場の古典論のソースを表示

{{要改訳}}
'''場の古典論'''（ばのこてんろん）、もしくは'''古典場の理論''' (classical field theory) は、（物理的な）[[場]]がどのように物質と相互作用するかについて研究する[[理論物理学]]の領域である。'''古典的'''という単語は、量子力学と協調する'''[[場の量子論]]'''（単に、場の理論とも言われる）と対比して使われる。

物理的な場は各々の[[空間]]と[[時間]]の点に[[物理量]]を対応させたとして考えることができる。例えば、天気図を考えると、ある国の一日を通じての風速は、空間の各々の点にベクトルを対応させることにより記述できる。各々のベクトルは、その点での大気の運動の方向を表現する。日が進むにつれて、ベクトルの指す方向はこの方向に応じて変化する。数学的な観点からは、古典場は[[ファイバーバンドル]]（{{仮リンク|共変古典場理論|en|covariant classical field theory}}(covariant classical field theory)）の切断として記述される。'''古典場理論'''という用語は、[[電磁気学|電磁気]]と[[重力]]という自然界の[[基本相互作用|基本的力]]のうちの 2つを記述する物理理論に共通に使われる。

物理的な場の記述は、[[相対性理論|相対論]]の発見の前に行われており、相対論に照らして修正された。従って、古典場の理論は通常、'''非相対論的'''と'''相対論的'''なカテゴリ分けがなされる。

== 非相対論的場の理論 ==

単純な物理的な場として、いくつかのベクトル力の場がある。歴史的には、初期に重要視された場は、[[電場]]を記述する[[マイケル・ファラデー]](Michael Faraday)により[[電気力線]]が記述されたことであった。その後、[[重力場]]も同様な記述がなされた。

===ニュートン重力===

重力を記述する古典場の理論は、[[重力|ニュートン重力]]であり、2つの[[質量]]の間の互いの相互作用としての重力を記述する。

任意の質量を持つ剛体 ''M'' は、他の質量を持つ剛体への影響を記述する[[重力場]] '''g''' も持っている。空間内の '''r''' にある点での ''M'' の重力は、'''r''' に置かれた小さな[[テスト粒子|テスト質量]](test mass)へ及ぼす力 '''F''' を ''m'' で割ることで決まる
:<math> \mathbf{g}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r})}{m}</math>
である<ref name="kleppner85">{{cite book|last1=Kleppner|first1=David|last2=Kolenkow|first2=Robert|title=An Introduction to Mechanics|page=85}}</ref>。''m'' は ''M'' よりはるかに小さいとすると、''m'' の存在は ''M'' の振る舞いへの影響を無視できることが保証される。

[[万有引力|ニュートンの万有引力の法則]]に従うと、'''F'''('''r''') は、
:<math>\mathbf{F}(\mathbf{r}) = -\frac{G M m}{r^2}\hat{\mathbf{r}},</math>
により与えられる<ref name="kleppner85" />。ここに <math>\hat{\mathbf{r}}</math> は ''M'' から ''m'' への線に沿って ''m'' から ''M'' を指す方向の[[単位ベクトル]]とする。従って、''M'' の重力場は、
:<math>\mathbf{g}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r})}{m} = -\frac{G M}{r^2}\hat{\mathbf{r}}</math>
となる<ref name="kleppner85" />。

慣性質量と重力質量は[[等価原理#弱い等価原理の検証実験|前例のないレベルの正確さで]]等価であるという実験的観察は、重力場の強さと粒子に及ごす加速度による影響を同一視することへと導く。このことが[[等価原理]]の出発点であり、[[一般相対論]]が導かれる。

重力の力 '''F''' は{{仮リンク|保存場|label=保存量|en|conservative field}}(conservative)<ref group="note">スカラーポテンシャルで場の強さが表される場を、保存場(consevative field)という。</ref> であるので、重力場 '''g''' は、
:<math>\mathbf{g}(\mathbf{r}) = -\nabla \Phi(\mathbf{r})</math>
として、[[重力ポテンシャル]] Φ('''r''') の[[勾配 (ベクトル解析)|勾配]]の項により書き表わすことができる。

=== 電磁気学 ===

==== 静電場 ====
{{Main|静電場}}

電荷 ''q'' で{{仮リンク|テスト的に帯電|label=帯電したテスト粒子|en|test charge}}(charged test particle)は、電荷だけでちから '''F''' を持つ。このことを[[電場]] '''E''' と書くことができ、{{nowrap|'''F''' {{=}} q'''E'''}} となる。この[[クーロンの法則]]を使い、単独の帯電した粒子による電場を

