10&hl=en page 10], ISBN 0-387-90093-4</ref>。このように線形空間を特徴づける、線型独立な生成系のことを'''基底'''と呼ぶ。

基底の取り方に依らない、基底ベクトルの個数（[[濃度 (数学)|濃度]]）は[[次元 (ベクトル空間)|'''次元''']]と呼ばれる。基底が常に存在することは[[基底 (線型代数学)#基底の存在|基底の存在定理]]で証明される。[[File:Basis graph (no label).svg|thumb|400px|'''R'''<sup>2</sup> の[[標準基底]]を示した図。青とオレンジがこの基底の元である。緑のベクトルは基底ベクトルの一次結合で表されており、故にこの三者は[[線型従属]]である。]]

== 定義 ==
[[可換体|体]] '''F''' 上の[[線型空間]] ''V'' の'''基底''' ''B'' とは、''V'' の[[線型独立]]な部分集合で、''V'' を[[線型包|張る]]（[[生成 (数学)|生成]]する）ものを言う<ref name=":0" />。

より具体的には、''V''のn個のベクトルの集合''B'' = {''v''<sub>1</sub>, …, ''v''<sub>''n''</sub>}（または列B=(''v''<sub>1</sub>, …, ''v''<sub>''n''</sub>)）が基底であるとは、条件として
; 線型独立性: ''a''<sub>1</sub>, …, ''a''<sub>''n''</sub> ∈ '''F''' に対して ''a''<sub>1</sub>''v''<sub>1</sub> + … + ''a''<sub>''n''</sub>''v''<sub>''n''</sub> = 0 が成り立つならば、''a''<sub>1</sub> = … = ''a''<sub>''n''</sub> = 0 でなければならない。
; 全域性: ''V'' のどんな元 ''x'' も、適当な ''a''<sub>1</sub>, …, ''a''<sub>''n''</sub> ∈ '''F''' を選んで ''x'' = ''a''<sub>1</sub>''v''<sub>1</sub> + … + ''a''<sub>''n''</sub>''v''<sub>''n''</sub> が成り立つようにできる。
を何れも満足することを言う。最後の等式における係数 ''a''<sub>''i''</sub> は基底 ''B'' に関する 座標と呼ばれ、線型独立性により座標は一意的に定まることが分かる。

上記の条件を満たす整数''n''が存在するとき、その線形空間は[[次元 (線型代数学)|有限次元]]であるという。そのような''n''が存在しないときは無限次元であるという。無限次元線形空間を扱うには、上記定義を一般化して、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。すなわち、（有限または無限の）部分集合 ''B'' ⊂ ''V'' が基底であるとは、
* 任意の有限部分集合 ''B''<sub>0</sub> ⊆ ''B'' が既に述べた意味で線型独立性を持つ。
* 各 ''x'' &isin; ''V'' に対して、適当な有限個のスカラー ''a''<sub>1</sub>, …, ''a''<sub>''n''</sub> ∈ '''F''' とベクトル ''v''<sub>1</sub>, …, ''v''<sub>''n''</sub> ∈ ''B'' を選んで ''x'' = ''a''<sub>1</sub>''v''<sub>1</sub> + … + ''a''<sub>''n''</sub>''v''<sub>''n''</sub> と表すことができる（''n'' は ''x'' ごとに違ってよい）。
の二条件を満たすことを言う。最後の式の和は必ず有限和であることに注意。これは、代数的な[[ベクトル空間]]の公理だけからは（適当な構造を追加しない限り）極限操作に関する議論が展開できず、[[無限和]]に意味を持たせることができないことによるものである。無限和の場合を許した、別な種類の基底の概念が定義される場合については[[#関連概念|後述]]。

基底ベクトルを特定の「順序」で並べることが便利なことがよくある（例えば、[[線型写像]]の基底に関する[[変換行列]]を考える場合など）。そこで、基底を ''V'' を張る線型独立なベクトルの（[[集合]]と考える代わりに）[[列 (数学)|列]]（あるいは[[タプル| ''n''-組]]）と見た、'''順序付けられた基底''' (''ordered basis'') がしばしば用いられる（短く「順序基底」や「順序付き基底」などともいう）。この順序を含めたうえで単に「基底」と呼ぶことも多い。これについても[[#順序基底と座標系|後述]]。

