基準振動のソースを表示

'''基準振動'''（きじゅんしんどう、Normal Vibration、Normal mode）とは、さまざまな振動の基本となっている、特定の[[単振動]]のことである。

'''基準モード'''、'''ノーマル振動'''、'''ノーマルモード'''などと呼ばれることもある。

== 概要 ==
[[自由度]]が 2 以上である系の、[[力学的平衡|平衡]]状態からの変位を表す[[一般化座標]]を''q'' <sub>1</sub> , ''q'' <sub>2</sub> , ... , ''q <sub>n</sub>'' とすると、[[運動エネルギー]]''T'' および[[ポテンシャルエネルギー]]''V'' は（平衡状態を基準にして）
:<math>T=\frac{1}{2}\sum_{i,j}\alpha_{ij}\dot{q_i}\dot{q_j}</math>
:<math>V=\frac{1}{2}\sum_{i,j}\beta_{ij}q_iq_j+</math>(''qの3次以上の項'')
と表せる。''V'' に''q'' の一次の項がないのは<math>q_1=q_2= \cdots= q_n=0</math>で<math>(\partial V/\partial q_i)_0=0</math>が平衡状態だからである。系が振動系で &#x7C;''q<sub>i</sub>'' &#x7C; があまり大きくならないとき（微小振動）を考えると''q'' の 3 次以上の項は省略できるから、''T'' も''V'' も[[二次形式]]になる。変換''Q <sub>i</sub>'' ：
:<math>Q_i=\sum_j\alpha_{ij}q_j</math>
によって新しい一般化座標''Q'' <sub>1</sub> , ''Q'' <sub>2</sub> , ... , ''Q <sub>n</sub>'' へ変換した時に、''T'' も''V'' も標準型
:<math>T=\frac{1}{2}\sum_i\dot{Q}^2_i</math>
:<math>V=\frac{1}{2}\sum_ib_i Q^2_i \qquad (b_i > 0)</math>
に変換される場合には、<math>b_i=\nu^2_i</math>と置くと、系は
:<math>\ddot{Q}_i=-\nu^2_i Q_i</math>
にしたがって[[単振動]]する''n'' 個の独立な[[調和振動子]]の集まりと同等である。この''Q'' <sub>1</sub> , ''Q'' <sub>2</sub> , ... , ''Q <sub>n</sub>'' を'''基準座標'''と呼び、それらが表す単振動を'''基準振動'''（あるいは規準振動）、&nu;<sub>1</sub> /2&pi; , &nu;<sub>2</sub> /2&pi; , ... , &nu;<sub>''n''</sub> /2&pi; を'''規準振動数'''という。つまり基準座標は、その基準振動の振幅である。

''Q <sub>i</sub>'' は一般に''q'' <sub>1</sub> , ''q'' <sub>2</sub> , ... , ''q <sub>n</sub>'' の[[一次結合]]であるから、その振動は特定の振幅比で''q'' <sub>1</sub> , ''q'' <sub>2</sub> , ... , ''q <sub>n</sub>'' がそろって振動数&nu;<sub>''i''</sub> /2&pi; の単振動を行う集団運動である。その振幅比が決める振動の様式に着目した場合に、規準振動を'''基準モード'''あるいは'''ノーマルモード'''と呼ぶことがある。連続体の振動は[[波動方程式]]に[[境界条件]]を課して解けば得られるが、それは[[定常波]]の重ね合わせで表されるので、定常波が基準振動に対応する。連続体では基準振動の種類は無限個である。

== 基準座標の求め方 ==
運動エネルギー''T'' と位置エネルギー''V''は2次形式なので、対称行列で表せる。この2つの対称行列は、[[合同変換]]によって同時に対角化できる。このとき新たに変換された座標（基底）が基準座標である。<ref>今野豊彦 『物質の対称性と群論』 共立出版、2001年。ISBN 4-320-03409-0</ref>

== 分子振動 ==
[[分子振動]]では、''n'' 原子分子の自由度 3''n'' から[[並進運動]]と[[回転]]の自由度を除いた 3''n'' - 6（直線分子では 3''n'' - 5 ）が振動の自由度で、基準振動の個数もこれと同数になる。分子に対称性がある場合、基準振動も対称性をもつので、それに従って基準振動を分類する。

== 原子核の振動 ==
原子核の集団運動のうち、振幅が小さくて非調和・非線形の効果が小さい振動モードは、基準振動とみなすことが出来る。これらを微視的に記述する方法に、[[新タム‐ダンコフ近似]]がある。

== 参考文献 ==
* 『物理学辞典』 培風館、1984年

== 脚注 ==
{{Reflist|1}}

{{DEFAULTSORT:きしゆんしんとう}}
[[Category:古典力学]]
[[Category:量子力学]]
[[Category:分光学]]
[[Category:基準]]
[[Category:振動と波動]]
[[Category:振動工学]]
[[ca:Mode normal]]
[[de:Moden]]
[[en:Normal mode]]
[[es:Modo normal]]
[[fr:Mode normal]]
[[he:אופני תנודה עצמיים]]
[[kk:Меншікті жиілік]]
[[nn:Eigensvinging]]
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[[pt:Modo normal]]
[[ru:Нормальные колебания]]
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[[uk:Нормальні коливання]]