変分法のソースを表示

{{about|解析学の分野|Variational method|変分法 (解析力学)}}
{{Expand English|Calculus of variations|date=2024年5月}}
{{calculus}}
[[解析学]]の一分野、'''変分法'''（へんぶんほう、{{lang-en-short|''calculus of variations'', ''variational calculus''}}; 変分解析学）は、[[汎函数]]（[[函数空間|函数の集合]]から[[実数]]への[[写像]]）の最大化や最小化を扱う。汎函数はしばしば函数とその[[導函数]]を含む[[定積分]]として表される。この分野の主な興味の対象は、与えられた汎函数を[[最大・最小]]とするような「極値」函数、あるいは汎函数の変化率を零とする「停留」函数である。

そのような問題のもっとも単純な例は、二点を結ぶ最短の曲線を求める問題である。何の制約も無ければ二点を結ぶ直線が明らかにその解を与えるが、例えば空間上の特定の曲面上にある曲線という制約が与えられていれば、解はそれほど明らかではないし、複数の解が存在し得る。この問題の解は[[測地線]]と総称される。関連する話題として[[フェルマーの原理]]は「光は二点を結ぶ最短の光学的長さを持つ経路を通る。ただし光学的長さは間にある物質によって決まる」ことを述べる。これは[[力学]]における[[最小作用の原理]]に対応する。

重要な問題の多くが多変数函数を含む。[[ラプラス方程式]]の境界値問題の解は[[ディリクレの原理]]を満足する。 {{仮リンク|プラトーの問題|en|Plateau's problem}}は空間内の与えられた周回路の張る面積が最小の曲面（[[極小曲面]]）を求める問題であり、しばしばその解を石鹸水に浸した枠が張る石鹸膜として見つけるデモンストレーションを目にする。こうした経験は比較的容易に実験できるけれども、その数学的解釈は簡単とはほど遠い（局所的に最小化する曲面は複数存在し得るし、非自明な[[位相空間|位相]]を持ち得る）。

== 歴史 ==
変分法は、[[ヨハン・ベルヌーイ]]が1696年に取り挙げた[[最速降下曲線]]問題によって始まったといわれている<ref name=GelfandFominP3>{{cite book
    | last1 = Gelfand | first1 = I. M.
    | authorlink1 = Israel Gelfand
    | last2 = Fomin | first2 = S. V.
    | authorlink2 = Sergei Fomin
    | ref = harv
    | title = Calculus of variations
    | year = 2000
    | publisher = Dover Publications
    | location = Mineola, New York
    | isbn = 978-0486414485
    | page = 3
    | url = http://store.doverpublications.com/0486414485.html
    | edition = Unabridged repr.
    | editor1-last = Silverman | editor1-first = Richard A.
    }}</ref>。
この問題はすぐに[[ヤコブ・ベルヌーイ]]および[[ギヨーム・ド・ロピタル|ロピタル]]の目に留まることになるが、1733年に[[レオンハルト・オイラー]]によって初めて詳細に述べられた。
[[ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ|ラグランジュ]]はオイラーの著作に影響を受け、この理論へ大きく貢献した。
1755年に当時19歳だったラグランジュの研究を見た後、オイラーは自身の多少幾何学的であったアプローチを放棄し、ラグランジュによる純粋に解析的なアプローチを採用した。
そして、1756年の講義 ''"Elementa Calculi Variationum"'' において、このテーマを''変分法''と改名した<ref name=Thiele>{{cite book
    | last = Thiele | first = Rüdiger
    | editor-last1 = Bradley | editor-first1 = Robert E.
    | editor-last2 = Sandifer | editor-first2 = C. Edward
    | title = Leonhard Euler: Life, Work and Legacy
    | publisher = Elsevier
    | year = 2007
    | page = 249
    | chapter = Euler and the Calculus of Variations
    | chapter-url = https://books.google.com/books?id=75vJL_Y-PvsC&pg=PA249
    | isbn = 9780080471297
    }}</ref><ref name=Goldstine>{{cite book
    | last = Goldstine | first = Herman H.
    | year = 2012
    | title = A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th Century 
    | url = https://books.google.com/books?id=_iTnBwAAQBAJ&q=%22Indeed+after%22&pg=110
    | publisher = Springer Science & Business Media
    | page = 110
    | isbn = 9781461381068
    | author-link=Herman Goldstine
    }}</ref>。