== 基底の延長 ==
有限[[ベクトル空間]] <math>V</math> の[[一次独立]]な部分集合 <math>S</math> に対し、<math>V</math> の基底 <math>S_{+n} = S \cup \{ \boldsymbol{v}_1, ..., \boldsymbol{v}_n \in \overline{\operatorname{span}(S)} \} \subset V  </math> が常に存在する。これを'''基底の延長定理'''という<ref>"基底の延長定理 ... Voを ... Vの一次独立なベクトルとする ... Voにいくつかのベクトル ... を加えた集合 ... をVの基底とすることができる" 丹下. (2015). ''[https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tange/jugyo/15/senkei5.pdf 線形代数II演習 第5回 -基底の延長、補空間-]''. 筑波大学, [https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tange/jugyo/15/sen.html 線形代数II演習].</ref>。これは「''S'' を基底に延長（拡張）する」という意味を持つ。

この定理は次のように証明できる（概略）。一次独立な <math>S \subset V</math> が張る[[線型部分空間|部分空間]] <math>\operatorname{span}(S) </math> について、その[[差集合#%E8%A3%9C%E9%9B%86%E5%90%88|補集合]] <math>\overline{\operatorname{span}(S)} </math> の任意の元 <math>\boldsymbol{v_1}</math> は <math>S</math> の線形結合で表現できないため<ref group="注"><math>\operatorname{span}(S) </math> は <math>S</math> の線形結合で定義づけられる。ゆえに <math>\boldsymbol{v_1} \not\in \operatorname{span}(S) </math> は線形結合で表現できない。</ref> <math>S_{+1} = S \cup \{ \boldsymbol{v_1} \} </math> もまた一次独立になる<ref group="注">一次独立条件式 <math>0 = c_{+1} \boldsymbol{v_1} + \sum_{\boldsymbol{s} \in S} c_s \boldsymbol{s}</math> で <math>c_{+1} \neq 0</math> と <math>\boldsymbol{v_1} \not\in \operatorname{span}(S) </math> が矛盾することから明らか</ref>。同様に <math>\overline{\operatorname{span}(S_{+k})} </math> の元を足して <math>S_{{+}{(k+1)}} </math> を構成しこれを <math>\overline{\operatorname{span}(S_{+n})} = \varnothing </math> すなわち <math>\operatorname{span}(S_{+n}) = V </math> になるまで有限回<ref group="注">有限ベクトル空間 <math>V</math> は要素数有限の生成系で張られる</ref>繰り返すと、<math>S_{+n} </math> は線形独立かつ <math>V</math> の生成系（=基底）となり定理が証明できる。

このような基底はほとんど常に複数存在し、一意的に決まることは稀（例えば ''S'' が既に基底である場合、''S'' が空集合である場合、''V'' が二元集合である場合など）である。同様の問題として「どのような部分集合 ''S'' が基底を含むか」ということを考えることができるが、これには ''S'' が ''V'' を張ることが必要十分である。この場合、''S'' は複数の異なる基底を含むのが普通である。

=== 生成系内の基底延長 ===
有限次元[[ベクトル空間]] <math>V</math> の[[線型包|生成系]] <math>T \subset V</math> とその一次独立な部分集合 <math>S \subset T \subset V</math> に対し、<math>S \subset B \subset T</math> を満たす基底 <math>B</math> が存在する<ref>"V を有限次元ベクトル空間、S ⊂ V を１次独立である部分集合、S ⊂ T ⊂ V を V を生成する部分集合とする。そのとき、V は、S ⊂ B ⊂ T を満たす基底 B を持つ。" Hesselholt. (2012). [http://web.math.ku.dk/~larsh/teaching/F2012_W/lecture10.pdf 数学通論 II 基底と次元]. 名古屋大学.</ref>。これは、生成系の一次独立な部分集合を生成系の他の元で延長すると基底が得られることを示している。

