基数関数のソースを表示

数学において、'''基数関数(cardinal function)''' (または '''基数不変量(cardinal invariant)''')は
[[基数]]を返す関数のことである。

== 集合論における基数関数 ==

* 最もよく使われる基数関数は単に、[[集合]] "A" に対してその[[濃度 (数学)|濃度]]|&thinsp;''A''&thinsp;|を返す関数である。

* [[アレフ数]] や [[ベート数]]はどちらも、順序数を基数に対応させる関数と見なすことが出来る。

* 単純な基数の演算も基数関数といえる。

* 集合 ''X'' の部分集合によるイデアル ''I'' に対して次のような基数関数が定義される。:

:<math>{\rm add}(I)=\min\{|{\mathcal A}|: {\mathcal A}\subseteq I \wedge \bigcup{\mathcal A}\notin I\big\}</math>.
::''I'' の "additivity" とは、合併演算が''I'' の下で閉じなくなるような最小の濃度。いかなるイデアルも有限和について閉じているので、この値は少なくとも <math>\aleph_0</math> 以上である。; ''I'' が &sigma;-イデアルであるとは add(''I'')&ge;<math>\aleph_1</math> であることを言う。
:<math>{\rm cov}(I)=\min\{|{\mathcal A}|:{\mathcal A}\subseteq I \wedge\bigcup{\mathcal A}=X\big\}</math>.
::''I'' の "covering number" とは合併演算で ''X'' が被覆できる最小の濃度。''X'' は ''I'' の元ではないので、add(''I'') &le; cov(''I'') であることが分かる。
:<math>{\rm unif}(I)={\rm non}(I)=\min\{|A|:A\subseteq X\ \wedge\ A\notin I\big\}</math>,
::''I'' の "uniformity number" とは ''I'' の元にならない集合の最小の濃度。''I'' がシングルトンを全て要素に持つと考えるときは、add(''I'') &le; non(''I'') であることが分かる。
:<math>{\rm cof}(I)=\min\{|{\mathcal B}|:{\mathcal B}\subseteq I \wedge (\forall A\in I)(\exists B\in {\mathcal B})(A\subseteq B)\big\}.</math>
::''I'' の "共終数(cofinality)" とは 広義[[半順序集合]] (''I'', &sube;) の[[共終数]]である。non(''I'') &le; cof(''I'') かつ cov(''I'') &le; cof(''I'') であることは容易に示される。

:零集合によるイデアルや第一類集合によるイデアル等の実数集合の構造に密接に関わるイデアルで考える研究も行われている。[[:en:Cardinal characteristic of the continuum|cardinal characteristics of the continuum]]を参照。

* [[前順序]](広義半順序)集合 <math>({\mathbb P},\sqsubseteq)</math> に対して '''bounding number''' <math>{\mathfrak 

b}({\mathbb P})</math> と '''dominating number''' <math>{\mathfrak d}({\mathbb P})</math> は次のように定義される。
::<math>{\mathfrak b}({\mathbb P})=\min\big\{|Y|:Y\subseteq{\mathbb P}\ \wedge\ (\forall x\in {\mathbb P})(\exists 

y\in Y)(y\not\sqsubseteq x)\big\}</math>,
::<math>{\mathfrak d}({\mathbb P})=\min\big\{|Y|:Y\subseteq{\mathbb P}\ \wedge\ (\forall x\in {\mathbb P})(\exists 

y\in Y)(x\sqsubseteq y)\big\}</math>

* [[PCF理論]]において、<math>pp_\kappa(\lambda)</math> という基数関数が使われている。<ref>{{cite book | author=Holz, 

Michael; Steffens, Karsten; and Weitz, Edi | title=Introduction to Cardinal Arithmetic | publisher=Birkhäuser | 

year=1999 | id=ISBN 3764361247}}</ref>

== 位相空間論における基数関数 ==

基数関数は[[位相空間論]]においても位相的性質を記述するための道具として広く用いられている。<ref>Juhász, István: ''Cardinal functions in topology''. "Mathematical Centre Tracts", nr 34. Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1971.</ref><ref>Juhász, István: ''Cardinal functions in topology - ten years later''. "Mathematical Centre Tracts", 123. Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1980. ISBN 90-6196-196-3</ref> 以下に挙げるのはその例である。(注意:一般位相において有限基数は考慮しないとする人もいる。<ref>{{cite book | last = Engelking | first = Ryszard | authorlink=Ryszard Engelking | title=General Topology | publisher=Heldermann Verlag, Berlin | year=1989 | id=ISBN 3885380064 | note=Revised and completed edition, Sigma Series in Pure Mathematics, Vol. 6}}</ref> 必要に応じて基数関数が返す値は可算濃度以上である制限をつけてもよい。)