[[アドリアン＝マリ・ルジャンドル|ルジャンドル]]は1786年に最大値と最小値とを区別するための手法を確立したが、これは完全に十分なものとは言えなかった。
この主題に関しては、[[アイザック・ニュートン]]と[[ゴットフリート・ライプニッツ]]も早くから注目していた<ref name="brunt">{{cite book |last = van Brunt |first = Bruce |title = The Calculus of Variations |publisher = Springer |year = 2004  |isbn = 0-387-40247-0}}</ref>。
この判別法に対する貢献は、{{仮リンク|Vincenzo Brunacci|en|Vincenzo Brunacci|label=Brunacci}} (1810), [[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]] (1829), [[シメオン・ポアソン|ポアソン]] (1831), [[ミハイル・オストログラツキー|オストログラツキー]] (1834), [[カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ|ヤコビ]] (1837) など数多く存在する。
一般的である重要な成果として1842年における[[ピエール・フレデリック・サラス|サラス]]の著作があり、これは1844年に[[オーギュスタン＝ルイ・コーシー|コーシー]]によって要約・改良された。
その他にも重要な研究論文や回顧録が {{仮リンク|Strauch|en|Strauch}} (1849), {{仮リンク|John Hewitt Jellett|en|John Hewitt Jellett|label=Jellett}} (1850), [[ルートヴィヒ・オットー・ヘッセ]] (1857), {{仮リンク|Alfred Clebsch|en|Alfred Clebsch|label=Clebsch}} (1858), Carll (1885) などに書かれているが、19世紀において最も重要な成果はおそらく[[カール・ワイエルシュトラス|ワイエルシュトラス]]によるものである。
その高名な講座は画期的なものであり、彼によってこの理論は確固たる疑いようのない基礎の上に置かれたと言える。
1900年に発表された[[ヒルベルトの23の問題]]の{{仮リンク|ヒルベルトの第二十問題|en|Hilbert's twentieth problem|label=20番目}}と{{仮リンク|ヒルベルトの第二十三問題|en|Hilbert's twenty-third problem|label=23番目}}は、この分野の更なる発展を促した<ref name="brunt" />。

20世紀に入ると、[[ダフィット・ヒルベルト|ヒルベルト]]、[[エミー・ネーター|ネーター]]、{{仮リンク|レオニダ・トネリ|en|Leonida Tonelli}}、[[アンリ・ルベーグ|ルベーグ]]、[[ジャック・アダマール|アダマール]]らが多大な貢献をした<ref name="brunt" />。
{{仮リンク|マーストン・モース|en|Marston Morse}}は、今日[[モース理論]]と呼ばれるものに変分法を応用した<ref name="ferguson">{{cite arXiv |last=Ferguson |first=James |authorlink=|eprint=math/0402357 |title=  Brief Survey of the History of the Calculus of Variations and its Applications |year=2004 }}</ref>。
[[レフ・ポントリャーギン|ポントリャーギン]]、{{仮リンク|ラルフ・ロッカフェラー|en|R. Tyrrell Rockafellar}}および F. H. Clarke は、[[最適制御理論]]において変分法に対する新しい数学的な道具を開発した<ref name="ferguson" />。
[[リチャード・E・ベルマン|リチャード・ベルマン]]の[[動的計画法]]は、変分法の代替となるもののひとつである<ref>[[Dimitri Bertsekas]]. Dynamic programming and optimal control. Athena Scientific, 2005.</ref><ref name="bellman">{{cite journal |last=Bellman |first=Richard E. |title= Dynamic Programming and a new formalism in the calculus of variations |year=1954 |journal= Proc. Nat. Acad. Sci. | issue=4 | pages=231–235|url=http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC527981/pdf/pnas00731-0009.pdf |pmc=527981 |pmid=16589462 |volume=40}}</ref><ref name='Kushner2004'>{{cite news | first = Harold J. | last = Kushner|authorlink=Harold J. Kushner | title = Richard E. Bellman Control Heritage Award  | year = 2004 | url = http://a2c2.org/awards/richard-e-bellman-control-heritage-award | work = American Automatic Control Council | accessdate = 2013-07-28 }} See '''2004: Harold J. Kushner''': regarding Dynamic Programming,  "The calculus of variations had related ideas (e.g., the work of Caratheodory, the Hamilton-Jacobi equation). This led to conflicts with the calculus of variations community."</ref>。