この定理は次のように証明できる。<math>T</math> と <math>\operatorname{span}(S) </math> の[[差集合]] <math>T \setminus \operatorname{span}(S) </math> を考えると、任意の元 <math>\boldsymbol{v_1} \in (T\setminus \operatorname{span}(S))</math> は <math>S</math> の線形結合で表現できないため <math>S_{+1} = S \cup \{ \boldsymbol{v_1} \} \subset T </math> は一次独立になる。同様の線形独立な集合拡張を <math>T\setminus \operatorname{span}(S_{+n}) = \varnothing </math> すなわち <math>\operatorname{span}(S_{+n}) = \operatorname{span}(T) = V </math> <ref group="注"><math>S_{+n} \subseteq T</math> より <math>\operatorname{span}(S_{+n}) \varsupsetneq \operatorname{span}(T) = V</math>  は成立し得ない</ref>になるまで有限回<ref group="注">有限次元ベクトル空間の定義から <math>T</math> の元は有限個であり、取り出す操作は必ず有限回で終了する。</ref>繰り返すと、<math>S_{+n} </math> は線形独立かつ <math>V</math> の生成系（=基底）かつ <math>T</math> の部分集合であるため、<math>S \subset S_{+n}=B \subset T</math> が証明される。

== 基底の存在 ==
<math>\{ \boldsymbol{0} \}</math> を除く有限[[ベクトル空間]] <math>V</math> には <math>V</math> を生成する一次独立な部分集合 <math>B \subset V</math> すなわち基底が常に存在する。これを'''基底の存在定理'''という<ref>"基底の存在定理    有限次元ベクトル空間 V != {0} には基底が存在する。" 東京工業大学. (2013). ''[http://www.ocw.titech.ac.jp/?q=201321151&sort=date 基底の存在と次元]''.</ref>。

この定理は次のように証明できる（概略）。<math>V</math> の定義より <math>V</math> は部分集合 <math>S_1 = \{\boldsymbol{v_1} | \boldsymbol{v_1} \neq \boldsymbol{0} \}</math> を必ず持ち、これは線形独立である<ref group="注"><math>\boldsymbol{v_1} \neq \boldsymbol{0}</math> 下で <math>c_1 \boldsymbol{v_1} = \boldsymbol{0}</math> を満たすのは <math>c_1 = 0</math> のみ。</ref>。<math>S_1</math> は <math>V</math> の一次独立な部分集合であるから、[[基底 (線型代数学)#基底の延長|基底の延長定理]]<ref group="注">"生成系内の基底延長定理" でも <math>S_1 = \{\boldsymbol{v_1} \in T | \boldsymbol{v_1} \neq \boldsymbol{0}\}</math> とすることで同様に証明できる。</ref>により <math>S_1</math> を延長して得られる基底 <math>B \subset V </math> が常に存在し、定理が証明できる。

無限次元ベクトル空間に対しては、一般には[[選択公理]]が必要である。

== 性質 ==
ベクトル空間 ''V'' の部分集合 ''B'' が基底であるためには、以下に挙げるような互いに同値な条件のうちの何れか一つ（従って全部）を満足することが必要十分である。
* ''B'' は ''V'' の極小生成系である。即ち、''B'' は ''V'' の生成系であって、かつ ''B'' に真に含まれるどの[[部分集合]]も ''V'' を生成しない。
* ''B'' は ''V'' のベクトルからなる極大線型独立系である。即ち、''B'' は線型独立系であって、かつ ''B'' を真に含む ''V'' のどの部分集合も線型独立系でない。
* ''V'' に属するどのベクトルも、''B'' に属するベクトルの線型結合としてただ一通りに表される。この基底が順序付けられているとき、この表示の係数はこの基底に関する「座標」を与える（[[#順序基底と座標系|後述]]）。