* やはり、位相空間 ''X'' についての最も単純な基数不変量はその空間の濃度 |''X''&thinsp;| やその位相の濃度 ''o''(''X'') であろう。
* 位相空間 ''X'' の '''[[:en:Base (topology)#Weight and Character|weight]]''' w(''X''&thinsp;) とは ''X'' の基底の最小の濃度。w(''X''&thinsp;) = <math>\aleph_0</math> である空間 ''X'' は''[[第二可算空間]]''と呼ばれる。
** 位相空間 ''X'' の '''<math>\pi</math>-weight''' は <math>\pi</math>-基の最小の濃度である。
* 位相空間 ''X'' の点 ''x'' における '''[[:en:Base (topology)#Weight and Character|character]]''' とは ''x'' の近傍基の最小の濃度。''X'' の '''character''' とは<center><math>\chi(X)=\sup \; \{\chi(x,X) : x\in X\}.</math></center>のこと。<math>\chi(X) = \aleph_0</math> となる ''X'' は''[[第一可算空間]]''と呼ばれる。
* 位相空間 ''X'' の '''density''' d(''X''&thinsp;) とは、''X'' の稠密部分集合の最小濃度。<math>\rm{d}(X) = \aleph_0</math> である ''X'' は''[[可分空間]]''と呼ばれる。
* 位相空間 ''X'' の '''cellularity''' とは <center><math>{\rm c}(X)=\sup\{|{\mathcal U}|:{\mathcal U}</math> は <math>X</math> の空でなく互いに交わりのない部分集合による族 }</center>
** '''Hereditary cellularity''' (または '''spread''') とは 部分集合の cellularity の最小上界。すなわち、: <center><math>s(X)={\rm hc}(X)=\sup\{ {\rm c} (Y) : Y\subseteq X \}</math></center> または <center><math>s(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X </math> の [[相対位相]] が [[離散位相]]である <math>\}</math></center>
* 位相空間 ''X'' の点 ''x'' における '''tightness''' ''t''(''x'', ''X'') とは次のものである。 <center><math>t(x,X)=\sup\big\{\min\{|Z|:Z\subseteq Y\ \wedge\ x\in {\rm cl}_X(Z)\}:Y\subseteq X\ \wedge\ x\in {\rm cl}_X(Y)\big\}.</math></center> 位相空間 ''X'' の '''tightness''' とは <math>t(X)=\sup\{t(x,X):x\in X\}</math> のこと。''t(X) = ''<math>\aleph_0</math> となる ''X'' は ''[[:en:countably generated]]'' や ''[[:en:countable tightness|countably tight]]'' であると呼ばれる。
** 位相空間 ''X'' の '''augumented tightness''' <math>t^+(X)</math> とは次のことを満たす最小の[[正則基数]] <math>\alpha</math> のこと : 任意の <math>Y\subseteq X</math> と <math>x\in{\rm cl}_X(Y)</math> に対して ''Y'' の部分集合 ''Z'' で濃度 <math>\alpha</math> 未満のものがあって <math>x\in{\rm cl}_X(Z)</math> を満たす。

===基本的な不等式===

: ''c''(''X'') ≤ ''d''(''X'') ≤ ''w''(''X'') ≤ ''o''(''X'') ≤ 2<sup>|X|</sup>
: <math>\chi</math>(''X'') ≤ ''w''(''X'')

==ブール代数における基数関数==

[[ブール代数]]の研究にも基数関数は使用される。<ref>Monk, J. Donald: ''Cardinal functions on Boolean algebras''. "Lectures in Mathematics ETH Zürich". Birkhäuser Verlag, Basel, 1990. 

ISBN 3-7643-2495-3.</ref><ref>Monk, J. Donald: ''Cardinal invariants on Boolean algebras''. "Progress in 

Mathematics", 142. Birkhäuser Verlag, Basel, ISBN 3-7643-5402-X.</ref> 以下にその例を挙げる。

*ブール代数 <math>{\mathbb B}</math> の '''Cellularity''' <math>c({\mathbb B})</math> とは <math>{\mathbb B}</math> の反鎖の濃度の上限である。
*ブール代数 <math>{\mathbb B}</math> の '''Length''' <math>{\rm length}({\mathbb B})</math> とは
:<math>{\rm length}({\mathbb B})=\sup\big\{|A|:A\subseteq {\mathbb B}</math> は鎖 <math>\big\}</math>
*ブール代数 <math>{\mathbb B}</math> の '''Depth''' <math>{\rm depth}({\mathbb B})</math> とは
:<math>{\rm depth}({\mathbb B})=\sup\big\{ |A|:A\subseteq {\mathbb B}</math> は [[整列集合]] <math>\big\}</math>
*ブール代数 <math>{\mathbb B}</math> の '''Incomparability''' <math>{\rm Inc}({\mathbb B})</math> とは
:<math>{\rm Inc}({\mathbb B})=\sup\big\{ |A|:A\subseteq {\mathbb B}</math> ただし <math>\big(\forall a,b\in A\big)\big(a\neq b\ \Rightarrow \neg (a\leq b\ \vee \ b\leq a)\big)\big\}</math>
*ブール代数 <math>{\mathbb B}</math> の '''Pseudo-weight'''  <math>\pi({\mathbb B})</math> とは
:<math>\pi({\mathbb B})=\min\big\{ |A|:A\subseteq {\mathbb B}\setminus \{0\}</math> ただし <math>\big(\forall b\in B\setminus \{0\}\big)\big(\exists a\in A\big)\big(a\leq b\big)\big\}</math>

==代数における基数関数==

代数学における基数関数の例を挙げる:
*''G'' の部分群 ''H'' の指数は剰余類の数である。
*体 ''K'' 上の [[ベクトル空間]] ''V'' の次元は ''V'' のハメル基底の濃度である。
*''W'' ベクトル空間 ''V'' の[[線型部分空間]]に対して、余次元を定義することが出来る。

==外部リンク==
* A Glossary of Definitions from General Topology [https://web.archive.org/web/20061205203826/http://math.berkeley.edu/~apollo/topodefs.ps]

==関連項目==

[[:en:Cichoń's diagram]]

== 参照 ==
<references/>

{{DEFAULTSORT:きすうかんすう}}
[[Category:基数|*]]
[[Category:関数]]
[[Category:数学に関する記事]]