== 極値 ==
変分法は汎函数の極大と極小（総称して「極値」と呼ばれる）に注目する。函数が[[数値]]的な[[変数 (数学)|変数]]に依存して決まるのとある意味同じように、汎函数は[[函数]]に依存して決まり、またその意味で函数の函数としても記述される。
固定された[[定義域]]の上で定義された函数からなる[[函数空間]]が与えられたとき、その元を動く函数変数 {{mvar|y}} に関して汎函数は極値を持つ。汎函数 {{math|''J''[ ''y'' ]}} が函数 {{mvar|f}} において極値を持つとは、増分 {{math|Δ''J'' {{=}} ''J''[''y''] - ''J''[''f'']}} が {{mvar|f}} の任意に小さな近傍に属する任意の {{mvar|y}} に対して同じ[[符号 (数学)|符号]]を持つときに言う{{refn|{{mvar|f}} の近傍とは、与えられた函数空間の元 {{mvar|y}} で定義域の全体において {{math|{{abs|''y''  - ''f''}} < ''h''}} を満たすもの全体の成す部分集合を言う。ここで正の数 {{mvar|h}} は近傍の大きさを決める定数である<ref name='CourHilb1953P169'>{{cite book | last1=Courant | first1=R | authorlink1=Richard Courant | last2=Hilbert | first2=D | authorlink2=David Hilbert | title = Methods of Mathematical Physics | volume = Vol. I | edition = First English | ref=harv | publisher = Interscience Publishers, Inc | year = 1953 | location = New York | page = 169 | isbn = 978-0471504474}}</ref>。|group="Note"}}。このとき函数 {{mvar|f}} は極値函数あるいは極値点 (''extremal'') と呼ばれる。極値 {{math|''J''[''f'']}} が極大であるとは {{mvar|f}} の任意に小さな近傍の各点において {{math|Δ''J'' ≤ 0}} を満たすときに言う。また極小であるとは同様に {{math|Δ''J'' ≥ 0}} であるときに言う。連続函数の空間に対して、対応する汎函数の極値は、連続函数の一階導函数が全て連続となるかまたは否かに従って、それぞれ'''弱極値''' (''weak extrema'') または'''強極値''' (''strong extrema'') と呼ばれる<ref name='GelfandFominPP12to13'>{{harvnb|Gelfand|Fomin|2000|pp=12–13}}</ref>。

汎函数の強極値・弱極値はともに連続函数の空間に対するものだが、弱極値はその空間に属する函数の一階導函数が連続という追加の要件を持つ。強極値は弱極値でもあるが、逆は真ではない。強極値を求めることは弱極値を求めることよりも困難である<ref name='GelfandFominP13'>{{harvnb | Gelfand|Fomin| 2000 | p=13 }}</ref>。弱極値を求めるために用いる[[必要条件]]の一つの例として、[[オイラー＝ラグランジュ方程式]]がある<ref name='GelfandFominPP14to15'>{{harvnb | Gelfand|Fomin| 2000 | pp=14–15 }}</ref> {{refn | group=Note | name=SectionVarSuffCond | 十分条件は[[#変分および極小値に関するある十分条件|後述]]}}。