:<math>\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\hat{\mathbf{r}}.</math>

と表すことができる。電場は{{仮リンク|保存場|label=保存量の場|en|conservative field}}(conservative field)であるので、スカラーポテンシャル V('''r''') により、
:<math> \mathbf{E}(\mathbf{r}) = -\nabla V(\mathbf{r})</math>
と書くことができる。

==== 静磁場 ====
{{Main|静磁場}}

経路 ''ℓ'' に沿って流れる固定したカレント ''I'' は、上記の電場の力とは異なる量の力を近くの帯電した粒子に及ぼす。速度 '''v''' で運動する電荷 ''q'' を持つ近くの帯電粒子に ''I'' の及ぼす力は、
:<math>\mathbf{F}(\mathbf{r}) = q\mathbf{v} \times \mathbf{B}(\mathbf{r}),</math>
である。ここに '''B'''('''r''') は[[磁場]]であり、[[ビオ・サバールの法則]]
:<math>\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int \frac{d\boldsymbol{\ell} \times d\hat{\mathbf{r}}}{r^2}.</math>
により ''I'' より決定される。磁場は一般には保存量の場ではないので、スカラーポテンシャルで書き表すことが普通はできない。しかしながら、{{仮リンク|磁場のベクトルポテンシャル|en|magnetic vector potential}}(magnetic vector potential) '''A'''('''r''')を使い、
:<math> \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}(\mathbf{r}) </math>
と書き表すことができる。

==== 電磁気学 ====
{{Main|電磁気学}}

一般に、電荷密度 ρ('''r''', t) とカレント密度 '''J'''('''r''', t) の双方が存在すると、電場と磁場の双方が発生し、両方とも時間とともに変化する。これらを決定するのが、'''E''' と '''B''' を ρ と '''J''' とへ直接関係づける一連の微分方程式（系）である[[マクスウェルの方程式]]である<ref group="note">ここに ρ は単位体積あたりの電気的電荷密度(electric charge density)であり、'''J'''は単位面積あたりのカレントフローのカレント密度(current density)である。</ref><ref name="griffiths326">{{cite book|last=Griffiths|first=David|title=Introduction to Electrodynamics|edition=3rd|page=326}}</ref>。

代わりに、スカラーポテンシャル ''V'' とベクトルポテンシャル '''A''' でこの系を記述することもできる。[[遅延ポテンシャル]]として知られる一連の積分方程式（系）は、''V'' と '''A''' を ρ と '''J''' から算出することができる<ref group="note">。このことは、{{仮リンク|ゲージ固定|en|gauge fixing}}(gauge fixing)というカレントの選択に付随したもの(contingent)である。''V'' と '''A''' は ρ と '''J''' によって完全に決定されるのではなく、むしろ、ゲージとして知られているあるスカラー函数 f('''r''', t) の差異を除外して、一意に決定される。遅延ポテンシャルの定式化は[[ローレンツゲージ]]の選択を必須とする。</ref>、このことから、電場と磁場が関係式
:<math> \mathbf{E} = -\boldsymbol{\nabla} V - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}</math>
:<math> \mathbf{B} = \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}</math>
を通して決定される<ref name="wangsness469">{{cite book|last=Wangsness|first=Roald|title=Electromagnetic Fields|edition=2nd|page=469}}</ref>。

===流体力学===
{{Main|流体力学}}
流体力学は、エネルギー運動量の保存則により関連付けられる圧力、密度、流速率を持っている。質量の連続方程式とニュートンの法則は、密度と圧力と速度場を結び付けている。

:<math>\dot \mathbf{u}  = \mathbf{F} - {\nabla p \over \rho}</math>

:<math>\dot{\rho}  + \nabla \cdot (\rho \mathbf u) = 0 </math>

ここにベクトル場は、{{仮リンク|速度場|en|velocity field}}(velocity field)である。

== 相対論的場の理論 ==
{{Main|{{仮リンク|共変な古典場理論|en|Covariant classical field theory}} }}

古典場理論の現代の定式化では、相対論的場の理論が自然の基本的側面として認識されていて、一般に[[ローレンツ共変性]]が要求される。場の理論は数学的には[[ラグランジアン (場の理論)|ラグラジアン]]を使い表現される傾向を持つ。ラグランジアンは、[[作用 (物理学)|作用原理]]を考えたときに[[場の方程式]](field equations)や理論の[[保存則]]を発生させる機能を持っている。

