変分原理のソースを表示

{{出典の明記|date=2011年7月}}
'''変分原理'''（へんぶんげんり、{{lang-en|variational principle}}）は、[[変分法]]を用いた物理学の原理。
特に、
* [[幾何光学]]においては、[[フェルマーの原理]]
* [[電磁気学]]における[[ディリクレの原理]]
* [[古典力学]]、[[電磁気学]]、[[量子力学]]などにおいては、作用次元を持つので、[[最小作用の原理]]という。

変分原理は[[積分]]の形で扱うので、[[座標系]]の取り方に依存しない。従って拡張性に優れ、いろいろな分野に応用、利用される。

== 古典力学 ==
作用積分''S'' を、

:<math> S\left[q(t)\right] := \int_{t_1}^{t_2} L (q(t), \dot{q}(t),t) dt, </math>

とする。''L'' は[[ラグランジアン]]、''q''(''t'') は[[一般化座標]]、<math> \dot{q}(t) := dq(t)/dt </math> はその[[時間微分]]、すなわち一般化速度である。ここで、ある時刻''t''<sub>1</sub>、''t''<sub>2</sub> において、''q''(''t''<sub>1</sub>)、''q''(''t''<sub>2</sub>) は固定されているとする。

この作用積分 ''S'' に対する変分原理は、作用積分に対する[[停留点|停留値]]問題を考えることであり、

:<math> \delta S\left[q(t)\right] = \delta \int_{t_1}^{t_2} L (q(t), \dot{q}(t),t) dt = 0 </math>

ということに相当する。
'''変分'''は、一般化座標 ''q'' を、

:<math>q(t) \to q(t) + \delta q(t),</math>

と時刻 ''t'' 上で ''&delta;q'' だけ微小変化させることに相当する。変分におけるこの微小変化は仮想的な変位を与えることであり、これは時間 ''t'' に対する微小変位 ''dq'' とは異なった概念である。''&delta;q'' は元の経路 ''q''(''t'') 近傍の別の（仮想的な）経路との差であり、他方、時間変化 ''dq'' は経路 ''q'' に沿った変化の大きさを表す。

一般化座標 ''q'' の微小変化 ''&delta;q'' について、始点 ''t'' =''t''<sub>1</sub> と終点 ''t'' =''t''<sub>2</sub> においては経路が固定されているので、

:<math>\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0</math>

は常に満たされる。

一般化座標 ''q'' の表す経路の変化に伴い、一般化速度 <math>\dot{q}</math> も微小変化する。

:<math>\dot{q}(t) \to \dot{q}(t) + \delta \dot{q}(t).</math>

ここで、一般化速度の微小変化 <math>\delta \dot{q}(t)</math> は、ある時刻''t'' における、二つの経路での一般化速度の差を表す。

:<math>\delta \dot{q}(t) = \frac{d}{dt}\delta q(t).</math>

作用積分の変分を計算すると、

:<math>\begin{align}
\delta S\left[q(t)\right] &= S\left[q+\delta q\right] - S\left[q\right]\\
&= \int_{t_1}^{t_2} L(q(t) + \delta q(t), \dot{q}(t) + \delta \dot{q}(t),t) dt - \int_{t_1}^{t_2} L (q(t), \dot{q}(t),t) dt \\
&= \int_{t_1}^{t_2} \left[ 
L(q + \delta q, \dot{q} + \delta \dot{q},t) 
- \left\{ L(q, \dot{q} + \delta \dot{q},t) - L(q, \dot{q} + \delta \dot{q},t)\right\}
- L (q, \dot{q},t) \right] dt
,\end{align}</math>

と変形できる。ここで <math>\delta q</math> および <math>\delta \dot{q}</math> は充分小さいので、積分中の第一項と第二項、第三項と第四項の組はそれぞれ[[偏微分]]の形に書き換えられ、

:<math>\begin{align}
\delta S\left[q(t)\right] &= \int_{t_1}^{t_2} \left[ \frac{\partial L}{\partial q} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q} \right] dt\\
&= \int_{t_1}^{t_2} \left[ 
\frac{\partial L}{\partial q} \delta q 
+ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q\right) 
- \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)\delta q 
\right] dt\\
&= \left. \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta {q} \right|_{t_1}^{t_2} + \int_{t_1}^{t_2} \left[ \frac{\partial L}{\partial q}  - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \right] \delta q dt 
,\end{align}</math>

となる。''&delta;q'' (''t''<sub>1</sub>) = ''&delta;q'' (''t''<sub>2</sub>) = 0 から第一項は 0 となる。''q''(''t'') の任意の微小変化 ''&delta;q''(''t'') に対して、作用積分の変分がゼロ ''&delta;S'' = 0 である条件として、