== 変分および極小値に関するある十分条件 ==

変分法は、汎函数の引数である函数のわずかな変化によって生じる小さな変動としての汎函数の変分に注目する。[[一次変分]]{{refn| group=Note| name=AltFirst| 一次変分 (first variation) は、変分、[[函数の微分|微分]]、一次の微分などとも呼ばれる。}}は汎函数の増分の一次成分（線型部分）として定義され、二次変分{{refn| group=Note| name=AltSecond| 二次変分もまた二次の微分などとも呼ばれる。}}は汎函数の増分の二次成分として定義される<ref name='GelfandFominP11–12,99'>{{harvnb | Gelfand|Fomin| 2000 | pp=11–12, 99 }}</ref>。

例えば {{math|''J''[''y'']}} は函数 {{math|''y'' {{=}} ''y''(''x'')}} を引数とする汎函数とし、{{math|''h'' {{=}} ''h''(''x'')}} は {{mvar|y}} と同じ函数空間に属する函数として引数を {{mvar|y}} から {{math|''y'' + ''h''}} へわずかに変化させるとき、対応する汎函数の増分は {{math|&Delta;''J''[''h''] {{=}} ''J''[''y'' + ''h''] &minus; ''J''[''y'']}} で与えられる{{refn|group=Note|name=SimplifyNotation|増分 {{math|Δ''J''[''h'']}} および以下に現れる変分は{{mvar|y}} および {{mvar|h}} の双方に依存することに注意せよ。記述の簡素化のために、引数 {{mvar|y}} は省略されているが、例えば {{math|Δ''J''[''h'']}} は {{math|Δ''J''[''y''; ''h'']}} のように書くのが意味の上では自然である<ref name='GelfandFominP12FN6'>{{harvnb | Gelfand|Fomin| 2000 | p=12, footnote 6}}</ref>。}}。

汎函数 {{math|''J''[''y'']}} が'''微分可能'''であるとは、[[線型汎函数]] {{math|''φ''[''h'']}} が存在して{{refn| group=Note| name=Linear|汎函数 {{math|''φ''[''h'']}} が[[線型写像|線型]]とは、函数 {{math|''h'', ''h''{{ind|1}}, ''h''{{ind|2}}}} と実数 {{mvar|α}}に関して、{{math|''φ''[''αh''] {{=}} ''αφ''[''h'']}} および {{math|''φ''[''h''<sub>1</sub> +''h''<sub>2</sub>] {{=}} ''φ''[''h''<sub>1</sub>] + ''φ''[''h''<sub>2</sub>]}} を満たすことを言う<ref name='GelfandFominP8'>{{harvnb | Gelfand|Fomin| 2000 | p=8 }}</ref>。}} {{math|&Delta;''J''[''h''] {{=}} &phi;[''h''] + &epsilon;{{norm|''h''}}}} とできるときに言う。ただし、{{mvar|{{norm|h}}}} は {{mvar|h}} の[[一様ノルム|ノルム]]{{refn| group=Note| name=Norm| 函数 {{math|''h'' {{=}} ''h''(''x'')}} は実数 {{mvar|a, b}} に対して区間 {{math|''a'' ≤ ''x'' ≤ ''b''}} 上で定義されているものとすると、{{mvar|h}} のノルムはその最大の絶対値 {{math|{{norm|''h''}} {{=}} max{{(}}{{abs|''h''(''x'')}} : ''a'' ≤ ''x'' ≤ ''b''{{)}}}}<ref name='GelfandFominP6'>{{harvnb | Gelfand|Fomin| 2000 | p=6 }}</ref>}}であり、{{mvar|ε}}は {{mvar|{{norm|h}} → 0}} のとき {{math|''ε'' → 0}} を満たすものとする。このとき、線型汎函数 {{mvar|φ}} を {{math|''J''[''y'']}} の'''{{仮リンク|一次変分|en|First variation}}'''とよび {{mvar|&delta;J}} と表す<ref name='GelfandFominP11–12'>{{harvnb | Gelfand|Fomin| 2000 | pp=11–12}}</ref>: 
: <math>\mathit{\delta J}[h] := \phi[h].</math>
また汎函数 {{math|''J''[''y'']}} が'''二回微分可能'''とは、一次変分 {{math|''φ''{{ind|1}}[''h'']}} および二次汎函数{{refn| group=Note| name=Quadratic|汎函数が二次 (quadratic) であるとは、それが双線型汎函数の二つの引数を等しいと置いて得られることをいう。[[双線型写像|双線型汎函数]]は一方の変数について（他方の変数は固定して）それぞれ線型であることをいう<ref name='GelfandFominP97–98'>{{harvnb | Gelfand|Fomin| 2000 | pp=97–98 }}</ref>。}} {{math|''φ''{{ind|2}}[''h'']}} が存在して {{math|&Delta;''J''[''h''] {{=}} &phi;{{ind|1}}[''h''] + &phi;{{ind|2}}[''h''] + &epsilon;{{norm|''h''}}{{exp|2}}}} とできるときに言う。ただし、{{mvar|ε}} は {{math|{{norm|''h''}} → 0}} のとき {{math|''ε'' → 0}} である。二次汎函数 {{math|''φ''{{ind|2}}}} を {{math|''J''[''y'']}} の'''二次変分'''と呼び、 {{math|''&delta;''{{msup|2}}''J''}} と書く<ref name='GelfandFominP99'>{{harvnb | Gelfand|Fomin| 2000 | p=99 }}</ref>:
: <math>\delta^2\!J[h] := \phi_2[h].</math>
二次変分 {{math|''δ''<sup>2</sup>''J''[''h'']}} が強く正 (''strongly positive'') であるとは、適当な定数 {{math|''k'' > 0}} が存在して、任意の {{mvar|h}} に対し {{math|''&delta;''{{msup|2}}''J''[''h''] &ge; ''k''{{norm|''h''}}{{exp|2}}}} を満たすときに言う<ref name='GelfandFominP100'>{{harvnb | Gelfand|Fomin| 2000 | p=100 }}</ref>。