任意のベクトル空間は基底を持つ（このことの証明には[[選択公理]]が必要である）。一つのベクトル空間では、全ての基底が同じ[[濃度 (数学)|濃度]]（元の個数）を持ち、その濃度をそのベクトル空間の[[ハメル次元|次元]]と呼ぶ。この事実は{{ill|ベクトル空間の次元定理|label=次元定理|en|Dimension theorem for vector spaces}}と呼ばれる（証明には、選択公理のきわめて弱い形である[[超フィルター補題]]が必要である）。

== 例 ==
''a'', ''b'' がともに実数であるような座標（数ベクトル）(''a'', ''b'') 全てからなるベクトル空間 '''R'''<sup>2</sup> を考える。このとき、'''R'''<sup>2</sup> の任意のベクトル ''v'' = (''a'', ''b'') は ''v'' = ''a'' (1,0) + ''b'' (0,1) と書けて、'''e'''<sub>1</sub> := (1,0) と '''e'''<sub>2</sub> := (0,1) は明らかに線型独立だから、{'''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub>} は '''R'''<sup>2</sup> の基底になる。この自然で単純な基底を '''R'''<sup>2</sup> の標準基底という。これ以外にも、任意の二つの線型独立なベクトル（例えば (1,1) と (−1,2) など）が、やはり '''R'''<sup>2</sup> の基底を成す。

一つの数学的結果が複数のやり方で証明できることは普通であるが、ここでは {(1,1), (−1,2)} が '''R'''<sup>2</sup> の基底を成すことの証明を三通りほど挙げてみる。
; 直接証明
: 定義に忠実に、二つのベクトル (1,1), (−1,2) が線型独立であることと '''R'''<sup>2</sup> を生成することとを示す。
:; 線型独立性: 実数 ''a'', ''b'' に対して線型関係<div style="margin: 1ex 3em;"><math>a(1,1)+b(-1,2)=(0,0)</math></div>が成り立つとすると、(''a'' &minus; ''b'', ''a'' + 2''b'') = (0, 0), 即ち <div style="margin: 1ex 3em;"><math>
 \begin{cases} a-b=0\\ a+2b=0\end{cases}
</math></div>となり、辺々引いて ''b'' = 0, これを代入して ''a'' = 0 を得る。故に線型独立性が示せた。
:; 全域性: 二つのベクトル (1,1), (−1,2) が '''R'''<sup>2</sup> を生成することを示すには、いま (''a'', ''b'') を '''R'''<sup>2</sup> の勝手な元として、<div style="margin: 1ex 3em;"><math>r(1,1)+s(-1,2)=(a,b)</math></div>を満たす実数 ''r'', ''s'' の存在を言えばよい。これは即ち、方程式系<div style="margin: 1ex 3em;"><math>
  \begin{cases} r-s=a\\ r+2s=b \end{cases}
</math></div>が ''r'', ''s'' について解けることに他ならない。辺々引いて ''s'' が、それを代入して ''r'' がそれぞれ<div style="margin: 1ex 3em;"><math>
  \begin{cases}s=(b-a)/3\\ r=(b+2a)/3\end{cases}
</math></div>と求められるから、これで全域性も示された。
; 次元定理による証明
: (−1,2) は明らかに (1,1) の定数倍ではないし、(1,1) も明らかに[[零ベクトル]]ではないから、二つのベクトル (1,1), (−1,2) は線型独立。これを延長して基底が得られるはずだが、'''R'''<sup>2</sup> の次元は 2 だから、{(1,1), (−1,2)} は既に '''R'''<sup>2</sup> の基底を成している。
; 正則行列を用いた証明
: 二つのベクトル (1,1), (−1,2) を並べてできる行列の[[行列式]]を計算すると<div style="margin: 1ex 3em"><math>
  \det\!\begin{pmatrix}1&-1\\1&2\end{pmatrix}=3
</math></div>となり、行列式が 0 ではない（[[正則行列|正則]]である）から、この行列の二つの列ベクトル (1,1), (−1,2) は線型独立。従って '''R'''<sup>2</sup> の基底となる。

