基本類のソースを表示

{{For|類体論の基本類|{{仮リンク|類構成|en|class formation}}(class formation) }}
{{Unreferenced|date=December 2009}}
{{要改訳}}

数学において、'''基本類'''(fundamental class)は、[[向き付け|向きづけられた]][[多様体]] ''M'' に付随する[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]類 [''M''] であり、ホモロジー群 <math>H_r(M;\mathbf{Z})\cong\mathbf{Z}</math> の生成子に対応する。基本類は、多様体の適切な三角分割の最高次数の[[単体 (数学)|単体]]の[[向き]]と考えることができる。
<!--In [[mathematics]], the '''fundamental class''' is a [[homology (mathematics)|homology]] class [''M''] associated to an [[oriented]] [[manifold]] ''M'', which corresponds to the generator of the homology group <math>H_r(M;\mathbf{Z})\cong\mathbf{Z}</math> . The fundamental class can be thought of as the [[Orientation (geometry)|orientation]] of the top-dimensional [[simplex|simplices]] of a suitable triangulation of the manifold.-->

==定義==
===閉多様体、向き付け可能多様体===
''M'' が次元 ''n'' の[[連結空間|連結な]][[向き付け可能]]な[[閉多様体]]とすると、最高次のホモロジー群は[[無限巡回群]] <math>H_n(M,\mathbf{Z}) \cong \mathbf{Z}</math> であり、この多様体 ''M'' の'''向き'''は生成子を選ぶこと、つまり、同型 <math>\mathbf{Z} \to H_n(M,\mathbf{Z})</math> を選ぶことである。この生成子を'''基本類'''(fundamental class)と呼ぶ。

''M'' が単連結でなければ、基本類は、（各々の成分の向き付けに対応した）各々の連結成分の基本類の直和である。

[[ド・ラームコホモロジー]]との関係では、基本類は「''M'' 上の積分」を表現する。すなわち、滑らかな多様体 ''M'' に対して、[[微分形式|''n''-形式]] ω は、基本類とペア

:<math>\langle\omega, [M]\rangle = \int_M \omega</math>

ととることができる。これは ''M'' 上の ω の積分であり、ω のコホモロジー類のみに依存する。
<!--==Definition==
===Closed, orientable===
When ''M'' is a [[connected space|connected]] [[orientable]] [[closed manifold]] of dimension ''n'', the top homology group is [[infinite cyclic]]: <math>H_n(M,\mathbf{Z}) \cong \mathbf{Z}</math>, and an orientation is a choice of generator, a choice of isomorphism <math>\mathbf{Z} \to H_n(M,\mathbf{Z})</math>. The generator is called the '''fundamental class'''.

If ''M'' is disconnected (but still orientable), a fundamental class is the direct sum of the fundamental classes for each connected component (corresponding to an orientation for each component).

In relation with [[de Rham cohomology]] It represents a ''integration over M''; namely for ''M'' a smooth manifold,  an [[differential form|''n''-form]] ω can be paired with the fundamental class as

:<math>\langle\omega, [M]\rangle = \int_M \omega\ ,</math>

which is the integral of ω over ''M'', and depends only on the cohomology class of ω.-->

===スティーフェル・ホイットニー類===
''M'' が向き付け不能であれば、ホモロジー群は無限巡回群ではなく：  <math>H_n(M,\mathbf{Z}) \ncong \mathbf{Z}</math> 、''M'' の[[向き付け]]を定義できない。実際、向き付け不能多様体上の微分 ''n''-形式を積分することはできない。

すべての閉多様体は <math>\mathbf{Z}_2</math>-[[向き付け可能]]であり、（''M'' が連結であれば、）<math>H_n(M;\mathbf{Z}_2)\cong\mathbf{Z}_2</math> である。このように、すべての閉多様体は、<math>\mathbf{Z}_2</math>-向きつけられ、（一意に向き付けが決定でき）<math>\mathbf{Z}_2</math>-基本類を持つ。

この <math>\mathbf{Z}_2</math>-基本類は、[[スティーフェル・ホイットニー類#スティーフェル・ホイットニー数|スティーフェル・ホイットニー数]]を定義することに使われる。
<!--=== Stiefel-Whitney class ===
If ''M'' is not orientable, the homology group is not infinite cyclic :  <math>H_n(M,\mathbf{Z}) \ncong \mathbf{Z}</math> , one cannot define a orientation of ''M'', Indeed, one cannot integrate differential ''n''-forms over non-orientable manifolds.

