変位のソースを表示

{{出典の明記|date=2011年10月}}
{{古典力学}}
{{物理量
|名称=
|英語=displacement
|記号=''x'', ''d''
|次元=''L''
|階=ベクトル
|SI=[[メートル]] (m)
|CGS=[[センチメートル]] (cm)
|FPS=[[フィート]] (ft)
|プランク=[[プランク長]] (''l''{{sub|P}})
|原子=[[ボーア半径]] (''a''{{sub|0}})
}}
'''変位'''（へんい、{{lang-en|displacement}}）とは、[[物体]]の[[位置]]の変化のこと<ref>{{cite|和書 |author=戸田盛和 |title=力学 |publisher=岩波書店 |year=1982 |isbn=4-00-007641-8 |page=9}}</ref>。
==概要==
変位の対象は、[[古典力学]]での[[質点]]の位置であったり、[[結晶]]（[[固体]]、あるいは結晶[[表面]]やそれに吸着した原子、[[分子]]など）での[[原子]]の位置（原子変位）であったりする。

表記は、変位の大きさに着目する ''x,'' ''d'' のような場合や、変化した前後の位置の差であるという点に注目する &Delta;''r'' という場合がある。

[[物理量]]としての変位はベクトルで使うことが多く、変位ベクトルと呼ばれる。

物体の位置を表現するには原点からの位置ベクトルを使う方法もある。どこかに基準点を定めるということでは変位もあまり違わないが、局所的な現象を表すときには基準位置とそこからの変位で記述したほうが簡単になることもある。

変位'''''x''''' と位置ベクトル'''''r''''' は次の式で変換できる。
:<math>\boldsymbol{x}=\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_0</math>
ここで'''''r'''''<sub>0</sub> は基準点の位置ベクトルである。

== 例 ==
[[File:Distancedisplacement.svg|thumb|移動距離（distance）と変位（displacement）の違い。]]
[[ばね]]に繋いだ物体の運動では、物体の位置は、ばねの[[自然長]]の位置を基準とした変位で表すのが便利である。

このとき物体の[[位置エネルギー]]は、次のような式で表せる。
:<math>U=\frac{1}{2}kx^2</math>
ここで ''x'' は、ばねの自然長の位置を基準とした変位、''k'' は[[ばね定数]]である。

物体にかかる重力は基準位置（とエネルギーの基準点）を動かすだけだから、ばねがどんな方向を向いていても、また重力がかかっているときでもこの式は変更する必要がない。このようにばねの運動では変位を含む部分が本質的といえる。

==連続体力学における変位==
[[File:Displacement of a continuum.svg|400px|right|thumb|Figure 1. Motion of a continuum body.]]
[[連続体力学]]においては、変位とは物質点の位置の変化である。変位には、[[剛体]]変位と[[変形]]という二つの要素がある。剛体変位は、形状や大きさの変化を伴わない、物体の平行移動や回転である。連続体の変位後に物質点間に相対変位がある場合、変形が生じている。一方、物質点間に相対変位がない場合、変形は生じておらず、剛体変位が生じたと言える。

連続体の変位の記述において、変位前の状態を基準配置、変位後の状態を現在配置と呼ぶ。ここで配置とは、物体の全ての物質点の位置から構成される集合である。

===変位ベクトル===
変位の記述には二つの方法がある。一つは'''物質表示'''やラグランジュ表示と呼ばれ、基準配置における位置ベクトル '''''X''''' を用いて物理量を表す方法である。物質表示の際に参照される座標系を物質座標系と呼ぶ。もう一つは、'''空間表示'''やオイラー表示と呼ばれ、現在配置における位置ベクトル '''''x''''' を用いて物理量を表す方法である。空間表示の際に参照される座標系を空間座標系と呼ぶ。[[連続体力学#連続体の記述方法]]も参照のこと。

基準配置と現在配置における物質点 P の位置を関連付けるベクトルを変位ベクトルと呼び、物質表示では <math>\ \boldsymbol u(\mathbf X,t) = u_{i}\boldsymbol e_{i}</math> 、空間表示では <math>\ \boldsymbol U(\mathbf x,t) = U_{i}\boldsymbol E_{i}</math> と記述される。

