変形のソースを表示

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'''変形'''（へんけい、{{lang-en-short|deformation}}）とは、
#[[連続体力学]]における[[物体]]の初期状態から最終状態への[[変換]]である<ref name="Truesdell">Truesdell, C. and Noll, W., (2004), ''The non-linear field theories of mechanics: Third edition'', Springer, p. 48.</ref>。本項で詳述する。
#単に[[形状]]が[[変化]]する、させること、本稿で[[限定]]して詳述する物を含め、[[生物]]の成長過程、[[応力]]による[[破壊]]による'''変形'''、折りたたみ[[椅子]]や変形玩具の'''変形'''、問題解決を容易にするために[[数式]]の意味合いを変えずに見た目を変えることなど。
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一般に'''変形'''とは形状の変化を意味するが、[[連続体力学]]では形状の変化が生じない[[剛体]]運動を含む (<ref name="Truesdell" /> footnote 4, p.&nbsp;48)。'''変形'''は[[外力]]<ref name="wu">H.-C. Wu, ''Continuum Mechanics and Plasticity'', CRC Press (2005), ISBN 1-58488-363-4</ref>、
[[物体力]]（重力や電磁力など）、物体内の[[温度]]変化によって生じる。

また、[[ひずみ]]は物体内の物質点の相対[[変位]]による'''変形'''の[[尺度]]である。

[[応力]]とひずみの関係は、線形弾性材料における[[フックの法則]]のような[[材料の構成式|構成式]]によって記述される。応力が除荷された後、完全に初期状態へ戻る変形を'''[[弾性変形]]'''と呼ぶ。一方、[[応力]]が除荷された後でも残る変形を'''[[塑性]]変形'''と呼ぶ。[[塑性変形]]は応力が[[降伏 (物理)|降伏]]応力に達した後に物体内で発生し、すべりや[[原子]]レベルでの[[転位]]によって進行する。

==変形の記述==
変形は連続体が初期状態から最終状態に移動した時に、形状が変化していることを意味する。形状の変化が生じていない場合は、剛体変位が生じたと言う。連続体の変形の記述において、変形前の状態を基準配置、変形後の状態を現在配置と呼ぶ。ここで配置とは、物体の全ての物質点の位置から構成される集合である。

現在配置での物質点の位置'''''x''''' が基準配置での物質点の位置'''''X''''' の関数であるとみなし、これを微分した
:<math>F \equiv \frac{\partial\boldsymbol{x}}{\partial\boldsymbol{X}}</math>
は'''[[変形勾配]]テンソル'''と呼ばれる。

===アフィン変形===
[[アフィン変換]]によって記述できる変形をアフィン変形と呼ぶ。この変換は[[線形変換]]（回転、せん断、引張、圧縮など）と剛体変換（平行移動）によって構成される<ref name=Ogden>Ogden, R. W., 1984, '''Non-linear Elastic Deformations''', Dover.</ref>。

アフィン変形は以下のように記述される。
:<math>   \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X},t) = F(t)\boldsymbol{X} + \boldsymbol{c}(t) </math>
ここで、''t'' は時間に該当するパラメーター、'''''c''''' は平行移動である。行列形式は以下の通りである。
:<math>
   \begin{bmatrix}     x_1(X_1,X_2,X_3,t) \\ x_2(X_1,X_2,X_3,t) \\ x_3(X_1,X_2,X_3,t)    \end{bmatrix}
   = \begin{bmatrix}
     F_{11}(t) & F_{12}(t) & F_{13}(t) \\ F_{21}(t) & F_{22}(t) & F_{23}(t) \\ F_{31}(t) & F_{32}(t) & F_{33}(t)
   \end{bmatrix} \begin{bmatrix}     X_1 \\ X_2 \\ X_3   \end{bmatrix} +
   \begin{bmatrix}     c_1(t) \\ c_2(t) \\ c_3(t)    \end{bmatrix}
 </math>
''F'' = ''F'' ('''''X''''' , ''t'' ) や '''''c''''' = '''''c''''' ('''''X''''' , ''t'' ) の場合、上記の変形は非アフィン変形となる。

===剛体運動===
剛体運動は、せん断、引張、圧縮を伴わない、特殊なアフィン変形である。剛体運動は以下のように記述される。
:<math>   \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X},t) = Q(t)\boldsymbol{X} + \boldsymbol{c}(t)</math>
ここで''Q'' は[[直交行列]]であり、以下の式が成り立つ。''1'' は単位行列である。
:<math> Q Q^\mathrm{T} = Q^\mathrm{T} Q = \boldsymbol{\mathit{1}} </math>
行列形式は以下の通りである。
:<math>
   \begin{bmatrix}     x_1(X_1,X_2,X_3,t) \\ x_2(X_1,X_2,X_3,t) \\ x_3(X_1,X_2,X_3,t)    \end{bmatrix}
   = \begin{bmatrix}
     Q_{11}(t) & Q_{12}(t) & Q_{13}(t) \\ Q_{21}(t) & Q_{22}(t) & Q_{23}(t) \\ Q_{31}(t) & Q_{32}(t) & Q_{33}(t)
   \end{bmatrix} \begin{bmatrix}     X_1 \\ X_2 \\ X_3   \end{bmatrix} +
   \begin{bmatrix}     c_1(t) \\ c_2(t) \\ c_3(t)    \end{bmatrix}
 </math>