* より一般に、''n''-次単位行列（対角成分が 1 でそれ以外の成分が 0 の ''n''&times;''n''-行列）の第 ''i''-列ベクトルを '''e'''<sub>''i''</sub> とするとき、ベクトル族 {'''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub>} は線型独立で、'''R'''<sup>''n''</sup> を生成する。故にこれは '''R'''<sup>''n''</sup> の基底を成し、また '''R'''<sup>''n''</sup> の次元は ''n'' であると分かる。この基底を '''R'''<sup>''n''</sup> の'''[[標準基底]]'''という。
* ''V'' を二つの函数 ''e''<sup>''t''</sup> および ''e''<sup>2''t''</sup> で生成される[[実数|実]]線型空間とすると、これら二つの函数は線型独立であるから ''V'' の基底を成す。
* 次数が高々 2 の多項式全体の成す集合 P<sub>2</sub> において、{1, ''x'', ''x''<sup>2</sup>} は標準基底を成す。実数係数[[多項式]]全体の成す線型空間を '''R'''&#x5b;''x''&#x5d; で表せば、無限系列 (1, ''x'', ''x''<sup>2</sup>, …) は '''R'''&#x5b;''x''&#x5d; の基底を成す。従って、'''R'''&#x5b;''x''&#x5d; の次元は、可算濃度 [[アレフ数|&alefsym;<sub>0</sub>]] に等しい。
* 2&times;2-行列全体の成す集合 M<sub>2,2</sub> において、(''m'',''n'')-成分が 1 でそれ以外の成分が 0 の 2&times;2-行列を ''E''<sub>''mn''</sub> と書けば、{''E''<sub>11</sub>, ''E''<sub>12</sub>, ''E''<sub>21</sub>, ''E''<sub>22</sub>} は標準基底である。
全域的かつ線型独立なベクトルからなる集合を[[標準基底]]から無数に作ることができる。

== 順序基底と座標系 ==
本ページでは簡単のため、主に基底は単なる集合として扱っており、各ベクトルの順序についての概念は含めていない。ただし、専門的な書籍では基底と呼んだ時にベクトルの順序も含めたうえで意味するとが多い。例えば、その場合には(''v''<sub>1</sub>, …, ''v''<sub>''n''</sub>)と(''v''<sub>n</sub>, …, ''v''<sub>''1''</sub>)は異なる基底とみなされる。 このような順序を含めた意味での基底を用いなければ、基底の変換と正則行列との対応が取れない。またベクトルを座標表現して扱うとき、「第一座標」・「第二座標」のようなお決まりの表現を用いるには、基底に特定の順序付けがされていないと意味を成さない。有限次元ベクトル空間ならば、最初の ''n''-個の自然数を[[添字集合|添字]]に用いて (''v''<sub>1</sub>, …, ''v''<sub>''n''</sub>) のようにするのが典型的である。順序の概念を含めているかどうかの誤解を避けるために、順序付けられた基底は、'''順序基底''' (ordered basis)、 '''標構''' あるいは'''枠''' (''frame'') とも呼ばれる。

''V'' は[[可換体|体]] '''F''' 上の ''n''-次元ベクトル空間であるものとする。''V'' の順序基底を一つ選ぶことは、[[数ベクトル空間]] '''F'''<sup>''n''</sup> （座標全体のなすベクトル空間と考えられる）から ''V'' への[[線型同型写像]] &phi; を一つ選ぶことと等価である。これを見るのに '''F'''<sup>''n''</sup> の標準基底が順序基底であることが利用できる。

まず、線型同型 &phi;: '''F'''<sup>''n''</sup> → ''V'' が与えられているとき、''V'' の順序基底 (''v''<sub>''i''</sub>)<sub>1&le;''i''&le;''n''</sub> を
: ''v''<sub>''i''</sub> = ''&phi;''('''e'''<sub>''i''</sub>) for 1 ≤ ''i'' ≤ ''n''
で与えることができる。ただし ('''e'''<sub>''i''</sub>)<sub>1&le;''i''&le;''n''</sub> は '''F'''<sup>''n''</sup> の標準基底である。