単位として、真空中の光の速度 <math>c</math> は 1 に等しいとする<ref group="note">。これは、距離と時間の単位を秒あたりの光の速度として選ぶことと等価である。<math>c=1</math> を選ぶと、式が簡単になる。例えば、<math>E=mc^2</math> は <math>E=m</math> となる（ <math>c^2=1</math> であるので、単位を気にする必要がない）。このことにより、表現の複雑さを解消して、基礎となっている原理に焦点を当てることができる。この「トリック」は実際の数値計算では使うことはできない。</ref>。

=== ラグランジュ力学 ===
{{Main|ラグランジアン (場の理論)|ラグランジアン}}

場のテンソル <math>\phi</math> が与えられると、[[ラグラジアン (場の理論)|ラグラジアン密度]]と呼ばれるスカラー <math>\mathcal{L}(\phi,\partial\phi,\partial\partial\phi, ...,x)</math> を、場のテンソル <math>\phi</math> とこのテンソルの微分から構成することができる。

汎函数の作用は、このラグランジアン密度を時空上の積分することにより、
:<math>\mathcal{S} = \int{\mathcal{L} \mathrm{d}^4x}</math>
として構成することができる。従って、ラグラジアン自体は、全空間でのラグラジアン密度の積分に等しい。

従って、[[作用 (物理学)|作用原理]]を適用することにより、[[オイラー＝ラグランジュ方程式]]は、
:<math>\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta\phi}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} -\partial_\mu  \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)+.~.~.+(-1)^m\partial_{\mu_1} \partial_{\mu_2}.~.~.\partial_{\mu_{m-1}} \partial_{\mu_m} \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu_1} \partial_{\mu_2}...\partial_{\mu_{m-1}}\partial_{\mu_m} \phi)}\right)=0.</math>
として得られる。

== 相対論的場 ==

2つの最も有名なローレンツ共変な古典場理論を以下に記述する。

=== 電磁気学 ===
{{Main|電磁場|電磁気学}}
歴史的には、最初の（古典）場の理論は、電気的な場と磁気の場を分けて記述する場の理論であった。数々の実験の後で、これら 2つの場が関係している、実際、同じ[[電磁場]]という場の 2つの側面であることが判明した。[[ジェームズ・クラーク・マクスウェル|マクスウェル]](James Clerk Maxwell)の[[電磁場]]の理論は、電荷をもつ物質と電磁場の相互作用を記述する。この場の理論の最初の定式化は、[[電気|電気的]]な場と[[磁気|磁気的]]な場を記述するためにベクトル場を使った。特殊相対論の出現により、[[テンソル]]を使ったより完全な定式化が発見された。電気な場と磁気的な場を使う 2つのベクトル場の替わりに、これら 2つの場を同時に表現するテンソル場が使われる。

既に、[[電磁ポテンシャル]] <math>A_a=\left(-\phi, \vec{A} \right)</math> と[[電荷・電流密度]]（電磁 4 カレント） <math>j_a=\left(-\rho, \vec{j}\right)</math> が知られているが、任意の時空の点での電磁場は、反対称 (0,2)-階の[[電磁テンソル]]場
:<math>F_{ab} = \partial_a A_b - \partial_b A_a.</math>
により記述される。

==== ラグランジアン ====

この場の力学を得るためには、場からスカラーを構成してみる。真空では、<math>\mathcal{L} = \frac{-1}{4\mu_0}F^{ab}F_{ab}</math> である。相互作用項を得るために[[ゲージ理論|ゲージ場理論]]を使うことができて、これから
:<math>\mathcal{L} = \frac{-1}{4\mu_0}F^{ab}F_{ab} + j^aA_a.</math>
を得る。

==== 方程式 ====

オイラー・ラグランジェ方程式は、
:<math>\partial_b\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_b A_a\right)}\right)=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_a}</math>
であることを言っているので、この式と組み合わせることで、求めている結果を得る。

<math>\partial\mathcal{L}/\partial A_a = \mu_0 j^a</math> となっていることは容易にわかる。左辺は、トリッキーであるが、<math>F^{ab}</math> の各要素に注意すると、計算の結果は <math>\partial\mathcal{L}/\partial(\partial_b A_a) = F^{ab}</math> となる。と同時に、運動方程式は、