==変形の例==
===平面変形===
平面変形、または[[平面ひずみ]]は、基準配置において単一平面に限定された変形の一つである。変形が単位ベクトル '''''e'''''<sub>1</sub> 、'''''e'''''<sub>2</sub> によって描写される平面に限定される場合、[[変形勾配]]は以下の式で記述される。
:<math>
  F =
  \cfrac{\partial\boldsymbol{x}}{\partial\boldsymbol{X}}
  = F_{11}\boldsymbol{e}_1\otimes\boldsymbol{e}_1 + F_{12}\boldsymbol{e}_1\otimes\boldsymbol{e}_2 + F_{21}\boldsymbol{e}_2\otimes\boldsymbol{e}_1 + F_{22}\boldsymbol{e}_2\otimes\boldsymbol{e}_2 + \boldsymbol{e}_3\otimes\boldsymbol{e}_3
 </math>
行列形式は以下の通りである。
:<math>
   F = \begin{bmatrix} F_{11} & F_{12} & 0 \\ F_{21} & F_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
 </math>
変形勾配は極分解により、引き延ばしを表す部分 ''U'' と回転を表す部分 ''R'' に分解することができる。全ての変形が平面内であるため、以下のように記述できる<ref name=Ogden/>。
:<math>
   F = RU =
     \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
 </math>
ここで、&theta;は回転角度、&lambda;<sub>1</sub> 、&lambda;<sub>2</sub> はストレッチである。

====等積平面変形====
変形が等積的（体積保存）の場合、 det ''F'' = 1 となり、以下の式を得る。
:<math>
    \ F_{11} F_{22} - F_{12} F_{21} = 1
 </math>
または、
:<math>
   \ \lambda_1\lambda_2 = 1
 </math>

====単純せん断====
単純せん断変形において、'''''e'''''<sub>1</sub> が基準方向に固定されている場合、 &lambda;<sub>1</sub> = 1 、''F'' '''''e'''''<sub>1</sub> = '''''e'''''<sub>1</sub> となる。したがって、
:<math>
   F_{11}\boldsymbol{e}_1 + F_{21}\boldsymbol{e}_2 = \boldsymbol{e}_1 \quad \implies \quad F_{11} = 1 ~;~~ F_{21} = 0
 </math>
変形が等積的であるため、
:<math>
   F_{11} F_{22} - F_{12} F_{21} = 1 \quad \implies \quad F_{22} = 1
 </math>
ここで <math>\gamma := F_{12}\,</math> と定義すると、単純せん断における変形勾配は、以下のように記述することができる。
:<math>
   F = \begin{bmatrix} 1 & \gamma & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
 </math>
または、
:<math>
   F\boldsymbol{e}_2 = F_{12}\boldsymbol{e}_1 + F_{22}\boldsymbol{e}_2 = \gamma\boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2
   \quad \implies \quad
   F(\boldsymbol{e}_2\otimes\boldsymbol{e}_2) = \gamma\boldsymbol{e}_1\otimes\boldsymbol{e}_2 + \boldsymbol{e}_2\otimes\boldsymbol{e}_2
 </math>
<math>\boldsymbol{e}_i\otimes\boldsymbol{e}_i = \boldsymbol{\mathit{1}}</math> であるため、変形勾配を以下のように記述することもできる。
:<math>
   F = \boldsymbol{\mathit{1}} +  \gamma\boldsymbol{e}_1\otimes\boldsymbol{e}_2
 </math>

==出典==
{{Reflist}}

==参考文献==
*{{cite book
| last = Dill|first = Ellis Harold
| title =Continuum Mechanics: Elasticity, Plasticity, Viscoelasticity
| publisher = CRC Press
| year = 2006
| location = Germany
| url = https://books.google.co.jp/books?id=Nn4kztfbR3AC&redir_esc=y&hl=ja
| isbn = 0-8493-9779-0}}
*{{cite book
| last = Hutter|first = Kolumban
| coauthors = Klaus Jöhnk
| title = Continuum Methods of Physical Modeling
| publisher = Springer
| year = 2004
| location = Germany
| url = https://books.google.ca/books?id=B-dxx724YD4C&hl=en
| isbn = 3-540-20619-1}}
*{{cite book
| last = Lubarda
| first = Vlado A.
| title = Elastoplasticity Theory
| publisher = CRC Press
| year = 2001
| url = https://books.google.ca/books?id=1P0LybL4oAgC&hl=en
| isbn = 0-8493-1138-1}}
*{{cite book
| last = Macosko
| first = C. W.
| authorlink =
| coauthors =
| title = Rheology: principles, measurement and applications
| publisher = VCH Publishers
| year = 1994
| isbn = 1-56081-579-5}}
*{{cite book
| last = Mase
| first = George E.
| title = Continuum Mechanics
| publisher = McGraw-Hill Professional
| year = 1970
| url = https://books.google.co.jp/books?id=bAdg6yxC0xUC&redir_esc=y&hl=ja
| isbn = 0-07-040663-4}}
*{{cite book
| last = Mase
| first = G. Thomas
| coauthors = George E. Mase
| title = Continuum Mechanics for Engineers
| publisher = CRC Press
| year = 1999
|edition= Second
| url = https://books.google.co.jp/books?id=uI1ll0A8B_UC&redir_esc=y&hl=ja
| isbn = 0-8493-1855-6}}
*{{cite book
| last = Nemat-Nasser
| first = Sia
| title = Plasticity: A Treatise on Finite Deformation of Heterogeneous Inelastic Materials
| publisher = Cambridge University Press
| year = 2006
| location = Cambridge
| url = https://books.google.ca/books?id=5nO78Rt0BtMC&hl=en
| isbn = 0-521-83979-3}}

==関連項目==
* [[連続体力学]]
* [[ひずみ]]
* [[応力]]
* [[変位]]

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:へんけい}}
[[Category:連続体力学]]
[[Category:変形|*]]