変位場は物体の全ての物質点、全ての変位ベクトルの[[ベクトル場]]であり、基準配置と現在配置を関連付ける。一般に、変位場は物質表示によって以下のように記述される。
:<math>\ \boldsymbol u(\mathbf X,t) = \boldsymbol b(\boldsymbol X,t)+\boldsymbol x(\boldsymbol X,t) - \boldsymbol X \qquad</math> または、 <math>\qquad u_i = \alpha_{iJ}b_J + x_i - \alpha_{iJ}X_J</math>
また、空間表示では以下のようになる。
:<math>\ \boldsymbol U(\mathbf x,t) = \boldsymbol b(\boldsymbol x,t)+\boldsymbol x - \boldsymbol X(\boldsymbol x,t) \qquad</math> または、 <math>\qquad U_J = b_J + \alpha_{Ji}x_i - X_J \,</math>
ここで、 <math>\ \alpha_{Ji}</math> は、物質座標系の基底 <math> \boldsymbol e_{i}</math> と空間座標系の基底 <math> \boldsymbol E_{J}</math> の方向余弦であり、以下の関係が成り立つ。
:<math>\ \boldsymbol E_J \cdot \boldsymbol e_i = \alpha_{Ji}=\alpha_{iJ}</math>

また、<math> \ u_{i}</math> と <math> \ U_{J}</math> の関係は以下のようになる。
:<math>\ u_i=\alpha_{iJ}U_J \qquad</math> または、 <math>\qquad U_J=\alpha_{Ji}u_i</math>

また、以下の関係が成り立つ。
:<math>\ \boldsymbol e_i = \alpha_{iJ}\boldsymbol E_J,</math>
:<math>\boldsymbol u(\boldsymbol X,t)=u_i\boldsymbol e_i=u_i(\alpha_{iJ}\boldsymbol E_J)=U_J\boldsymbol E_J=\boldsymbol U(\boldsymbol x,t)</math>

<math>\boldsymbol b = 0</math> の場合、物質座標系と空間座標系を組み合わせることが一般的であり、それぞれの基底の方向余弦は[[クロネッカーのデルタ]]となる。
:<math>\ \boldsymbol E_J \cdot \boldsymbol e_i = \delta_{Ji}=\delta_{iJ}</math>

以上より、物質座標系において以下の式が得られる。
:<math>\ \boldsymbol u(\boldsymbol X,t) = \boldsymbol x(\boldsymbol X,t) - \boldsymbol X \qquad</math> または、 <math>\qquad u_i = x_i - \delta_{iJ}X_J = x_i - X_i </math>

また、空間座標系では以下のようになる。
:<math>\ \boldsymbol U(\boldsymbol x,t) = \boldsymbol x - \boldsymbol X(\boldsymbol x,t) \qquad</math> または、 <math>\qquad U_J = \delta_{Ji}x_i - X_J =x_J - X_J</math>

===変位勾配テンソル===
物質表示の変位ベクトル
:<math>\boldsymbol u(\boldsymbol X,t) = \boldsymbol x(\boldsymbol X,t) - \boldsymbol X </math>
を物質座標'''''X''''' で偏微分して得られる[[テンソル]]は、'''物質変位勾配テンソル''' &nabla;<sub>'''''X'''''</sub> '''''u''''' または単に'''変位勾配テンソル'''<ref>{{cite|和書 |author=渋谷陽二 |title=塑性の物理 |publisher=森北出版 |year=2011 |isbn=978-4-627-66761-7 |page=2}}</ref>と呼ばれる。
:<math>\begin{align}
\nabla_{\boldsymbol X}\boldsymbol u &= \nabla_{\boldsymbol X}\boldsymbol x - \boldsymbol I \\
 &= \boldsymbol F - \boldsymbol I
\end{align}\qquad</math>
または、
:<math>\frac{\partial u_i}{\partial X_K}=\frac{\partial x_i}{\partial X_K}-\delta_{iK} </math>
ここで、''F'' は[[変形勾配]]テンソル、''I'' は恒等テンソルである。