; 極小値の十分条件
: 汎函数 {{math|''J''[''y'']}} が {{math|''y'' {{=}} ''ŷ''}} において極小となるには、{{math|''y'' {{=}} ''ŷ''}} において一次変分が {{math|''δJ''[''h''] {{=}} 0}} かつ二次変分 {{math|''δ''<sup>2</sup>''J''[''h'']}} が強く正となることが十分である<ref name='GelfandFominP100Theorem2'>{{harvnb | Gelfand|Fomin| 2000 | p=100 |loc=Theorem 2}}</ref> {{refn| group=Note| name=sufficient| 他の十分条件については {{harvnb|Gelfand|Fomin|2000}} を参照。弱極小値に対する十分条件は '''Chapter{{nbsp}}5: "The Second Variation. Sufficient Conditions for a Weak Extremum".''' p.{{nbsp}}116. の定理、強極小値に対する十分条件は '''Chapter{{nbsp}}6: "Fields. Sufficient Conditions for a Strong Extremum".''' p.{{nbsp}}148. の定理で与えられている。}}

== 関連項目 ==
{{Div col||25em}}
* {{仮リンク|等周不等式|en|Isoperimetric inequality}}
* [[変分原理]]
* {{仮リンク|変分二重複体|en|Variational bicomplex}}
* {{仮リンク|無限次元の最適化|en|Infinite-dimensional optimization}}
* {{仮リンク|エクランドの変分原理|en|Ekeland's variational principle}}
* {{仮リンク|ラグランジュ力学に対する逆問題|en|Inverse problem for Lagrangian mechanics}}
* {{仮リンク|障害問題|en|Obstacle problem}}
* [[摂動法]]
* {{仮リンク|ヤング測度|en|Young measure}}
* [[最適制御]]
* [[変分法における直接法]]
* [[ネーターの定理]]
* [[有限要素法]]
* [[ド・ドンデ-ワイル理論]]
* {{仮リンク|変分ベイズ法|en|Variational Bayesian methods}}
* {{仮リンク|チャプルイギン問題|en|Chaplygin problem}}
* {{仮リンク|ネハリ多様体|en|Nehari manifold}}
* {{仮リンク|胡&ndash;鷲津の原理|en|Hu Washizu principle}}
* {{仮リンク|ルークの変分原理|en|Luke's variational principle}}
* {{仮リンク|峠の定理|en|Mountain pass theorem}}
* {{仮リンク|変分問題の解としての中心傾向測度|en|Central tendency#Solutions to variational problems}}
* {{仮リンク|便利なベクトル空間|en|Convenient vector space}}
{{div col end}}

