境界値問題のソースを表示

[[File:Boundary value problem-en.svg|thumb|right|[[微分方程式]]が有効となる領域と、付帯される境界条件を表す図]]
[[数学]]の[[微分方程式]]の分野における'''境界値問題'''（きょうかいちもんだい、{{lang-en-short|''Boundary value problem''}}）とは、'''[[境界条件]]'''と呼ばれる付帯的な制限が与えられている[[微分方程式]]のことである。境界値問題の解とは、与えられた境界条件を満たすような微分方程式の解のことである。

境界値問題は、[[物理学]]のいくつかの分野によく現れる。「{{仮リンク|正規モード|en|normal mode<!-- [[:ja:固有振動]] とリンク -->}}の決定」のような[[波動方程式]]を含む問題はしばしば境界値問題として記述される。境界値問題に関する一つの重要な理論として[[スツルム＝リウヴィル型微分方程式#Sturm–Liouville 理論|スツルム＝リウヴィル理論]]がある。その理論における境界値問題の解析には、[[微分作用素]]の[[固有関数]]の計算が含まれる。

応用上意義のあるものであるために、境界値問題は[[良設定問題]]でなければならない。これはすなわち、問題に与えられた入力に対して、その入力に連続的に依存するような解がただ一つ存在することを意味する。

[[偏微分方程式]]の分野における多くの理論的な研究は、科学的あるいは工学的な応用上実際に良設定であるような境界値問題の解決を目的としている。最も早い境界値問題の研究として、[[ラプラス方程式]]の解である[[調和関数]]の発見についての[[ディリクレ問題]]が挙げられる。その解は[[ディリクレの原理]]により与えられた。

== 解説 ==

境界値問題は[[初期値問題]]と類似なものである。境界値問題は、方程式の独立変数の全端点（境界）における条件の与えられたものであるのに対し、初期値問題は、独立変数のある一点（そしてそれは領域内での最も小さな境界点、すなわち初期点）における条件の与えられたものである。

例えば、独立変数として領域 [0,1] に含まれる「時間」を考えた場合、境界値問題は <math>y(t)</math> に対して <math>t=0</math> および <math>t=1</math> の両端点での条件を課す。一方で、初期値問題は <math>y(t)</math> （あるいは <math>y'(t)</math> ）の <math>t=0</math> での条件を課す。

一端が[[絶対零度]]、もう一端が水の[[凝固点]]で保たれているような鉄の棒に対し、その棒のすべての箇所の温度を求めるような問題は境界値問題として記述されることが期待される。

境界値問題の具体例（空間に関する一次元の問題）として、
:<math>y''(x)+y(x)=0 \, </math>
に境界条件

:<math>y(0)=0, \ y(\pi/2)=2 </math>

が与えられた場合の未知関数 <math>y(x)</math> を求める、というものが挙げられる。

境界条件が無い場合、そのような方程式の一般解は

:<math>y(x) = A \sin(x) + B \cos(x)\,</math>

で与えられる。境界条件 <math>y(0)=0</math> より
:<math>0 = A \cdot 0 + B \cdot 1</math>
が得られるが、これは <math>B=0</math> を意味する。境界条件 <math>y(\pi/2)=2</math> より
:<math>2 = A \cdot 1 </math>
が得られるため、<math>A=2</math> となる。したがって、与えられた境界条件により一意解
:<math>y(x)=2\sin(x) \,</math>
が得られることとなる。

== 境界値問題の種類 ==
[[Image:Bounday value problem for a rod.PNG|frame|right|イメージ化された二次元の棒に対する境界値問題]]

もし問題の{{仮リンク|法線微分|en|normal derivative}}に対する値が境界で定まるなら、そのような境界条件は[[ノイマン境界条件]]と呼ばれる。例えば、鉄の棒の一端に熱源が置かれ、実際の温度は不明であるが一定の割合で熱が加え続けられるような場合が考えられる。

もし問題の値自体が境界において定まるなら、そのような境界条件は[[ディリクレ境界条件]]と呼ばれる。例えば、鉄の棒の一端が絶対零度に固定されている場合などが考えられる。

もし境界が曲線や曲面であり、その法線微分と問題自体の値がその境界において定まるなら、そのような境界条件は[[コーシー境界条件]]と呼ばれる。

境界条件とは別に、境界値問題はその微分作用素の形状によっても分類される。[[楕円型作用素]]に対しては、{{仮リンク|楕円型境界値問題|en|elliptic boundary value problem}}と、{{仮リンク|双曲型作用素|en|hyperbolic operator<!-- リダイレクト先の「[[:en:Hyperbolic partial differential equation]]」は、[[:ja:双曲型偏微分方程式]] とリンク -->}}に対しては、[[双曲型境界値問題]]と、それぞれ呼ばれる。これらの分類はさらに作用素の線形・非線形の別によって細分される。

== 関連項目 ==
{{multicol}}
'''数学理論:''' 
*[[初期値問題]]
*[[微分方程式]]
*[[グリーン関数]]
*{{仮リンク|確率過程と境界値問題|en|Stochastic processes and boundary value problems}}
*[[スツルム＝リウヴィル型微分方程式#Sturm–Liouville 理論|スツルム＝リウヴィル理論]]
*[[ディリクレ境界条件]]
*[[ノイマン境界条件]]
*[[ロビン境界条件]]
*{{仮リンク|ゾンマーフェルトの放射条件|en|Sommerfeld radiation condition}}
*[[コーシー境界条件]]
*[[混合境界条件]]
{{multicol-break}}
'''物理学への応用:'''
*[[波動]]
*{{仮リンク|正規モード|en|normal mode<!-- [[:ja:固有振動]] とリンク -->}}
*[[静電気学]]
*[[ラプラス方程式]]
*[[ポテンシャル論]]
*{{仮リンク|大気中の電波衰弱の計算|en|Computation of radiowave attenuation in the atmosphere}}
*[[ブラックホール]]
{{multicol-break}}
'''数値計算:''' 
*{{仮リンク|シューティング法|en|shooting method}}
*{{仮リンク|直接多重シューティング法|en|direct multiple shooting method}}
{{multicol-end}}

== 参考文献 ==
* A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, ''Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition)'', Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2.
* A. D. Polyanin, ''Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists'', Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9.

== 外部リンク ==
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde.htm Linear Partial Differential Equations: Exact Solutions and Boundary Value Problems] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:きようかいちもんたい}}

[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:微分方程式]]
[[Category:常微分方程式]]
[[Category:境界条件|*]]
[[Category:数学の問題]]