:<math> \frac{\partial L}{\partial q}(q(t),\dot{q}(t),t) 
- \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}(q(t),\dot{q}(t),t) \right) = 0 ,</math>

を得る。これは[[オイラー＝ラグランジュ方程式]]になっている。

同様にして変分原理を、幾何光学（光線光学）における光の[[反射 (物理学)|反射]]や[[屈折]]の問題について適用すれば、[[フェルマーの原理]]が得られる。フェルマーの原理において、作用積分に対応するものは空間の 2 点間を結ぶ経路の[[光学的距離|光路長]]であり、ラグランジアンに対応するものは[[屈折率]]となる。

==電磁気学==
微分形の[[ガウスの法則]]、

:<math>\nabla\cdot\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = {\rho(\boldsymbol{r}) \over \varepsilon_0}</math>

および[[静磁場]]における[[ファラデーの電磁誘導の法則]]、

:<math>\nabla\times\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=\boldsymbol{0}</math>

が成り立つ[[静電場]]について、電場 <math>\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})</math> を[[電位|静電ポテンシャル]] <math>\phi(\boldsymbol{r})</math> で書き直せば<ref group="注">電場 <math>\scriptstyle \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})</math> が静電ポテンシャルの[[勾配 (ベクトル解析)|勾配]] <math>\scriptstyle -\nabla\phi(\boldsymbol{r})</math> で書き直せることは、勾配の[[回転 (ベクトル解析)|回転]] <math>\scriptstyle \nabla\times\nabla\phi(\boldsymbol{r})</math> が[[恒等式|恒等的]]にゼロになることから分かる。</ref>、

:<math>\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = -\nabla\phi(\boldsymbol{r})</math>

次の[[ポアソン方程式]]が得られる。

:<math>0 = \nabla^2\phi(\boldsymbol{r}) + {\rho(\boldsymbol{r}) \over \varepsilon_0}.</math>

ここで、<math>\rho(\boldsymbol{r})</math> は位置 <math>\boldsymbol{r}</math> における[[電荷密度]]、<math>\varepsilon_0</math> は[[国際単位系]]における[[真空の誘電率]]、<math>\nabla^2</math> は[[ラプラス作用素|ラプラシアン]]を表す。

この方程式は、次の <math>\phi(\boldsymbol{r})</math> の[[汎関数]] <math>F[\phi(\boldsymbol{r})]</math> について変分原理を用いることでも得られる。

:<math>F[\phi(\boldsymbol{r})] 
= \int_V \left\{
{1 \over 2}\left|\nabla\phi(\boldsymbol{r})\right|^2 
- {\rho(\boldsymbol{r}) \over \varepsilon_0} \phi(\boldsymbol{r})
\right\}dV.
</math>

[[積分]]中の項を <math>\varepsilon_0</math> 倍した、<math>{\varepsilon_0 \over 2}\left|\nabla\phi(\boldsymbol{r})\right|^2</math> は静電場のエネルギー密度であり、<math>\rho(\boldsymbol{r})\phi(\boldsymbol{r})</math> は電荷密度の[[位置エネルギー]]である。

境界上 <math>\partial V</math> で <math>\delta \phi(\boldsymbol{r})=0</math> として、 汎関数 <math>F[\phi(\boldsymbol{r})]</math> の変分を考えると、

:<math>\begin{align}
\delta F[\phi(\boldsymbol{r})] &= \int_V \left\{ 
{1 \over 2}\left|\nabla\left(\phi(\boldsymbol{r})+\delta\phi(\boldsymbol{r})\right)\right|^2 
- {\rho(\boldsymbol{r}) \over \varepsilon_0} \left(\phi(\boldsymbol{r})+\delta\phi(\boldsymbol{r})\right)
\right\}dV
- \int_V \left\{ {1 \over 2}
\left|\nabla\phi(\boldsymbol{r})\right|^2 
- {\rho(\boldsymbol{r}) \over \varepsilon_0} \phi(\boldsymbol{r})
\right\}dV\\
&= \int_V \left\{ 
{1 \over 2}\left(\nabla\phi(\boldsymbol{r})+\nabla\delta\phi(\boldsymbol{r})\right)
\cdot\left(\nabla\phi(\boldsymbol{r})+\nabla\delta\phi(\boldsymbol{r})\right) 
- {\rho(\boldsymbol{r}) \over \varepsilon_0} \delta\phi(\boldsymbol{r})
- {1 \over 2}\left|\nabla\phi(\boldsymbol{r})\right|^2 
\right\}dV\\
&= \int_V \left\{ 
{1 \over 2}\left(
\left|\nabla\phi(\boldsymbol{r})\right|^2
+ 2\nabla\delta\phi(\boldsymbol{r}) \cdot \nabla\phi(\boldsymbol{r}) 
+ \left|\nabla\delta\phi(\boldsymbol{r})\right|^2
\right)
- {\rho(\boldsymbol{r}) \over \varepsilon_0} \delta\phi(\boldsymbol{r})
- {1 \over 2}\left|\nabla\phi(\boldsymbol{r})\right|^2 
\right\}dV\\
&= \int_V \left\{
\nabla \delta \phi(\boldsymbol{r}) \cdot \nabla \phi(\boldsymbol{r}) 
- {\rho(\boldsymbol{r}) \over \varepsilon_0} \delta \phi(\boldsymbol{r})
\right\}dV
\end{align}</math>