同様に、空間表示の変位ベクトル
:<math>\boldsymbol U(\boldsymbol x,t) = \boldsymbol x - \boldsymbol X(\boldsymbol x,t) </math>
を空間座標で偏微分して得られるテンソルは、'''空間変位勾配テンソル''' &nabla;<sub>'''''x'''''</sub> '''''U''''' と呼ばれる。
:<math> \begin{align}
\nabla_{\boldsymbol x}\boldsymbol U &= \boldsymbol I - \nabla_{\boldsymbol x}\boldsymbol X \\
&= \boldsymbol I -\boldsymbol F^{-1}
\end{align}</math>
または、
:<math>\frac{\partial U_J}{\partial x_k} = \delta_{Jk}-\frac{\partial X_J}{\partial x_k}</math>

===変位勾配テンソルとひずみテンソルの関係===
{{see also|連続体力学#歪み}}
変位勾配テンソルには性質の異なる2つの内容が含まれる。<ref>{{cite|和書 |author=井田喜明 |title=自然災害のシミュレーション入門 |publisher=朝倉書店 |year=2014 |isbn=978-4-254-16068-0 |page=13}}</ref><ref>微小変位を仮定し、空間表示と物質表示を区別せずすべての変数を小文字で表記する。</ref>
:<math>\begin{align}& \frac{\partial u_i}{\partial x_j} = \epsilon_{ij} + \omega_{ij},\\
& \epsilon_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right),\quad
\omega_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}-\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)
\end{align}</math>
変位勾配テンソルの対称成分&epsilon;は[[ひずみ]]と呼ばれ、形状の変化の程度をあらわす量である。一方、反対称成分&omega;は物体が形状を変化させずに単に回転することを表す。

== 脚注 ==
{{reflist}}

==参考文献==
{{参照方法|section=1|date=2014年1月9日 (木) 04:03 (UTC)}}
*{{cite book
| last = Dill|first = Ellis Harold
| title =Continuum Mechanics: Elasticity, Plasticity, Viscoelasticity
| publisher = CRC Press
| year = 2006
| location = Germany
| url = https://books.google.co.jp/books?id=Nn4kztfbR3AC&redir_esc=y&hl=ja
| isbn = 0-8493-9779-0}}
*{{cite book
| last = Hutter|first = Kolumban
| coauthors = Klaus Jöhnk
| title = Continuum Methods of Physical Modeling
| publisher = Springer
| year = 2004
| location = Germany
| url = https://books.google.ca/books?id=B-dxx724YD4C&hl=en
| isbn = 3-540-20619-1}}
*{{cite book
| last = Lubarda
| first = Vlado A.
| title = Elastoplasticity Theory
| publisher = CRC Press
| year = 2001
| url = https://books.google.ca/books?id=1P0LybL4oAgC&hl=en
| isbn = 0-8493-1138-1}}
*{{cite book
| last = Macosko
| first = C. W.
| authorlink =
| coauthors =
| title = Rheology: principles, measurement and applications
| publisher = VCH Publishers
| year = 1994
| isbn = 1-56081-579-5}}
*{{cite book
| last = Mase
| first = George E.
| title = Continuum Mechanics
| publisher = McGraw-Hill Professional
| year = 1970
| url = https://books.google.co.jp/books?id=bAdg6yxC0xUC&redir_esc=y&hl=ja
| isbn = 0-07-040663-4}}
*{{cite book
| last = Mase
| first = G. Thomas
| coauthors = George E. Mase
| title = Continuum Mechanics for Engineers
| publisher = CRC Press
| year = 1999
|edition= Second
| url = https://books.google.co.jp/books?id=uI1ll0A8B_UC&redir_esc=y&hl=ja
| isbn = 0-8493-1855-6}}
*{{cite book
| last = Nemat-Nasser
| first = Sia
| title = Plasticity: A Treatise on Finite Deformation of Heterogeneous Inelastic Materials
| publisher = Cambridge University Press
| year = 2006
| location = Cambridge
| url = https://books.google.ca/books?id=5nO78Rt0BtMC&hl=en
| isbn = 0-521-83979-3}}

{{DEFAULTSORT:へんい}}
[[Category:物理学]]
[[Category:応用力学]]
[[Category:ベクトル]]