Every closed manifold is <math>\mathbf{Z}_2</math>-orientable, and 
<math>H_n(M;\mathbf{Z}_2)\cong\mathbf{Z}_2</math> (for ''M'' connected). Thus every closed manifold is <math>\mathbf{Z}_2</math>-oriented (not just orient''able'': there is no ambiguity in choice of orientation), and has a <math>\mathbf{Z}_2</math>-fundamental class.

This <math>\mathbf{Z}_2</math>-fundamental class is used in defining [[Stiefel–Whitney class]].-->

===境界のある場合===
''M'' が境界を持つコンパクトな向きつけ可能多様体であれば、最高次相対ホモロジー群は、再び、無限巡回群 <math>H_n(M,\partial M)\cong \mathbf{Z}</math> となり、閉多様体であれば基本類の考え方が相対的な場合へも拡張できる。
<!--If ''M'' is a compact orientable manifold with boundary, then the top relative homology group is again infinite cyclic <math>H_n(M,\partial M)\cong \mathbf{Z}</math>, and the notion of the fundamental class is extended to the relative case.-->

==ポアンカレ双対性==
{{Main|ポアンカレ双対性}}
{{Expand section|date=December 2008}}
任意のアーベル群 <math>G</math> と非負である整数 <math>q \ge 0</math> に対し、基本類と <math>q</math> -次ホモロジー群のキャップ積をとることにより、同型
:<math>[M]\cap:H^q(M;G) \rightarrow H_{n-q}(M;G)</math>
を得る。この同型は、[[ポアンカレ双対性]]
:<math>H^* (M, R) \to H_{n-*}(M, R)</math>
をもたらす。また、ポアンカレ双対性は相対的な場合にも拡張される。
<!--==Poincare Duality==
For any abelian group <math>G</math> and non negative integer <math>q \ge 0</math>  one can obtain an isomorphism 
:<math>[M]\cap:H^q(M;G) \rightarrow H_{n-q}(M;G)</math> .
using the cap product of the fundamental class and the <math>q</math> -homology group . This isomorphism gives Poincare duality:
:<math>H^* (M; G) \cong H_{n-*}(M; G)</math> .
Poincare duality is extended to the relative case .

See also [[Twisted Poincaré duality]]-->

==応用==
{{Expand section|date=December 2008}}
[[リー群]]の[[旗多様体]](flag variety)の[[ブリュア分解]]において、基本類は最高次元{{仮リンク|シューベルト胞体|en|Schubert cell}}(Schubert cell)、あるいは、同じことであるが、{{仮リンク|コクセター群の最低元|en|longest element of a Coxeter group}}(longest element of a Coxeter group)に対応する。
<!--===With boundary===
If ''M'' is a compact orientable manifold with boundary, then the top relative homology group is again infinite cyclic <math>H_n(M,\partial M)\cong \mathbf{Z}</math>, and as with closed manifolds, a choice of isomorphism is a fundamental class.

==Poincaré duality==
{{Main|Poincaré duality}}
{{Expand section|date=December 2008}}
Under [[Poincaré duality]], the fundamental class is dual to the bottom class of a connected manifold (a generator of <math>H_0</math>): in the closed case, Poincaré duality is the statement that the [[cap product]] with the fundamental class yields an isomorphism <math>H^* (M, R) \to H_{n-*}(M, R)</math>.

See also [[Twisted Poincaré duality]]

==Applications==
{{Expand section|date=December 2008}}
In the [[Bruhat decomposition]] of the [[flag variety]] of a [[Lie group]], the fundamental class corresponds to the top-dimension [[Schubert cell]], or equivalently the [[longest element of a Coxeter group]].-->

==参照項目==
*{{仮リンク|コクセター群の最低元|en|longest element of a Coxeter group}}(longest element of a Coxeter group)
*[[ポアンカレ双対性]]

== 外部リンク ==
*[http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Fundamental_class Fundamental class] at the Manifold Atlas.
* The Encyclopedia of Mathematics article on [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Fundamental_class the fundamental class].

{{DEFAULTSORT:きほんるい}}
[[Category:代数的位相幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]