逆に、順序基底 (''v''<sub>''i''</sub>)<sub>1&le;''i''&le;''n''</sub> が与えられているとき、
: <math>x=x_1\mathbf{e}_1+x_2\mathbf{e}_2+\cdots+x_n\mathbf{e}_n \mapsto \varphi(x) := x_1v_1+x_2v_2+\cdots+x_nv_n</math>
で定まる &phi;: '''F'''<sup>''n''</sup> &rarr; ''V'' が線型同型であることを見るのは難しくない。

これら二つの構成が互いに逆になっていることは明らかであるから、''V'' の順序基底と'''F'''<sup>''n''</sup> から ''V'' への線型同型との間に一対一対応があることがわかる。

順序基底 (''v''<sub>''i''</sub>) によって定まる線型同型 &phi; の逆写像は ''V'' に「座標系」を定める。即ち、ベクトル ''v'' ∈ ''V'' に対して φ<sup>−1</sup>(''v'') = (''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>,...,''a''<sub>''n''</sub>) ∈ '''F'''<sup>''n''</sup> であるならば、各成分 ''a''<sub>''j''</sub> = ''a''<sub>''j''</sub>(''v'') は ''v'' = ''a''<sub>1</sub>(''v'') ''v''<sub>1</sub> + ''a''<sub>2</sub>(''v'') ''v''<sub>2</sub> + ... + ''a''<sub>''n''</sub>(''v'') ''v''<sub>''n''</sub> と書けるという意味で ''v'' の座標を与える。

ベクトル ''v'' を各成分 ''a''<sub>''j''</sub>(''v'') へ写す各写像は、φ<sup>−1</sup> が線型ゆえ、''V'' から '''F''' への線型写像になる。即ちこれらは[[線型汎函数]]であり、またこれらは ''V'' の双対空間の基底を成し、'''双対基底'''と呼ばれる。

== 関連概念 ==
=== 解析学 ===
無限次元の実または複素線型空間に関する文脈では、本項でいう意味での基底を表すのに、しばしば'''ハメル基底'''（{{Ill|ゲオルク・ハメル|en|Georg Hamel}}に由来<ref>{{Harvnb|Hamel|1905}}</ref>）や'''代数基底'''という用語が用いられる。（ハメル基底は '''R''' の '''Q'''-基底を意味することもある。）これは、付加的な構造を備えた無限次元線型空間における別の種類の「基底」の概念との区別のためである。そのような基底の概念で極めて重要なものとしては、[[ヒルベルト空間]]上の[[正規直交基底]]や[[ノルム線型空間]]上の{{Ill|シャウダー基底|en|Schauder basis}}および{{Ill|マルクシェヴィチ基底|en|Markushevich basis}}が挙げられる。

これらの基底概念に共通する特徴は、全体空間を生成するのに基底ベクトルの無限線型結合までを許すことである。これにはもちろん、無限和が意味を持つような空間（[[位相線型空間]]）を考えることが必要である。位相線型空間は非常に広範なベクトル空間のクラスであり、例えば[[ヒルベルト空間]]や[[バナッハ空間]]あるいは[[フレシェ空間]]といったものを含む。

無限次元空間に対してこれら異種の基底が優先されるのは、バナッハ空間においてはハメル基底は「大きすぎる」という事実によるものである。即ち、''X'' が[[完備距離空間|完備]]な無限次元ノルム空間（つまり[[バナッハ空間]]）のとき、''X'' の任意のハメル基底が[[非可算]]となることが[[ベールの範疇定理]]から従う。先の主張における完備性の仮定は無限次元の仮定同様に重要である。実際、有限次元空間は定義により有限な基底を持つし、また完備でない無限次元ノルム空間で可算なハメル基底を持つものが存在する。[[ほとんど (数学)|有限個の例外を除く]]全ての項が 0 となる実[[数列]]全体の成す空間 ''c''<sub>00</sub> にノルム &#x2016;''x''&#x2016; = sup<sub>''n''</sub>&#x7c;''x''<sub>''n''</sub>&#x7c; を入れたものを考えると、その[[標準基底]]は可算ハメル基底になる。