と変形できる。ここで、<math>\delta \phi(\boldsymbol{r})</math> の二次の項は無視した。ナブラの[[ナブラ#積の法則|積の規則]]より、次の式が成り立つから、

:<math>\nabla \delta\phi \cdot \nabla \phi = \nabla\cdot(\delta\phi \nabla \phi) - \delta\phi \nabla^2 \phi</math>

変分は、

:<math>\begin{align}
\delta F[\phi(\boldsymbol{r})] &= \int_V \left\{
\nabla\cdot\left(\delta\phi(\boldsymbol{r}) \nabla \phi(\boldsymbol{r})\right) 
- \delta\phi(\boldsymbol{r}) \nabla^2 \phi(\boldsymbol{r})
- {\rho(\boldsymbol{r}) \over \varepsilon_0} \delta\phi(\boldsymbol{r})
\right\}dV\\
&= \int_{\partial V}\delta\phi(\boldsymbol{r}) \nabla \phi(\boldsymbol{r}) \cdot d\boldsymbol{S}
- \int_V \left\{
\nabla^2 \phi(\boldsymbol{r})
+ {\rho(\boldsymbol{r}) \over \varepsilon_0} 
\right\}\delta\phi(\boldsymbol{r}) dV\\
&= - \int_V \left\{
\nabla^2 \phi(\boldsymbol{r})
+ {\rho(\boldsymbol{r}) \over \varepsilon_0} 
\right\}\delta\phi(\boldsymbol{r}) dV
\end{align}</math>

となる。ここで、[[発散定理|ガウスの発散定理]]および境界上 <math>\partial V</math> で静電ポテンシャルの変分 <math>\delta \phi(\boldsymbol{r})</math> がゼロであることを使った。

このことから、汎関数 <math>F[\phi(\boldsymbol{r})]</math> の変分が任意の <math>\delta \phi(\boldsymbol{r})</math> に対しゼロになる条件は、
:<math>
\delta F[\phi(\boldsymbol{r})] = - \int_V \left\{
\nabla^2 \phi(\boldsymbol{r})
+ {\rho(\boldsymbol{r}) \over \varepsilon_0} 
\right\}\delta\phi(\boldsymbol{r}) dV = 0
</math>

関数 <math>\phi(\boldsymbol{r})</math> が領域 <math>V</math> 上でポアソン方程式、

:<math>\nabla^2 \phi(\boldsymbol{r}) + {\rho(\boldsymbol{r}) \over \varepsilon_0} = 0</math>

を満たすことであることが確認できる。

==量子力学==
===リッツの変分原理===
ここでは'''リッツの変分原理''' (Ritz variational principle) の応用として、変分原理を用いた[[基底状態]]の[[波動関数]]の[[近似]]について述べる。

[[ハミルトニアン]] <math>\hat{H}</math> の[[固有状態]]で、[[固有値]]が最小のものを基底状態と呼ぶ。すなわち基底状態は以下の固有値方程式を満たす。
:<math>\hat{H}|\psi_0\rangle =E_0|\psi_0\rangle.</math>
ここで <math>E_0</math> は基底状態の固有値であり、ハミルトニアンの固有値は[[系 (自然科学)|系]]の固有状態の[[エネルギー]]を表す。このハミルトニアンについて次のことが言える。

「適当な[[境界条件]]を持つ[[任意#数学などにおける「任意」|任意]]の状態 <math>|\Psi\rangle</math> に対するハミルトニアン <math>\hat{H}</math> の[[期待値]] <math>E</math> は、基底状態のエネルギー <math>E_0</math> よりも常に大きいか等しい。
:<math>E[\Psi]
=\frac{\left\langle \Psi\right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle}
{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle}
 \geq E_0.</math>
等号は <math>|\Psi\rangle</math> が基底状態 <math>|\psi_0\rangle</math> である場合に成り立つ」。