== 注釈 ==
{{reflist|60em|group="Note"}}

== 出典 ==
{{reflist|30em}}

== 関連文献 ==
* Dacorogna, Bernard. ''[http://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/p967 Introduction to the Calculus of Variations (3rd Edition)]'', 2014, World Scientific Publishing, ISBN 978-1-78326-551-0. ''[http://www.worldscientific.com/doi/suppl/10.1142/p967/suppl_file/p967_chap01.pdf Introduction]''
* [[Oskar Bolza|Bolza, O.]]: Lectures on the Calculus of Variations. Chelsea Publishing Company, 1904, available on Digital Mathematics library [http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ACM2513]. 2nd edition republished in 1961, paperback in 2005, ISBN 978-1-4181-8201-4.
* Cassel, Kevin W.: [https://books.google.com/books?id=pNHFJTKixisC Variational Methods with Applications in Science and Engineering], [[ケンブリッジ大学出版局|Cambridge University Press]], 2013.
* Clegg, J.C.: [https://books.google.com/books/about/Calculus_of_variations.html?id=qTnvAAAAMAAJ Calculus of Variations], Interscience Publishers Inc., 1968.
* [[Richard Courant|Courant, R.]]: [https://books.google.com/books?id=GCDSBwAAQBAJ Dirichlet's principle, conformal mapping and minimal surfaces]. Interscience, 1950.
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* Jost, J. and X. Li-Jost: [https://books.google.com/books?id=QN8Iw7fUA-8C Calculus of Variations]. [[Cambridge University Press]], 1998.
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* Logan, J. David: [https://books.google.com/books?id=nUk_AQAAIAAJ Applied Mathematics], 3rd Ed. Wiley-Interscience, 2006
* Roubicek, T.: ''[http://www.wiley-vch.de/books/sample/3527411887_c17.pdf Calculus of variations]. Chap.17 in: [http://www.wiley-vch.de/publish/en/books/forthcomingTitles/MA00/3-527-41188-7/?sID=nrgsqk516u2v9ffab8u7io1dq4 Mathematical Tools for Physicists]. (Ed. M. Grinfeld) J. Wiley, Weinheim, 2014, ISBN 978-3-527-41188-7, pp.&nbsp;551–588.''
* Sagan, Hans: [https://books.google.com/books/about/Introduction_to_the_Calculus_of_Variatio.html?id=abhS8PgpBskC Introduction to the Calculus of Variations], Dover, 1992.
* Weinstock, Robert: [https://books.google.com/books?id=6wSVuWH1PrsC Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering], Dover, 1974 (reprint of 1952 ed.).
*[http://www.mpri.lsu.edu/textbook/Chapter8-b.htm Chapter 8: Calculus of Variations], from [http://www.mpri.lsu.edu/bookindex.html ''Optimization for Engineering Systems''], by Ralph W. Pike, [[Louisiana State University]].

== 外部リンク ==
* {{SpringerEOM|title=Variational calculus|urlname=Variational_calculus}}
* {{Planetmathref |id=1995 |title=Calculus of variations}}
* {{Mathworld |urlname=CalculusofVariations |title=Calculus of Variations}}
* [http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/Calculus_of_Variations Calculus of variations] example problems.
* [http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/geodesic_fields_-_pt._1.pdf ''Selected papers on Geodesic Fields'', Part I, trans. and edited by D. H. Delphenich]
* [http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/geodesic_fields_-_pt._2.pdf ''Selected papers on Geodesic Fields'', Part II]
* [http://high-school.c.u-tokyo.ac.jp/20160205.pdf 加藤晃史, 微分・積分の先にあるもの― 変分法入門 ―2016年2月5日, 高校生のための金曜特別講座]
{{Analysis-footer}}
{{authority control}}
{{DEFAULTSORT:へんふんほう}}
[[Category:変分法|*]]
[[Category:作用素論]]
[[Category:数学に関する記事]]