; 例
: [[フーリエ級数]]論において、函数系 {1} ∪ {sin(''nx''), cos(''nx'') : ''n'' = 1, 2, 3, …} が、区間 &#x5b;0, 2&pi;&#x5d; 上の実（または複素）数値自乗可積分函数、即ち<div style="margin: 1ex 2em;"><math>\int_0^{2\pi} |f(x)|^2\,dx<\infty</math></div>を満たす函数全体の成す実（または複素）線型空間の「正規直交基底」となることを知るはずである。即ち、函数系 {1} ∪ {sin(''nx''), cos(''nx'') : ''n'' = 1, 2, 3, …} は線型独立系であり、かつ区間 &#x5b;0, 2&pi;&#x5d; 上自乗可積分な任意の函数 ''f'' が適当な実（または複素）係数 ''a''<sub>''k''</sub>, ''b''<sub>''k''</sub> に対して<div style="margin: 1ex 2em;"><math>
  \lim_{n\to\infty}\int_0^{2\pi}\left|a_0+\sum_{k=1}^n (a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx))-f(x)\right|^2 dx=0
</math></div>を満たすという意味で当該函数系の「無限線型結合」として表される。しかし殆どの自乗可積分函数はこれら基底函数の'''有限'''線型結合としては表すことができず、したがってこの「基底」はハメル基底には「ならない」。この空間の任意のハメル基底は、この可算無限にすぎない「基底」よりもはるかに大きいのである（ハメル基底は[[連続の濃度]]をもつ<ref>http://www.scielo.cl/pdf/proy/v26n3/art01.pdf</ref>）。この種の空間のハメル基底は典型的に有用でなく、一方でこれらの空間の[[正規直交基底]]は[[フーリエ解析]]において本質的である。

=== アフィン幾何学 ===
関連の深い[[アフィン空間]]、[[射影空間]]、[[凸集合]]、[[錐 (線型代数学)|錐]]といった空間には関連の深い'''アフィン基底'''<ref>Notes on geometry, by Elmer G. Rees, [https://books.google.co.jp/books?id=JkzPRaihGIYC&pg=PA7&redir_esc=y&hl=ja p. 7]</ref>（''n''-次元アフィン空間に対して[[一般の位置]]にある ''n''+1 点のこと）、'''射影基底'''（本質的にアフィン基底と同じで、ここでは射影空間の、一般の位置にある ''n''+1 点）、'''凸基底'''（多面体の頂点）、'''錐基底'''<ref>[http://www.springerlink.com/content/v8110k8n2864g32g/  Some remarks about additive functions on cones], Marek Kuczma</ref>（多角形錐の辺上の点の集合）といった基底が定義される。

== 関連項目 ==
* [[基底変換]]
* [[自由加群]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist2}}
=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
=== 全般 ===
* {{Citation | last1=Blass | first1=Andreas | title=Axiomatic set theory  | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Contemporary Mathematics volume 31 | mr=763890 | year=1984 | chapter=Existence of bases implies the axiom of choice | pages=31–33|isbn=0-8218-5026-1 |url= http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/bases-AC.pdf}}
* {{Citation | last1=Brown | first1=William A. | title=Matrices and vector spaces | publisher=M. Dekker | location=New York | isbn=978-0-8247-8419-5 | year=1991}}
* {{Citation | last1=Lang | first1=Serge | author1-link=Serge Lang | title=Linear algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-96412-6 | year=1987}}