このことは、ハミルトニアン <math>\hat{H}</math> の[[エルミート作用素#定義|エルミート性]]より、任意の状態がエネルギー固有状態の[[線形結合]]で表せることから示される。ハミルトニアンの固有状態 <math>|\psi_\lambda\rangle</math> は以下の固有値方程式を満たす。

:<math>\hat{H}|\psi_\lambda\rangle =E_\lambda|\psi_\lambda\rangle.</math>

エネルギー固有状態を[[基底 (線型代数学)|基底]]として状態 <math>|\Psi\rangle</math> を展開すれば、適当な[[複素数]]係数を用いて次のように表される。

:<math>|\Psi\rangle =\sum_\lambda c_\lambda|\psi_\lambda\rangle.</math>

このときハミルトニアンの期待値は、
:<math>\begin{align}
E[\Psi]&=\frac{\left\langle \Psi\right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle}
{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle}\\
&=\frac{\sum_{\lambda}\sum_{\lambda'}\left\langle \psi_\lambda\right|c^*_\lambda\hat{H}c_{\lambda'}\left| \psi_{\lambda'} \right\rangle}
{\sum_{\lambda}\sum_{\lambda'}\left\langle \psi_\lambda\right|c^*_\lambda c_{\lambda'}\left| \psi_{\lambda'} \right\rangle}\\
&=\frac{\sum_{\lambda}E_\lambda\left|c_\lambda\right|^2 \langle \psi_\lambda|\psi_\lambda\rangle}
{\sum_{\lambda}\left|c_\lambda\right|^2\langle \psi_\lambda|\psi_\lambda\rangle}
.\end{align}</math>

となる。ここで固有状態の[[直交|直交性]]を用いた。
:<math>\langle \psi_\lambda|\psi_{\lambda'} \rangle = 0 ,\quad \lambda\neq\lambda'.</math> 

エネルギー固有値について、不等式 <math>E_\lambda \geq E_0</math> が成り立つので、分子の固有値をすべて基底状態の固有値に置き換えれば、
:<math>
E[\Psi]=\frac{\sum_{\lambda}E_\lambda\left|c_\lambda\right|^2 \langle \psi_\lambda|\psi_\lambda\rangle}
{\sum_{\lambda}\left|c_\lambda\right|^2\langle \psi_\lambda|\psi_\lambda\rangle}
\geq
\frac{\sum_{\lambda}E_0\left|c_\lambda\right|^2 \langle \psi_\lambda|\psi_\lambda\rangle}
{\sum_{\lambda}\left|c_\lambda\right|^2\langle \psi_\lambda|\psi_\lambda\rangle}
=E_0.</math>

ハミルトニアンの期待値と基底状態のエネルギーに関する不等式が得られる。

この原理によって、任意の状態 <math>|\Psi\rangle</math> に対するハミルトニアンの期待値 <math>E[\Psi]</math> の最小値が基底状態のエネルギー <math>E_0</math> である事が保証され、そのときの状態 <math>|\Psi\rangle</math> が基底状態 <math>|\psi_0\rangle</math> であると言える。そのため、もしも基底状態とそのときのエネルギー値を求めたいのであれば、[[変分法]]によって <math>|\Psi\rangle</math> の[[汎関数]] <math> E[\Psi] </math> の停留値を求めればよい事になる。変分原理を利用したこの手法を指して「変分原理」と言われる事も多い。

<math>E[\Psi]</math> の停留値問題は次のようなものになる。

:<math> \delta E[\Psi] = \delta \left(\frac{\langle\Psi|\hat{H}|\Psi\rangle}{\langle\Psi|\Psi\rangle}\right) = 0. </math>

<math>|\Psi\rangle</math> を適当な試行関数 <math>\left\{|\phi_\lambda\rangle\right\}</math> で表せば、

:<math>|\Psi\rangle = \sum_\lambda c_\lambda |\phi_\lambda\rangle</math>

<math>E[\Psi]</math> の変分は、[[パラメーター]] <math>\left\{c_\lambda\right\}</math> の変分で表される。