:<math>\partial_b F^{ab}=\mu_0j^a</math>

となる。これはベクトルの方程式で、真空での方程式が[[マックスウェル方程式]]となる。他の 2つは、次式に示す F が A の 4-curl であるという事実から得られる。

:<math>6F_{[ab,c]} \, = F_{ab,c} + F_{ca,b} + F_{bc,a} = 0.  </math>

ここに、コンマは[[偏微分]]を表す。

===重力===
{{Main|重力|一般相対論}}
ニュートン重力が[[特殊相対論]]と整合性がないことが判明した後、[[アルベルト・アインシュタイン]](Albert Einstein)は[[一般相対論]]と呼ばれる重力の新しい理論を定式化した。この理論は、[[重力]]を質量により'''[[時空]]が歪められる'''という幾何学的現象として扱い、[[重力場]]を数学的には[[計量テンソル]]と呼ばれる[[テンソル場]]により表現している。[[アインシュタイン方程式|アインシュタインの場の方程式]]は、この曲率がどのように生成されるかを記述している。場の方程式は[[アインシュタイン・ヒルベルト作用]]を使い導出される。<math>R \, =R_{ab}g^{ab}</math> を[[リッチテンソル]] <math>\, R_{ab}</math> と[[計量テンソル]] <math>\, g_{ab}</math> の項で書き下した[[スカラー曲率|リッチスカラー曲率]]とすると、ラグラジアン

:<math>\mathcal{L} = \, R \sqrt{-g}</math>,

を変分することは、真空の場の方程式

:<math>G_{ab}\, =0</math>

を導出することを意味する。ここに、<math>G_{ab} \, =R_{ab}-\frac{R}{2}g_{ab}</math> は[[アインシュタインテンソル]]である。

==関連項目==
*[[場の量子論]]
*{{仮リンク|古典的統一場理論|en|Classical unified field theories}}(Classical unified field theories)
*[[ハミルトン場の理論#相対論的場の理論|共変ハミルトン場の理論]](Covariant Hamiltonian field theory)
*{{仮リンク|一般相対論における変分法|en|Variational methods in general relativity}}(Variational methods in general relativity)
*{{仮リンク|ヒッグス場 (古典論)|en|Higgs field (classical)}}(Higgs field (classical))

==脚注==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
<references group="note"/>
=== 出典 ===
<references/>

==参考文献==
*{{Cite book
| first = C.
| last = Truesdell
| author-link = Clifford Truesdell
| first2 = R.A.
| last2 = Toupin
| author2-link = Richard Toupin
| year = 1960
| contribution = The Classical Field Theories
| title = Principles of Classical Mechanics and Field Theory/Prinzipien der Klassischen Mechanik und Feldtheorie
| editor-last = Flügge
| editor-first = Siegfried 
| editor-link = Siegfried Flügge
| series = Handbuch der Physik (Encyclopedia of Physics)
| volume = III/1
| pages = 226&ndash;793
| place = [[Berlin]]&ndash;[[Heidelberg]]&ndash;[[ニューヨーク|New York]]
| publisher = [[Springer-Verlag]]
| zbl = 0118.39702
| postscript = <!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->{{inconsistent citations}}
}}.

==外部リンク==
*{{cite web| last=Thidé| first=Bo| authorlink=Bo Thidé| title=Electromagnetic Field Theory| url=http://www.plasma.uu.se/CED/Book/EMFT_Book.pdf| accessdate=February 14, 2006}}{{リンク切れ|date=2017年9月 |bot=InternetArchiveBot }}
*{{cite paper | last=Carroll|first= Sean M | title=Lecture Notes on General Relativity | arxiv=gr-qc/9712019|bibcode=1997gr.qc....12019C}}
*{{cite web| last=Binney|first= James J | title=Lecture Notes on Classical Fields | url=http://www-thphys.physics.ox.ac.uk/user/JamesBinney/classf.pdf| accessdate=April 30, 2007 }}
* {{cite journal | authorlink = Gennadi Sardanashvily | last = Sardanashvily | first = G. | title = Advanced Classical Field Theory | journal = International Journal of Geometric Methods in Modern Physics | publisher = [[World Scientific]] | volume = 5 | issue = 7 | page = 1163 |date=November 2008 | isbn = 978-981-283-895-7 | arxiv = 0811.0331 | doi = 10.1142/S0219887808003247 | bibcode = 2008IJGMM..05.1163S }}

{{physics-stub}}

{{DEFAULTSORT:はのこてんろん}}
[[Category:物理学]]
[[Category:時空]]