=== 歴史的文献 ===
* {{fr icon}} {{Citation | last1=Banach | first1=Stefan | author1-link=Stefan Banach | title=Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (On operations in abstract sets and their application to integral equations) | url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3120.pdf | year=1922 | journal=[[Fundamenta Mathematicae]] | issn=0016-2736 | volume=3}}
* {{de icon}} {{Citation | last1=Bolzano | first1=Bernard | author1-link=Bernard Bolzano | title=Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Considerations of some aspects of elementary geometry) | url=http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/400338 | year=1804}}
* {{fr icon}} {{Citation | last1=Bourbaki | first1=Nicolas | author1-link=Nicolas Bourbaki | title=Éléments d'histoire des mathématiques (Elements of history of mathematics) | publisher=Hermann | location=Paris | year=1969}}
* {{Citation | last1=Dorier | first1=Jean-Luc | title=A general outline of the genesis of vector space theory | url=http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6WG9-45NJHDR-C&_user=1634520&_coverDate=12%2F31%2F1995&_rdoc=2&_fmt=high&_orig=browse&_srch=doc-info(%23toc%236817%231995%23999779996%23308480%23FLP%23display%23Volume)&_cdi=6817&_sort=d&_docanchor=&_ct=9&_acct=C000054038&_version=1&_urlVersion=0&_userid=1634520&md5=fd995fe2dd19abde0c081f1e989af006 | mr=1347828 | year=1995 | journal=[[Historia Mathematica]] | volume=22 | issue=3 | pages=227–261 | doi=10.1006/hmat.1995.1024}}
* {{fr icon}} {{Citation | last1=Fourier | first1=Jean Baptiste Joseph | author1-link=Joseph Fourier | title=Théorie analytique de la chaleur | url=https://books.google.co.jp/books?id=TDQJAAAAIAAJ&redir_esc=y&hl=ja | publisher=Chez Firmin Didot, père et fils | year=1822}}
* {{de icon}} {{Citation | last1=Grassmann | first1=Hermann | author1-link=Hermann Grassmann | title=Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik | url=https://books.google.co.jp/books?id=bKgAAAAAMAAJ&pg=PA1&dq=Die+Lineale+Ausdehnungslehre+ein+neuer+Zweig+der+Mathematik&redir_esc=y&hl=ja | year=1844}}, reprint: {{Citation | other1-last=Kannenberg | other1-first=L.C. | title=Extension Theory | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | isbn=978-0-8218-2031-5 | year=2000 | author=Hermann Grassmann. Translated by Lloyd C. Kannenberg.}}
* {{de icon}} {{Citation | last=Hamel | first=Georg | title=Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung f(x+y)=f(x)+f(y) | journal=Mathematische Annalen | location=Leipzig | volume=60 | pages=459-462 | url=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002260395  | year=1905}}
* {{Citation | last1=Hamilton | first1=William Rowan | author1-link=William Rowan Hamilton | title=Lectures on Quaternions | url=http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=05230001&seq=9 | publisher=Royal Irish Academy | year=1853}}
* {{de icon}} {{Citation | last1=Möbius | first1=August Ferdinand | author1-link=August Ferdinand Möbius | title=Der Barycentrische Calcul : ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Barycentric calculus: a new utility for an analytic treatment of geometry) | url=http://mathdoc.emath.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_MOBIUS__1_1_0 | year=1827}}
* {{Citation | last1=Moore | first1=Gregory H. | title=The axiomatization of linear algebra: 1875–1940 | url=http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6WG9-45NJHDR-D&_user=1634520&_coverDate=12%2F31%2F1995&_rdoc=3&_fmt=high&_orig=browse&_srch=doc-info(%23toc%236817%231995%23999779996%23308480%23FLP%23display%23Volume)&_cdi=6817&_sort=d&_docanchor=&_ct=9&_acct=C000054038&_version=1&_urlVersion=0&_userid=1634520&md5=4327258ef37b4c293b560238058e21ad | year=1995 | journal=[[Historia Mathematica]] | volume=22 | issue=3 | pages=262–303 | doi=10.1006/hmat.1995.1025}}
* {{it icon}} {{Citation | last1=Peano | first1=Giuseppe | author1-link=Giuseppe Peano | title=Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva | year=1888 | location=Turin}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=Basis|title=Basis}}

{{Linear algebra}}
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