:<math>\begin{align}
\delta E[\Psi] &= \delta \left(\frac{\langle\Psi|\hat{H}|\Psi\rangle}{\langle\Psi|\Psi\rangle}\right)\\
&= \delta \left(\frac{\sum_\lambda\sum_{\lambda'}c^*_\lambda c_{\lambda'}\langle \phi_\lambda|\hat{H}|\phi_{\lambda'}\rangle}
{\sum_\lambda\sum_{\lambda'}c^*_{\lambda}c_{\lambda'}\langle\phi_{\lambda}|\phi_{\lambda'}\rangle}\right)
.\end{align}</math>

ここでハミルトニアンの <math>|\phi\rangle</math> 表示における行列成分を <math>H_{\lambda,\lambda'} := \langle\phi_\lambda|\hat{H}|\phi_{\lambda'}\rangle</math> 、試行関数の内積を <math>\Phi_{\lambda,\lambda'} := \langle\phi_{\lambda}|\phi_{\lambda'}\rangle</math> とそれぞれ表すことにすると、次のようになる。

:<math>\begin{align}
\delta E[\Psi]&= \delta \left(\frac{\sum_\lambda\sum_{\lambda'}c^*_\lambda c_{\lambda'}H_{\lambda,\lambda'}}
{\sum_\lambda\sum_{\lambda'}c^*_{\lambda}c_{\lambda'}\Phi_{\lambda,\lambda'}}\right).\end{align}</math>

この変分が任意のパラメーターの変分 <math>\left\{\delta c^*_{\lambda}\right\}</math> に対してゼロになることは、各パラメーター <math>\left\{c^*_{\lambda}\right\}</math> の[[偏微分]]がゼロになることと同じなので、

:<math>\begin{align}
\frac{\partial E}{\partial c^*_{\lambda}}
&= \frac{\partial}{\partial c^*_{\lambda}}\left(\frac{\sum_{\lambda'}\sum_{\lambda''}c^*_{\lambda'} c_{\lambda''}H_{\lambda',\lambda''}}
{\sum_{\lambda'}\sum_{\lambda''}c^*_{\lambda'}c_{\lambda''}\Phi_{\lambda',\lambda''}}\right)\\
&= \frac{\sum_{\lambda''}c_{\lambda''} H_{\lambda,\lambda''}}
{\sum_{\lambda'}\sum_{\lambda''}c^*_{\lambda'}c_{\lambda''}\Phi_{\lambda',\lambda''}}
- \frac{\sum_{\lambda'}\sum_{\lambda''}c^*_{\lambda'}c_{\lambda''}  H_{\lambda',\lambda''}}
{\sum_{\lambda'}\sum_{\lambda''}c^*_{\lambda'}c_{\lambda''}\Phi_{\lambda',\lambda''}}
\frac{\sum_{\lambda''}c_{\lambda''} \Phi_{\lambda,\lambda''}}
{\sum_{\lambda'}\sum_{\lambda''}c^*_{\lambda'}c_{\lambda''}\Phi_{\lambda',\lambda''}}\\
&=\frac{\sum_{\lambda'}c_{\lambda'}\left(H_{\lambda,\lambda'}-E\Phi_{\lambda,\lambda'}\right)}
{\sum_{\lambda'}\sum_{\lambda''}c^*_{\lambda'}c_{\lambda''}\Phi_{\lambda',\lambda''}}=0
.\end{align}</math>

より、次の式を得る。
:<math>\sum_{\lambda'}\left(H_{\lambda,\lambda'}-E\Phi_{\lambda,\lambda'}\right)c^*_{\lambda'}=0.</math>

この[[線型方程式系#行列と線型方程式系|斉次方程式]]が非自明な解を持つためには、ベクトル <math>\boldsymbol{c}</math> にかかる[[行列]] <math>\mathrm{H}-E\mathrm{\Phi}</math> の[[行列式|ディターミナント]]がゼロでなければならない<ref group="注">行列の各列を[[列ベクトル]]で表したとき、それらの列ベクトルが[[線型独立#諸概念|線形従属]]であれば、すなわちいずれかのベクトルが他のベクトルの定数倍の和として表されるなら、非自明な解が存在する。また、ベクトルの組が線形従属であればディターミナントはゼロになる。</ref>。

:<math>\det\left[\mathrm{H}-E\mathrm{\Phi}\right]=0.</math>

===ギブズの変分原理===
[[平衡状態]]において[[密度行列]]について変分を考えるギブズの変分原理がある。

==脚注==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
<references group="注"/>

== 関連記事 ==
*[[変分法]]
*[[物理学]]

{{DEFAULTSORT:へんふんけんり}}
[[Category:力学]]
[[Category:力学系]]
[[Category:量子力学]]
[[category:原理|へんふん]]
[[Category:変分法]]
[[Category:数学に関する記事]]